北京市北京大学附属中学2020届高三上学期月考（12月）数学试题 17页

北大附中 2020 届高三阶段性检测 一、选择题共 9 小题，共 40 分.第 1～5 题每题 4 分，第 6～9 题每题 5 分.在每小 题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1.已知集合 A={x|x<1}，B={x| }，则 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 ∵集合 ∴ ∵集合 ∴ ， 故选 A 2.已知复数 的实部和虚部相等，则 （ ） A. -1 B. 1 C. 2 D. -2 【答案】B 【解析】 【分析】 化简复数 ,求出其实部,虚部,列式求解即可. 【详解】 , 因为复数 的实部和虚部相等, 所以 ,即 , 故选:B. 【点睛】本题考查复数,属于简单题. 3.已知 ，则下列不等式成立的是（ ） 3 1x < { | 0}A B x x= < A B R= { | 1}A B x x= > A B = ∅ { | 3 1}xB x= < { }| 0B x x= < { | 1}A x x= < { }| 0A B x x∩ = < { }| 1A B x x∪ = < ( )1 biz b Ri −= ∈ b = z 1 (1 ) ( ) ( ) bi bi iz b ii i i − − ⋅ −= = = − −⋅ − z 1b− = − 1b = 0a b> > A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 根据不等式的性质逐一判断选项正误即可. 【详解】若 ,则 , , ,故 A,B,C 选项错误; 因为 在 上递增,所以 ,故 D 选项正确; 故选:D. 【点睛】本题考查不等式的基本性质,结合了指数函数,属于简单题. 4.已知直线 的斜率为 ，倾斜角为 ，则“ ”是“ ”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】 根据直线 的斜率为 ，倾斜角为 ，可得“ ”等价于“ ”,再判断充要性即可. 【详解】根据直线 的斜率为 ，倾斜角为 ，则 等价于“ . 故“ ”是“ ”的充分不必要条件, 故选:A. 【点睛】本题考查命题的充要关系,结合的直线倾斜角,斜率等相关知识,难度不大. 5.已知正方形 的中心为 ，且边长为 1，则 （ ） A. -1 B. C. 1 D. 【答案】C 【解析】 2 2a b< 1 1 a b > a b< 2 2a b> 0a b> > 2 2a b> 1 1 a b < a b> 2xy = R 2 2a b> l k θ 0 4 πθ< ≤ 1k ≤ l k θ 0 4 πθ< ≤ 0 1k< ≤ l k θ 0 4 πθ< ≤ 0 1k< ≤ 0 4 πθ< ≤ 1k ≤ ABCD O ( ) ( )OC OB AB AD− ⋅ + =    2− 2 【分析】 运用三角形法则和平行四边形法则将式子化简,再利用数量积公式求解即可. 【详解】在正方形 ,有 , , 故选:C. 【点睛】本题考查向量的基本运算,需要灵活运用各类公式,属于简单题. 6.双曲线 的一条渐近线与直线 垂直，则双曲线的离心 率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 根据题意求出渐近线的斜率,从而得到 之间的等量关系,进而求出离心率. 【详解】因为双曲线的一条渐近线与直线 垂直, 所以该渐近线 斜率为 , 所以 ,即 , 所以 , 故选:A. 【点睛】本题考查双曲线的离心率,难度不大. 7.中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难， 次日脚痛减一半，六朝才得至其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”其意思是有一个人 走 378 里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛，每天走的路程为前一天的一半，走了 6 天 后到达目的地，请问第二天走了（ ） 的 ABCD 2AC = ( ) ( ) cos 14OC OB AB AD BC AC AD AC AD AC π∴ − ⋅ + = ⋅ = ⋅ = ⋅ ⋅ =          ( )2 2 2 2 1 0, 0x y a ba b − = > > 2 1 0x y+ − = 5 2 5 3 1 2 + 3 1+ ,a b 2 1 0x y+ − = 1 2 1 2 b a = 1 2b a= 2 2 5 2 c a be a a += = = A. 96 里 B. 48 里 C. 192 里 D. 24 里 【答案】A 【解析】 【分析】 根据题意,此人每天走的路程构成了公比 的等比数列,再根据求和公式列式求解即可. 