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- 2021-04-14 发布
2017-2018学年陕西省延安市实验中学大学区校际联盟高二（上）期末数学试卷（理科）（B卷）
一、选择题（每小题3分，共36分）
1．（3分）复数 （1+i）2等于（ ）
A．2 B．﹣2 C．2i D．﹣2i
2．（3分）已知命题p：所有有理数都是实数，命题q：正数的对数都是负数，则下列命题中为真命题的是（ ）
A．（￢p）∨q B．p∧q C．（￢p）∧（￢q） D．（￢p）∨（￢q）
3．（3分）已知向量，，满足||=||+||，则（ ）
A．=+ B．=﹣﹣ C．与同向 D．与同向
4．（3分）命题“任意四边形都有外接圆”的否定为（ ）
A．任意四边形都没有外接圆 B．任意四边形不都有外接圆
C．有的四边形没有外接圆 D．有的四边形有外接圆
5．（3分）“α=β”是“sinα=sinβ”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件
6．（3分）命题“当AB=AC时，△ABC为等腰三角形”，则它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数是（ ）
A．1 B．3 C．2 D．0
7．（3分）双曲线x2﹣4y2=4的焦点坐标为（ ）
A．（±，0） B．（0，±） C．（0，±） D．（±，0）
8．（3分）已知直线l的方向向量，平面α的法向量，且l∥α，则m=（ ）
A．8 B．﹣8 C．1 D．﹣1
9．（3分）设抛物线y2=4x的焦点弦的两个端点分别为A（x1，y1）和B（x2，y2），若x1+x2=6，那么|AB|=（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
10．（3分）在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M和N分别为A1B1和BB1的中点，那么直线AM与CN所成角的余弦值是（ ）
A． B． C． D．
11．（3分）设F1、F2是椭圆E：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，P为直线x=上一点，△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，则E的离心率为（ ）
A． B． C． D．
12．（3分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，O是底面A1B1C1D1的中心，则O到平面ABC1D1的距离为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（每小题4分，共16分）
13．（4分）有下列四个命题：
①“全等三角形的面积相等”的逆命题；
②若a2+b2=0，则a，b全为0；
③命题“若A∩B=B，则A⊆B”的逆否命题；
其中是真命题的是 （填上你认为正确的命题的序号）．
14．（4分）椭圆=1的左焦点为F1，过右焦点F2的直线与椭圆相交于点A、B．则△A F1B的周长是 ．
15．（4分）已知复数z1=m+2i，z2=3﹣4i，若为实数，则实数m= ．
16．（4分）在四面体O﹣ABC中，，，，D为BC的中点，E为AD的中点，则= （用a，b，c表示）
三、解答题（共48分）
17．（8分）已知抛物线y2=12x，双曲线，它们有一个共同的焦点．
求：（1）m的值及双曲线的离心率；
（2）抛物线的准线方程及双曲线的渐近线方程．
18．（8分）如图所示，已知直角梯形ABCD，其中AB=BC=2，AD=1，AS⊥平面ABCD，AB⊥AD，且AS=AB．求直线SC与底面ABCD所成角θ的余弦值．
19．（9分）已知p：x2+mx+1=0有两个不等的实根，q：函数f（x）=（m2﹣m+1）x在（﹣∞，+∞）上是增函数．若p或q为真，非p为真，求实数m的取值范围．
20．（11分） 如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分别是棱BC，CC1上的点，CF=AB=2CE，AB：AD：AA1=1：2：4，AB=1
（1）证明AF⊥平面A1ED；
（2）求二面角A1﹣ED﹣F的正弦值．
[
21．（12分）在平面xOy中，已知椭圆C：过点P（2，1），且离心率．
（1）求椭圆C的方程；
（2）直线l 方程为，直线l 与椭圆C交于A，B两点，求△PAB面积的最大值．
2017-2018学年陕西省延安市实验中学大学区校际联盟高二（上）期末数学试卷（理科）（B卷）
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共36分）
1．（3分）复数 （1+i）2等于（ ）
