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- 2021-04-14 发布
河北省八所重点中学2017年高考数学一模试卷(解析版)
一、选择题
1．设集合A={y|y=}，B={x|y=}，则下列结论中正确的是（ ）
A．A=B B．A⊆B C．B⊆A D．A∩B={x|x≥1}
2．已知等比数列{an}的公比为，则的值是（ ）
A．﹣2 B．﹣ C． D．2
3．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是（ ）
A．16+8 B．16+4 C．48+8 D．48+4
4．等比数列{an}的前n项和为Sn，已知a2a5=2a3，且a4与2a7的等差中项为，则S4=（ ）
A．29 B．30 C．33 D．36
5．设f（x）为奇函数，且在（﹣∞，0）内是减函数，f（﹣2）=0，则xf（x）＜0的解集为（ ）
A．（﹣1，0）∪（2，+∞） B．（﹣∞，﹣2）∪（0，2） C．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞） D．（﹣2，0）∪（0，2
6．设a＞0，将表示成分数指数幂，其结果是（ ）
A． B． C． D．
7．不等式2x2﹣x﹣3＞0解集为（ ）
A．{x|﹣1＜x＜} B．{x|x＞或x＜﹣1} C．{x|﹣＜x＜1} D．{x|x＞1或x＜﹣}
8．如图所示，程序框图的输出值S=（ ）
A．15 B．22 C．24 D．28
9．已知S，A，B，C是球O表面上的点，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，SA=AB=1，，则球O的表面积等于（ ）
A．4π B．3π C．2π D．π
10．△ABC中，AB=，AC=1，∠B=30°，则△ABC的面积等于（ ）
A． B． C． D．
11．如图，网格纸的小正方形的边长是1，粗线画出的是一个几何体的三视图，则这个几何体的体积为（ ）
A． B． C．2+ D．3+
12．已知椭圆的左顶点和上顶点分别为A、B，左、右焦点分别是F1，F2，在线段AB上有且只有一个点P满足PF1⊥PF2，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．一组数据2，x，4，6，10的平均值是5，则此组数据的标准差是 ．
14．某射手射击1次，击中目标的概率是0.9．他连续射击4次，且各次射击是否击中目标相互之间没有影响．有下列结论：
①他第3次击中目标的概率是0.9；
②他恰好击中目标3次的概率是0.93×0.1；
③他至少击中目标1次的概率是1﹣0.14．
其中正确结论的序号是 （写出所有正确结论的序号）．
15．函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A，ω，φ为常数，A＞0，ω＞0）的部分图象如图所示，则的值是 ．
16．8的展开式中x7的系数为 （用数字作答）
三、解答题
17．已知，．
（1）当n=1，2，3时，分别比较f（n）与g（n）的大小（直接给出结论）；
（2）由（1）猜想f（n）与g（n）的大小关系，并证明你的结论．
18．在如图所示的几何体中，四边形ABCD是等腰梯形，AB∥CD，∠DAB=60°，
FC⊥平面ABCD，AE⊥BD，CB=CD=CF．
（Ⅰ）求证：BD⊥平面AED；
（Ⅱ）求二面角F﹣BD﹣C的余弦值．
19．已知△ABC的三个顶点分别为A（2，3），B（1，﹣2），C（﹣3，4），求
（1）BC边上的中线AD所在的直线方程；
（2）△ABC的面积．
20．设数列{an}前n项和为Sn，且Sn+an=2．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）若数列{bn}满足b1=a1，bn=，n≥2 求证{}为等比数列，并求数列{bn}的通项公式；
（Ⅲ）设cn=，求数列{cn}的前n和Tn．
2017年河北省八所重点中学高考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题
1．设集合A={y|y=}，B={x|y=}，则下列结论中正确的是（ ）
A．A=B B．A⊆B C．B⊆A D．A∩B={x|x≥1}
【考点】集合的包含关系判断及应用．
【分析】求解y=的值域可得集合A，求解y=的定义域可得集合B，根据集合与集合的关系判断即可．
【解答】解：由题意，y=的值域为[0，+∞）
∴集合A=[0，+∞）
y=的定义域需要满足x2﹣1≥0，解得：x≥1或x≤﹣1，
故得A∩B={x|x≥1}．