【详解】由题意可知,此人每天走的路程构成了公比 的等比数列, 设该数列为 ,其前 项和为 则有 ,解得 , 故 , 故选:A. 【点睛】本题考查了等比数列的相关知识,能读懂题识别该模型为等比数列是解题关键. 8.已知函数 ，则下列结论错误的是（ ） A. B. 时， 的值域为 C. 在 上单调递增时， 或 D. 方程 有解时， 【答案】D 【解析】 【分析】 作出 的图像,结合图像一一分析选项正误即可. 【详解】作出 的图像如下图所示: 1 2q = 1 2q = { }na n nS 6 1 6 1(1 ( ) )2 37811 2 a S − = = − 1 192a = 2 1 96a a q= = ( ) 2 , , x x af x x x a ≤=  > ( )0 0f = 0a = ( )f x R ( )f x R 0a = 1a ≥ ( ) 2f x = 2a < 2( ) , ( )g x x h x x= = 2( ) , ( )g x x h x x= = 当 时, ,故不论 取何值, ,故 A 选项正确; 当 时, ,其值域为 ,故 B 选项正确; 若 在 上单调递增,结合上图可知 或 ,故 C 选项正确; 若方程 有解,结合上图可知 或 ,故 D 选项错误; 故选:D. 【点睛】本题考查分段函数,要求学生具有结合图像进行分析推导的能力. 9.三名工人加工同一种零件，他们在一天中的工作情况如图所示，其中点 的横、纵坐标分 别为第 名工人上午的工作时间和加工的零件数，点 的横、纵坐标分别为第 名工人下午的 工作时间和加工的零件数， .记 为第 名工人在这一天中加工的零件总数，记 为 第 名工人在这一天中平均加工的零件数，则 ， ， 中的最大值与 ， ， 中的最 大值分别是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 0x = (0) 0, (0) 0g h= = a ( )0 0f = 0a = ( ) 2 , 0 , 0 x xf x x x ≤=  > R ( )f x R 0a = 1a ≥ ( ) 2f x = 2a ≥ 2a < iA i iB i 1,2,3i = iQ i iP i 1Q 2Q 3Q 1P 2P 3P 1Q 1P 1Q 2P 2Q 1P 2Q 2P 【解析】 【分析】 根据题意可知: 的纵坐标 的纵坐标, 为线段 中点与原点连线的斜率,故结合图 像即可得出结论. 【详解】①因为 为第 名工人在这一天中加工的零件总数, 则 的纵坐标 的纵坐标; 的纵坐标 的纵坐标; 纵坐标 的纵坐标; 结合图像可知: , , 中的最大值为 ; ②因为 为第 名工人在这一天中平均加工 零件数, 则 为线段 中点与原点连线的斜率, 结合上图可知: , , 中的最大值是 ; 故选:A. 【点睛】本题考查函数的图像,能明确 , 的几何意义是解题关键. 二、填空题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分. 10.抛物线 的准线方程为______. 【答案】 【解析】 【分析】 的 的 i iQ A= iB+ iP i iA B iQ i 1 1Q A= 1B+ 2 2Q A= 2B+ 3 3Q A= 3B+ 1Q 2Q 3Q 1Q iP i iP i iA B 1P 2P 3P 1P iQ iP 2 16x y= 4y = − 利用抛物线方程确定 ,即可求出准线方程. 【详解】抛物线 的焦点在 轴上,且 , 故其准线方程为: , 故答案为: . 【点睛】本题考查抛物线方程,属于基础题. 11.已知四个函数：① ，② ，③ ，④ ，从中任选 2 个，若所选 2 个函数的图像有且仅有一个公共点，则这两个函数可以是______.（写出一对序号即可） 【答案】①③(或①④) 【解析】 【分析】 作出函数的图像,分别判断交点个数即可. 【详解】作出函数图像如下图所示: 结合图像可知:① 与③ ,④ 均只有一个交点, 故答案为:①③(或①④) 【点睛】本题考查函数的图像及其交点个数问题,属于简单题. 