A．2 B．﹣2 C．2i D．﹣2i
【分析】直接展开两数和的平方公式求解．
【解答】解：（1+i）2=1+2i+i2=2i，
故选：C．
【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础的计算题．
2．（3分）已知命题p：所有有理数都是实数，命题q：正数的对数都是负数，则下列命题中为真命题的是（ ）
A．（￢p）∨q B．p∧q C．（￢p）∧（￢q） D．（￢p）∨（￢q）
【分析】先判断命题p和命题q的真假，命题p为真命题，命题q为假命题，再由真值表对照答案逐一检验．
【解答】解：不难判断命题p为真命题，命题q为假命题，从而¬p为假命题，¬q为真命题，
所以A、B、C均为假命题，
故选D．
【点评】本题考查复合命题的真值判断，属基本题．
3．（3分）已知向量，，满足||=||+||，则（ ）
A．=+ B．=﹣﹣ C．与同向 D．与同向
【分析】利用向量的模的关系，直接判断结果即可．
【解答】解：向量，，满足||=||+||，
所以C线段AB之间，所以与同向．
故选：D．
【点评】本题考查向量的模以及向量关系的充要条件，基本知识的考查．
4．（3分）命题“任意四边形都有外接圆”的否定为（ ）
A．任意四边形都没有外接圆 B．任意四边形不都有外接圆
C．有的四边形没有外接圆 D．有的四边形有外接圆
【分析】运用全称命题的否定为特称命题，以及量词和否定词的变化，即可得到所求命题的否定．
【解答】解：由全称命题的否定为特称命题，可得
命题“任意四边形都有外接圆”的否定为
“有的四边形没有外接圆”．
故选：C．
【点评】本题考查命题的否定，注意运用全称命题的否定为特称命题，以及量词和否定词的变化，属于基础题．
5．（3分）“α=β”是“sinα=sinβ”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件
【分析】当两个角相等时，可以得到两个角的正弦值相同，即α=β⇒sinα=sinβ，而当两个角的正弦值相等时，可以得到两个角是终边相同的角或终边关于纵轴对称的角，即后者不能推出前者．
【解答】解：∵当两个角相等时，可以得到两个角的正弦值相同，
即α=β⇒sinα=sinβ，
而当两个角的正弦值相等时，可以得到两个角是终边相同的角或终边关于纵轴对称的角，
即后者不能推出前者，
∴α=β是sinα=sinβ的充分不必要条件，
故选A．
【点评】本题考查条件问题，本题解题的关键是理解正弦值相同的两个角之间的关系，不要在这里出现错误，本题是一个基础题．
6．（3分）命题“当AB=AC时，△ABC为等腰三角形”，则它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数是（ ）
A．1 B．3 C．2 D．0
【分析】分别写出原命题的逆命题、否命题和逆否命题，再判断它们的真假性即可．
【解答】解：原命题“当AB=AC时，△ABC为等腰三角形”，它是真命题；
它的逆命题是：“若△ABC为等腰三角形，则AB=AC”，是假命题；
其否命题是“若AB≠AC，则△ABC不是等腰三角形”，也是假命题；
其逆否命题是：“若△ABC不是等腰三角形，则AB≠AC”，是真命题；
综上，原命题的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题有1个．
故选：A．
【点评】本题考查了四种命题之间的关系应用问题，也考查了命题真假的判断问题，是基础题．
7．（3分）双曲线x2﹣4y2=4的焦点坐标为（ ）
A．（±，0） B．（0，±） C．（0，±） D．（±，0）
【分析】利用双曲线方程，化为标准方程，然后求解双曲线的焦点坐标．
【解答】解：双曲线x2﹣4y2=4，标准方程为：，
可得a=2，b=1，c=，
所以双曲线的焦点坐标：（±，0）．
故选：D．
【点评】本题考查双曲线的焦点坐标的求法，双曲线的简单性质的应用，考查计算能力．
8．（3分）已知直线l的方向向量，平面α的法向量
，且l∥α，则m=（ ）
A．8 B．﹣8 C．1 D．﹣1
【分析】l∥α，可得•=0．基础即可得出．
【解答】解：∵l∥α，∴•=2+m+2=0．
∴m=﹣8．
故选：B．
【点评】本题考查了线面平行的性质、数量积运算性质、法向量的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
9．（3分）设抛物线y2=4x的焦点弦的两个端点分别为A（x1，y1）和B（x2，y2），若x1+x2=6，那么|AB|=（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【分析】先根据抛物线方程求出p的值，再由抛物线的定义可得|AB|=x1+x2+p得到答案．
【解答】解：∵抛物线y2=4x∴p=2，
根据抛物线的定义可得|AB|=x1+x2+p=6+2=8，
故选：B．
