专题4-2+同角三角函数基本关系式与诱导公式（讲）-2018年高考数学（理）一轮复习讲练测 9页

‎2018年高考数学讲练测【新课标版理】【讲】第四章 三角函数 第02节 同角三角函数基本关系式与诱导公式 ‎【考纲解读】‎ 考 点 考纲内容 ‎5年统计 分析预测 ‎1.诱导公式 ‎①能利用单位圆中的三角函数线推导出的正弦、余弦、正切的诱导公式， ‎ 无 ‎1.公式的应用.‎ ‎2.备考重点：‎ ‎ (1) 掌握诱导公式；‎ ‎(2) 掌握同角三角函数基本关系式.‎ ‎2. 同角三角函数的基本关系式 ‎②理解同角三角函数的基本关系式：‎ ‎2017新课标II.理14,17‎ ‎【知识清单】‎ ‎1．同角三角函数的基本关系式 同角三角函数的基本关系式 ‎(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1(α∈R)．‎ ‎(2)商数关系：tan α＝.‎ 对点练习：‎ ‎【2018届贵州省贵阳市8月摸底】已知，则__________．‎ ‎【答案】-3‎ ‎【解析】‎ ‎2．利用诱导公式化简求值 六组诱导公式 ‎　角 函数　‎ ‎2kπ＋α(k∈Z)‎ π＋α ‎－α π－α －α ＋α 正弦 sin_α ‎－sin_α ‎－sin_α sin_α cos_α cos_α 余弦 cos_α ‎－cos_α cos_α ‎－cos_α sin_α ‎－sin_α 正切 tan_α tan_α ‎－tan_α ‎－tan_α 对于角“±α”(k∈Z)的三角函数记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限”，“奇变偶不变”是指“当k为奇数时，正弦变余弦，余弦变正弦；当k为偶数时，函数名不变”．“符号看象限”是指“在α的三角函数值前面加上当α为锐角时，原函数值的符号”‎ 对点练习：‎ ‎【2018届江西省六校第五次联考】已知， ，则__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【考点深度剖析】‎ 高考对同角三角函数基本关系式和诱导公式的考查主要是小题为主,试题难度不大．主要从两个方面考查：（1）同角的三个函数值中知一求二；（2）能灵活运用诱导公式进行三角函数的求值运算和沟通角度之间的联系．‎ ‎【重点难点突破】‎ 考点1 同角三角函数的基本关系式 ‎【1-1】若为第三象限，则的值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】因为为第三象限，所以．因此，故选择B．‎ ‎【1-2】【浙江省嘉兴市质检】若，，则（ ）‎ A． B． C． D．2 ‎ ‎【答案】C ‎【1-3】【2017安徽马鞍山二模】已知，则（ ）‎ A. B. C. D. 2‎ ‎【答案】D ‎【解析】由 可得 ， ，故选D.‎ ‎【领悟技法】‎ ‎1.利用sin2α＋cos2α＝1可以实现角α的正弦、余弦的互化，利用＝tan α可以实现角α的弦切互化．‎ ‎2.注意公式逆用及变形应用：1＝sin2α＋cos2α，sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α.‎ ‎【触类旁通】‎ ‎【变式一】【变式】已知sin α＝2sin β，tan α＝3tan β，则cos α＝________.‎ ‎【答案】± ‎【解析】∵sin α＝2sin β，tan α＝3tan β，‎ ‎∴sin2α＝4sin2β，①‎ tan2α＝9tan2β，②‎ 由①÷②得：9cos2α＝4cos2β，③‎ ‎①＋③得：sin2α＋9cos2α＝4，‎ ‎∵cos2α＋sin2α＝1，‎ ‎∴cos2α＝，即cos α＝±.‎ 考点2 利用诱导公式化简求值 ‎【2-1】若，是第三象限的角，则 （ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B.‎ ‎【解析】由题意，因为是第三象限的角，所以，‎ 因此.‎ ‎【2-2】已知，求 ‎【答案】18‎ ‎【解析】由题有，，‎ 原式 ‎【2-3】化简 ‎【答案】当时，原式 当时，原式 ‎【解析】（1）当时，‎ 原式；‎ ‎（2）当时，‎ 原式.‎ ‎【领悟技法】‎ ‎ (1)利用诱导公式进行化简求值时，先利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数，其步骤：去负号—脱周期—化锐角．特别注意函数名称和符号的确定．‎ ‎(2)在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号．‎ ‎(3)注意求值与化简后的结果要尽可能有理化、整式化．‎ ‎【触类旁通】‎ ‎【变式一】已知，且，则tanφ＝（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据诱导公式，又因为，所以，所以，所以．‎ ‎【变式二】【2018届浙江省名校协作体上学期】已知，且，则_____，‎ ‎_____．‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】 ‎ 又 ，则 ，且，可得.‎ ‎【易错试题常警惕】‎ 易错典例：,那么( )‎ A. ‎ B. - C. D. -‎ 易错分析：(1)k值的正负一撮；（2）表达式符号易错 正确解析：‎ 温馨提醒：本题主要考察诱导公式、同角三角函数的基本关系式的知识，注意切弦互化这一转化 思想的应用 ‎【学科素养提升之思想方法篇】‎ 数形结合百般好，隔裂分家万事休——数形结合思想 我国著名数学家华罗庚曾说过:"数形结合百般好，隔裂分家万事休。""数"与"形"反映了事物两个方面的属性。我们认为，数形结合，主要指的是数与形之间的一一对应关系。数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过"以形助数"或"以数解形"即通过抽象思维与形象思维的结合，可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的.‎ 向量的几何表示，三角形、平行四边形法则，使向量具备形的特征，而向量的坐标表示和坐标运算又具备数的特征，因此，向量融数与形于一身，具备了几何形式与代数形式的“双重身份”.因此，在应用向量解决问题或解答向量问题时，要注意恰当地运用数形结合思想，将复杂问题简单化、将抽象问题具体化，达到事半功倍的效果. ‎ ‎【典例】如图，在平面直角坐标系xOy中，一单位圆的圆心的初始位置在(0，1)，此时圆上一点P的位置在(0，0)，圆在x轴上沿正向滚动，当圆滚动到圆心位于(2，1)时，的坐标为________.‎ ‎【答案】(2－sin2，1－cos2)‎ ‎【解析】如图，作CQ∥x轴，PQ⊥CQ, Q为垂足.根据题意得劣弧＝2，故∠DCP＝2，则在△PCQ中，∠PCQ＝2－，‎ ‎|CQ|＝cos＝sin 2，|PQ|＝sin＝－cos 2，‎ 所以P点的横坐标为2－|CQ|＝2－sin 2，P点的纵坐标为1＋|PQ|＝1－cos 2，所以P点的坐标为(2－sin 2，1－cos 2)，故＝(2－sin 2，1－cos 2).‎ ‎ ‎