12.在正项等比数列 中，若 ， ， ， 成等差数列，则 ______. 【答案】 【解析】 p 2 16x y= y 42 p = 4y = − 4y = − y x= − 1y x = − 3y x= 1 2y x= y x= − 3y x= 1 2y x= { }na 1a 1 2 3a 22a 4 3 a a = 2 7 3 + 【分析】 根据等差中项的性质,列出等式求解 ,进而得出结论. 【详解】设正项等比数列 的公比为 , 由 , , , 成等差数列, 可得 , 解得 或 (舍), 所以 , 故答案为: . 【点睛】本题考查等差中项的性质应用,结合等比数列的相关知识,需要一定的计算能力. 13.方程 在区间 上的解集为______. 【答案】 【解析】 【分析】 利用二倍角公式将原方程化为关于 的二次方程求解,再结合 的范围求解 即可. 【详解】 , 解得 或 , 因为 , 所以 或 或 , 故答案为: . 【点睛】本题考查二倍角公式的应用,考查解三角函数相关的方程,需要一定的计算能力,属于 简单题. q { }na q 1a 1 2 3a 22a 2 1 3 1 1 2 2 3 1 1 1 1 1 12 2 2 22 2 a a a a q a a a q a q + =  + = ⇒ + = + =   2 7 3q += 2 7 3q −= 4 3 2 7 3 a qa += = 2 7 3 + sin cos2x x= [ ],π π− 5, ,2 6 6 π π π −   sin x x sin x 2sin cos2 1 2sinx x x= = − 1sin 2x = sin 1x = − [ ],x π π∈ − 6x π= 5 6x π= 2x π= − 5, ,2 6 6 π π π −   14.设 a＞0,b＞0． 若关于 x,y 的方程组 无解，则 的取值范围是 ． 【答案】 【解析】 试 题 分 析 ： 方 程 组 无 解 等 价 于 直 线 与 直 线 平 行 ， 所 以 且 ．又 ， 为正数，所以 （ ），即 取值范围是 ． 考点：方程组的思想以及基本不等式的应用． 15.对任意两个非零的平面向量 和 ，定义 和 之间的新运算 ： .若非零 的平面向量 ， 满足： 和 都在集合 中，且 .设 与 的夹角 ，则 ______. 【答案】 【解析】 【分析】 化 简 , , 则 ,因此依据 的范围即可求出 的范围,进而确定其值,求 出 . 【详解】 , , , 1,{ 1 ax y x by + = + = +a b (2, )+∞ 1ax y+ = 1x by+ = 1ab = 1a b≠ ≠ a b 2 2a b ab+ > = 1a b≠ ≠ +a b (2, )+∞ α β α β ⊗ α βα β β β ⋅⊗ = ⋅      a b a b⊗  b a⊗  3| ,3 nx x n Z   = ∈    a b≥  a b ,6 4 π πθ  ∈   ( )sina b θ⊗ =  2 3 1 cos 3 3 a a b k b θ⋅ ⊗ = =     2 cos 3 3 b b a k a θ⋅ ⊗ = =     2 1 2 1( ) ( ) cos 3a b b a k kθ⊗ ⋅ ⊗ = =    θ 1 2k k ( )sina b θ⊗  1 1 cos cos 3 ( )3 a b aa ba b k k Z b b b b b θ θ⋅ ⋅ ⋅⋅⊗ = = = = ∈ ⋅ ⋅           2 2 cos cos 3 ( )3 b a bb ab a k k Z a a a a a θ θ⋅ ⋅ ⋅⋅⊗ = = = = ∈ ⋅ ⋅           2 1 2 1( ) ( ) cos 3a b b a k kθ∴ ⊗ ⋅ ⊗ = =    , , , , , , , , ,即 , , 故答案为: . 【点睛】本题以新定义为背景考查向量数量积的应用,结合了三角函数的相关知识,需要学生有 一定的分析计算能力. 三、解答题共 6 小题，共 80 分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 16.已知函数 . （1）求函数 的单调递减区间； （2）当 时， 恒成立，求 的取值范围. 【答案】（1） ;（2） 【解析】 【分析】 (1)化简 ,再用整体法求出其单调减区间即可; (2)根据 ,即可求出 的值域,再令 即可求解. 