【点评】本题主要考查抛物线的基本性质．属基本知识的考查
10．（3分）在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M和N分别为A1B1和BB1的中点，那么直线AM与CN所成角的余弦值是（ ）
A． B． C． D．
【分析】先通过平移将两条异面直线平移到同一个起点B1，得到的锐角或直角就是异面直线所成的角，在三角形中再利用余弦定理求出此角即可．
【解答】解：如图，将AM平移到B1E，NC平移到B1F，则∠EB1F为直线AM与CN所成角
棱长为1，则B1E=B1F=，EF=，
∴cos∠EB1F=，
故选D．
【点评】本题主要考查了异面直线及其所成的角，以及余弦定理的应用，属于基础题．
11．（3分）设F1、F2是椭圆E：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，P为直线x=上一点，△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，则E的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【分析】利用△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，可得|PF2|=|F2F1|，根据P为直线x=上一点，可建立方程，由此可求椭圆的离心率．
【解答】解：∵△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，
∴|PF2|=|F2F1|
∵P为直线x=上一点
∴
∴
故选C．
【点评】本题考查椭圆的几何性质，解题的关键是确定几何量之间的关系，属于基础题．
12．（3分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，O是底面A1B1C1D1的中心，则O到平面ABC1D1的距离为（ ）
A． B． C． D．
【分析】过O作A1B1的平行线，交B1C1于E，则O到平面ABC1D1的距离即为E到平面ABC1D1的距离．作EF⊥BC1于F，进而可知EF⊥平面ABC1D1，进而根据EF=B1C求得EF．
【解答】解：过O作A1B1的平行线，交B1C1于E，
则O到平面ABC1D1的距离即为E到平面ABC1D1的距离．
作EF⊥BC1于F，易证EF⊥平面ABC1D1，
可求得EF=B1C=．
故选B．
【点评】
本题主要考查了点到面的距离计算．解题的关键是找到点到面的垂线，即点到面的距离．
二、填空题（每小题4分，共16分）
13．（4分）有下列四个命题：
①“全等三角形的面积相等”的逆命题；
②若a2+b2=0，则a，b全为0；
③命题“若A∩B=B，则A⊆B”的逆否命题；
其中是真命题的是 ② （填上你认为正确的命题的序号）．
【分析】写出①的逆命题，判断真假；利用方程的解判断②的正误；判断原命题的真假，即可判断逆命题的真假判断③的正误；
【解答】解：①“全等三角形的面积相等”的逆命题：面积相等的三角形一定全等，显然不正确；
②因为a2≥0，b2≥0；若a2+b2=0，则a，b全为0；是真命题；
③命题“若A∩B=B，则B⊆A”，所以原命题是假命题，则它的逆否命题也是假命题；
故答案为：②
【点评】本题考查命题的真假的判断，是基本知识的考查．
14．（4分）椭圆=1的左焦点为F1，过右焦点F2的直线与椭圆相交于点A、B．则△A F1B的周长是 8 ．
【分析】首先根据椭圆方程求出椭圆的长半轴a，再根据椭圆的定义得到AF1+AF2=BF1+BF2=2a=4，最后将此式代入到三角形ABF1的周长表达式中，即可得到答案．
【解答】解：∵椭圆方程为：=1，
∴椭圆的长半轴a=2，
由椭圆的定义可得，AF1+AF2=2a=4，
且BF1+BF2=2a=4，
∴△ABF1的周长为：AB+AF1+BF1
=（AF1+BF1）+（AF2+BF2）=4a=8，
故答案为：8．
【点评】本题以椭圆中的三角形为例，考查椭圆的定义、标准方程，以及椭圆简单性质的应用，属于基础题．
15．（4分）已知复数z1=m+2i，z2=3﹣4i，若为实数，则实数m= ．
【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由虚部为0求得m值．
【解答】解：∵z1=m+2i，z2=3﹣4i，
∴=，
又为实数，
∴，得m=﹣．
故答案为：﹣．
【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础的计算题．
16．（4分）在四面体O﹣ABC中，，，，D为BC的中点，E为AD的中点，则= （用a，b，c表示）
【分析】利用D为BC的中点，E为AD的中点，=（+），=（+），化简可得结果．
【解答】解：在四面体O﹣ABC中，，，，D为BC的中点，E为AD的中点，