【详解】(1) , ,6 4 π πθ  ∈   2 1 3cos ( , )2 4 θ∴ ∈ 1 2 3 9( , )2 4k k∴ ∈ 1 2,k k Z∈ 1 2 2k k∴ = 2 2cos 3 θ = 3sin 3 θ = a b≥   1 2k k∴ > 1 22, 1k k= = ( ) 2sin 3a b θ∴ ⊗ =  2 3 ( ) sin sin cos6 6f x x x x a π π   = + + − + +       ( )f x 0, 2x π ∈   ( ) 0f x ≥ a 4[2 ,2 ]( )3 3k k k Z π ππ π+ + ∈ [ 1, )− +∞ ( )f x 0, 2x π ∈   ( )f x min( ) 0f x ≥ ( ) sin sin cos6 6f x x x x a π π   = + + − + +       3 1 3 1sin cos sin cos cos2 2 2 2x x x x x a= + + − + + 3sin cosx x a= + + 2sin( )6x a π= + + 令 , 解得 因此 的单调递减区间为 , (2)当 时, , , , 又 恒成立, 所以 ,即 , 所以 的取值范围为: . 【点睛】本题考查复合型三角函数求单调区间及其相关的恒成立问题,难度不大.解决此类恒成 立问题的关键是将其转化为最值问题. 17. 的内角 的对边分别为 已知 . （1）求角 和边长 ； （2）设 为 边上一点，且 ,求 的面积. 【答案】（1） ， ；（2） . 【解析】 试题分析：（1）先根据同角的三角函数的关系求出 从而可得 的值，再根据 余弦定理列方程即可求出边长 的值；（2）先根据余弦定理求出 ，求出 的长，可 得 ，从而得到 ，进而可得结果. 试题解析：（1） ， ，由余弦定 32 2 ( )2 6 2k x k k Z π π ππ π+ ≤ + ≤ + ∈ 42 2 ( )3 3k x k k Z π ππ π+ ≤ ≤ + ∈ ( )f x 4[2 ,2 ]( )3 3k k k Z π ππ π+ + ∈ 0, 2x π ∈   2[ , ]6 6 3x π π π+ ∈ 1sin( ) [ ,1]6 2x π∴ + ∈ ( ) [1 ,2 ]f x a a∴ ∈ + + ( ) 0f x ≥ 1 0a+ ≥ 1a ≥ − a [ 1, )− +∞ ABC∆ , ,A B C , , ,a b c sin 3 cos 0, 2 7, 2A A a b+ = = = A c D BC AD AC⊥ ABD∆ 2 3 π 4 3 tan 3A = − A c cosC CD 1 2CD BC= 1 2ABD ABCS S∆ ∆= sin 3 cos 0, tan 3A A A+ = ∴ = − 20 , 3A A ππ< < ∴ = 理可得 ，即 ，即 ，解得 （舍去）或 ，故 . (2) ， ， ， ， ， . 18.已知 过 ， ， 三点. （1）求 的标准方程； （2）直线 ： 与 相交于 ， 两点，求 的面积（ 为圆心）. 【答案】(1) ;(2) 【解析】 【分析】 (1)根据题意设出圆的一般方程,再代点求解,最后化为标准式即可; (2)先求出圆心 到直线 的距离,再利用垂径定理求出弦长 ,进而可求 的面积. 【详解】(1)设圆 的方程为 , 因为 过 , , 三点, 所以 , 所以圆 的方程为 , 所以圆 的标准方程为 ; (2)圆心 到直线 的距离为 , 2 2 2 2 cosa b c bc A= + − 2 128 4 2 2 2c c  = + − × × −   2 2 24 0c c+ − = 6c = − 4c = 4c = 2 2 2 2 cosc b a ab C= + − 16 28 4 2 2 7 2 cosC∴ = + − × × × 2 2cos , 72cos7 7 ACC CD C ∴ = ∴ = = = 1 2CD BC∴ = 1 1 34 2 2 32 2 2ABCS AB AC sin BAC∆∴ = ⋅ ⋅ ∠ = × × × = 1 32ABD ABCS S∆ ∆∴ = = M ( )1,7A − ( )2,6B ( )1, 3C − − M l 2 0x y− + = M D E MDE∆ M 2 2( 1) ( 2) 25x y+ + − = 7 2 M l DE MDE∆ M 2 2 0x y Dx Ey F+ + + + = M ( )1,7A − ( )2,6B ( )1, 3C − − 1+49 7 0 2 4 36 2 6 0 4 1 9 3 0 20 D E F D D E F E D E F F − + + = =   + + + + = ⇒ = −   + − − + = = −  M 2 2 2 4 20 0x y x y+ + − − = M 2 2( 1) ( 2) 25x y+ + − = 2( )1,M − l 1 2 2 2 22 d − − += = 则 , 所以 的面积为 . 【点睛】本题考查求圆的方程,考查直线与圆相交的相关性质,难度不大.一般遇见直线与圆相 交的题时,常用上垂径定理. 19.已知函数 . （1）求曲线 在点 处的切线方程； （2）若 ，证明“ ”是“ ”的充分不必要条件. 【答案】(1) ;(2)证明见详解 【解析】 【分析】 (1)求出 ,再根据切点求切线方程即可; (2)分别对其充分性和必要性进行分析即可. 详解】(1) , 所以 , 所以 在点 处的切线方程为: , 即 ; (2)当 时, , , 令 ,则 在 上单调递增; 令 ,则 在 上单调递减; 所以 ①若 ,则 , 故 在 上单调递增, 【 2 2 12 2 25 7 22DE MD d= − = − = MDE∆ 1 1 2 77 22 2 2 2S DE d= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = ( ) 2 2xf x e x ax= − + ( )y f x= ( )( )0, 0f 0x > 0a > ( ) 1f x > (1 2 ) 1 0a x y+ − + = ( )f x′ ( ) 2 2xf x e x a′ = − + (0) 1, (0) 1 2f f a′= = + ( )f x ( )0,1 1 (1 2 )y a x− = + (1 2 ) 1 0a x y+ − + = 0x > ( ) 2 2xf x e x a′ = − + ( ) 2xf x e′′ = − ( ) 0 ln 2f x x′′ > ⇒ > ( )f x′ (ln 2, )+∞ ( ) 0 0 ln 2f x x′′ < ⇒ < < ( )f x′ (0,ln 2) min( ) (ln 2) 2 2ln 2 2f x f a′ ′= = − + 0a > min( ) 2 2ln 2 2 0f x a′ = − + > ( )f x (0, )+∞ 所以 , 即“ ” “ ”; ②由①可知,只要 ,即 时, 即在 上单调递增,即有 , 因此“ ” “ ”; 故“ ”是“ ”的充分不必要条件. 【点睛】本题考查利用导数求切线方程,还结合了充要性考查导数的相关性质,属于中档题. 20.已知椭圆 ： 与 轴交于 ， 两点， 为椭圆 的左焦点， 且 是边长为 2 的等边三角形. （1）求椭圆 的方程； （2）设过点 的直线与椭圆 交于不同的两点 ， ，点 关于 轴的对称点为 （ 与 ， 都不重合），判断直线 与 轴是否交于一个定点？若是，请写出定点坐标， 并证明你的结论；若不是，请说明理由. 【答案】（1） ;（2） ,证明见详解 【解析】 【分析】 (1)由题意可得 ,由△ 是边长为 2 的等边三角形,可得 , ,进 而得到椭圆方程; (2)设出直线 的方程和 , 的坐标,则可知 的坐标,进而表示出 的直线方程,再联立 方程与椭圆方程,即可把 代入 求得 ,结合韦达定理进行化简,进而得出直线 与 轴交于定点 . 【详解】(1)由题意可得 , , , , ( ) (0) 1f x f> = 0a > ⇒ ( ) 1f x > min( ) 2 2ln 2 2 0f x a′ = − + > ln 2 1a > − ( )f x (0, )+∞ ( ) 1f x > ( ) 1f x > ⇒ 0a > 0a > ( ) 1f x > C ( )2 2 2 2 1 0x y a ba b + = > > y 1B 2B 1F C 1 1 2F B B∆ C ( )1,0- C P Q P x 1P 1P P Q 1PQ x 2 2 14 x y+ = ( 4,0)− 2 2 1 1| |F B c b a= + = 1 1 2F B B 2a = 1b = PQ P Q 1P 1PQ PQ 0y = 1PQ x 1PQ x ( 4,0)− 1(0, )B b 2 (0, )B b− 1( ,0)F c− 2 2 1 1| |F B c b a= + = 由△ 是边长为 2 的等边三角形,可得 , ,即 , 则椭圆的方程为 ; (2)由题可知直线 的斜率不为 0,故设直线 的方程为: , 联立 , 得 ,即 ( ), 设 , , , ,则 , , 又 , , 经过点 , , , 的直线方程为 , 令 ,则 , 又 , . 