∴=（+）=+=+×（+）=+（+）=++，
故答案为：++．
【点评】本题考查向量中点公式的应用，以及两个向量的加减法的法则和几何意义．
三、解答题（共48分）
17．（8分）已知抛物线y2=12x，双曲线，它们有一个共同的焦点．
求：（1）m的值及双曲线的离心率；
（2）抛物线的准线方程及双曲线的渐近线方程．
【分析】（1）求得抛物线的焦点（3，0），可得1+m=9，解得m，进而得到双曲线的离心率e；
（2）由准线方程公式求出抛物线的准线方程和渐近线方程的公式求得双曲线的渐近线方程．
【解答】解：（1）抛物线y2=12x的焦点为（3，0），
双曲线（m＞0），可得
1+m=9，解得m=8，
双曲线的a=1，c=3，
则e==3；
（2）抛物线y2=12x的准线方程为x=﹣3，
双曲线x2﹣=1的渐近线方程为．
【点评】本题考查抛物线和双曲线的方程和性质，考查方程思想和运算能力，属于基础题．
18．（8分）如图所示，已知直角梯形ABCD，其中AB=BC=2，AD=1，AS⊥平面ABCD，AB⊥AD，且AS=AB．求直线SC与底面ABCD所成角θ的余弦值．
【分析】连结AC，则∠SCA为所求线面角，在Rt△SAC中求出即可．
【解答】解：连结AC，∵AS⊥平面ABCD，
∴∠SCA为直线SC与平面ABCD所成的角．
∵AB=BC=2，AB⊥BC，
∴AC=2，
又AS=AB=2，∴SC=2．
∴cos∠SCA==．
∴直线SC与底面ABCD所成角θ的余弦值为．
【点评】本题考查了线面角的计算，属于中档题．
19．（9分）已知p：x2+mx+1=0有两个不等的实根，q：函数f（x）=（m2﹣m+1）x在（﹣∞，+∞
）上是增函数．若p或q为真，非p为真，求实数m的取值范围．
【分析】求出命题p，q为真命题的等价条件，结合复合命题真假关系进行转化求解即可．
【解答】解：∵x2+mx+1=0有两个不等的实根，
∴判别式△=m2﹣4＞0，得m＞2或，m＜﹣2，
即p：{m|m＞2或，m＜﹣2}，
由函数f（x）=（m2﹣m+1）x在（﹣∞，+∞）上是增函数，得m2﹣m+1＞1，即m2﹣m＞0，得m＞1或m＜0，
即q：{m|m＞1或m＜0}
因为“p或q为真，非p为真”所以p假q真．
非p：{m|﹣2≤m≤2}，q：{m|m＞1或m＜0}
所以 {m|﹣2≤m＜0或1＜m≤2}
【点评】本题主要考查复合命题真假的应用，根据条件求出命题p，q的等价条件是解决本题的关键．
20．（11分） 如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分别是棱BC，CC1上的点，CF=AB=2CE，AB：AD：AA1=1：2：4，AB=1
（1）证明AF⊥平面A1ED；
（2）求二面角A1﹣ED﹣F的正弦值．
[
【分析】（1）以A为坐标原点建立空间直角坐标系，求出所用点的坐标，得到，，的坐标，由•=，•=0．可得AF⊥EA1，AF⊥ED．再由线面垂直的判定可得AF⊥平面A1ED；
（2）求出平面EFD的法向量，由（1）可知，为平面A1ED的一个法向量，可得cos＜，＞=，进一步求得二面角A1﹣ED﹣F的正弦值为．
【解答】（1）证明：如图所示，建立空间直角坐标系，点A为坐标原点，AB=1，
则D（0，2，0），F（1，2，1），A1（0，0，4），E（1，，0）．
=（1，2，1），，，．
于是•=﹣1﹣3+4=0，•=﹣1+1=0．
因此，AF⊥EA1，AF⊥ED．
又EA1∩ED=E，∴AF⊥平面A1ED；
（2）解：设平面EFD的法向量=（x，y，z），
则，取z=﹣1．可得=（1，2，﹣1），
由（1）可知，为平面A1ED的一个法向量，
于是cos＜，＞=，
从而sin＜，＞=．
∴二面角A1﹣ED﹣F的正弦值为．
【点评】本题考查直线与平面垂直的判定，考查二面角的平面角的求法，训练了利用空间向量求解空间角，是中档题．
21．（12分）在平面xOy中，已知椭圆C：过点P（2，1），且离心率．
（1）求椭圆C的方程；
（2）直线l 方程为，直线l 与椭圆C交于A，B两点，求△PAB面积的最大值．
【分析】（1）利用已知条件列出方程组，然后求解a，b即可得到椭圆方程．
（2）联立直线与椭圆方程，利用韦达定理以及弦长公式结合点到直线的距离公式表示三角形的面积，然后通过基本不等式求解最值即可．
【解答】（12分）
解：（1）椭圆C：过点P（2，1），且离心率．
可得：，解得a=2，c=，则b=，
椭圆方程为：．
（2）设直线方程为，A（x1，y1）、B（x2，y2），
联立方程组整理得：x2+2mx+2m2﹣4=0，x1+x2=﹣2m，﹣4，
利用弦长公式得：，
由点线距离公式得到P到l的距离．
S=|AB|•d=•=≤=2．
当且仅当m2=2，即时取到最大值．最大值为：2．
【点评】本题考查椭圆的简单性质以及椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力．