当 时, . 故直线 与 轴交于定点 . 【点睛】本题主要考查求椭圆的标准方程以及直线过定点问题,属于中档题. 21.已知数列 ： ， ， ，…， 为 1，2，3，…， 的一个排列，若 互不相同，则称数列 具有性质 . （1）若 ，且 ，写出具有性质 的所有数列 ； （2）若数列 具有性质 ，证明： ； （3）当 时，分别判断是否存在具有性质 的数列 ？请说明理由. 【答案】(1) 或 ;(2)证明见详解;(3) 时不存在, 时存在,理由见详解 【解析】 1 1 2F B B 2a = 2 2b = 1b = 2 2 14 x y+ = PQ PQ 1x my= − 2 2 1 4 4 x my x y = −  + = 2 2( 1) 4 4my y− + = 2 2( 4) 2 3 0m y my−+ − = 0m ≠ 1(P x 1)y 2(Q x 2 )y 1 1(P x 1)y− 1 2 2 2 4 my y m + = + 1 2 2 3 4y y m = − + 1 1(P x 1)y− 2(Q x 2 )y 1 2 1 1 2 1 y y y y x x x x + +=− − 0y = 2 1 1 2 2 1 1 1 2 1 1 2 x x x y x yx y xy y y y − += + =+ + 1 1 1x my= − 2 2 1x my= − 0y = 1 2 2 1 1 2 1 2 1 2 ( 1) ( 1) 2 1my y my y my yx y y y y += = −+ + − − 2 2 6 4 1 3 1 42 4 m m m m − += − = − − = − + 1PQ x ( 4,0)− A 1a 2a 3a ( )4na n ≥ n ( )1,2,3, ,ia i i n− = ⋅⋅⋅ A P 4n = 1 4a = P A A P 1 1a ≠ 7,8n = P A 4,1,3,2 4,2,1,3 7n = 8n = 【分析】 (1)根据题意直接写数列即可; (2)假设 ,则 ,那么 最多有 个结果,无法满足 个 互不相同,故 不满足性质 ,题设得证; (3)根据两组 1,2,3,…, 中的奇偶个数,可以推导 的结果中,奇数与偶数的个数组合,从而 得出结论. 【详解】(1)若 ,且 , 则具有性质 的数列 有两个, 分别是 或 ; (2)数列 : , , ,…, 为 1,2,3,…, 的一个排列, 则 最多有 个结果,分别是 , 若 ,则 , 时, 最多有 个结果,分别是 , 因此,若 ,则 最多有 个结果,分别是 , 无法满足 个 互不相同,故不满足性质 , 因此,若数列 具有性质 ,则 ; (3)当 时,不存在具有性质 的数列 ; 当 时,存在具有性质 的数列 . 证明如下: 当 时, : , , ,…, 为 1,2,3,…,7 的一个排列, 若其具有性质 ,则 的结果应该分别是 , 包含 3 个奇数,4 个偶数, 而两组 1,2,3,…,7 中,包含 8 个奇数,6 个偶数, 其中,3 个奇数与 3 个偶数相减能得到结果中的 3 个奇数, 但剩下的 5 个奇数和 3 个偶数组合无法减出 4 个偶数, 因此 时,不存在具有性质 的数列 ; 1 1a = 1 1 0a − = ia i− 1n − n ia i− P n ia i− 4n = 1 4a = P A 4,1,3,2 4,2,1,3 A 1a 2a 3a ( )4na n ≥ n ia i− n 0,1,2, , 1n − 1 1a = 1 1 0a − = 2i ≥ ia i− 1n − 0,1,2, , 2n − 1 1a = ia i− 1n − 0,1,2, , 2n − n ia i− P A P 1 1a ≠ 7n = P A 8n = P A 7n = A 1a 2a 3a 7a P ia i− 0,1,2, ,6 7n = P A 若 ,则两组 1,2,3,…,8 中包含 8 个奇数,8 个偶数, 可以组合相减得到 ,这 4 个偶数,4 个奇数, 因此 时,存在具有性质 的数列 . 【点睛】本题以新定义为背景考查数列,结合了排列组合的相关知识,需要学生有一定的分析推 理能力. 8n = 0,1,2, ,7 8n = P A