故选D
【点评】本题考查的知识点是值域定义域以及集合的包含关系判断及应用，属于基础题．
2．已知等比数列{an}的公比为，则的值是（ ）
A．﹣2 B．﹣ C． D．2
【考点】等比数列的性质．
【分析】利用等比数列的通项公式即可得出．
【解答】解：∵等比数列{an}的公比为，
则==﹣2．
故选：A．
【点评】
本题考查了等比数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
3．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是（ ）
A．16+8 B．16+4 C．48+8 D．48+4
【考点】由三视图求面积、体积．
【分析】由已知中的三视图，可知该几何体是一个以俯视图为底面的三棱柱，分别计算底面面积和侧面积，相加可得答案．
【解答】解：由已知中的三视图，可知该几何体是一个以俯视图为底面的三棱柱，
底面面积S=×=4，
且底面为边长为4的等边三角形，
故底面周长为12，高为4，故侧面面积为：12×4=48，
故该几何体的表面积S=48+8，
故选：C
【点评】本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，解决本题的关键是得到该几何体的形状．
4．等比数列{an}的前n项和为Sn，已知a2a5=2a3，且a4与2a7的等差中项为，则S4=（ ）
A．29 B．30 C．33 D．36
【考点】等比数列的前n项和．
【分析】设等比数列{an}的公比是q
，由题意和等比数列的通项公式列出方程组，求出a1和q的值，由等比数列的前项和公式求出S4的值．
【解答】解：设等比数列{an}的公比是q，
由题意得，，即，
解得a1=16，q=，
所以S4==32（1﹣）=30，
故选B．
【点评】本题考查等比数列的前项和公式、通项公式，以及方程思想的应用，属于基础题．
5．设f（x）为奇函数，且在（﹣∞，0）内是减函数，f（﹣2）=0，则xf（x）＜0的解集为（ ）
A．（﹣1，0）∪（2，+∞） B．（﹣∞，﹣2）∪（0，2） C．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞） D．（﹣2，0）∪（0，2
【考点】函数奇偶性的性质；函数单调性的判断与证明．
【分析】根据函数的奇偶性求出f（2）=0，x f（x）＜0分成两类，分别利用函数的单调性进行求解．
【解答】解：∵f（x）为奇函数，且在（﹣∞，0）内是减函数，f（﹣2）=0，
∴f（﹣2）=﹣f（2）=0，在（0，+∞）内是减函数
∴x f（x）＜0则或
根据在（﹣∞，0）内是减函数，在（0，+∞）内是减函数
解得：x∈（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）
故选C
【点评】本题主要考查了函数的奇偶性的性质，以及函数单调性的应用等有关知识，属于基础题．
6．设a＞0，将表示成分数指数幂，其结果是（ ）
A． B． C． D．
【考点】根式与分数指数幂的互化及其化简运算．
【分析】由根式与分数指数幂的互化规则所给的根式化简即可将其表示成分数指数幂，求得其结果选出正确选项．
【解答】解：由题意=
故选C．
【点评】本题考查根式与分数指数幂的互化及其化简运算，解题的关键是掌握并能熟练运用根式与分数指数幂互化的规则．
7．不等式2x2﹣x﹣3＞0解集为（ ）
A．{x|﹣1＜x＜} B．{x|x＞或x＜﹣1} C．{x|﹣＜x＜1} D．{x|x＞1或x＜﹣}
【考点】一元二次不等式的解法．
【分析】通过因式分解，不等式2x2﹣x﹣3＞0化为（x+1）（2x﹣3）＞0，解得即可．
【解答】解：不等式2x2﹣x﹣3＞0因式分解为（x+1）（2x﹣3）＞0
解得：x或x＜﹣1．
∴不等式2x2﹣x﹣3＞0的解集为{x|x＞或x＜﹣1}
故选：B．
【点评】本题考查了一元二次不等式的解法，属于基础题．
8．如图所示，程序框图的输出值S=（ ）
A．15 B．22 C．24 D．28
【考点】程序框图．
【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，依次写出每次循环得到的i，S的值，当S=24时不满足条件S≤20，退出循环，输出S的值为24．
【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：
i=1，S=0
满足条件S≤20，i=3，S=3
满足条件S≤20，i=5，S=8
满足条件S≤20，i=7，S=15
满足条件S≤20，i=9，S=24
不满足条件S≤20，退出循环，输出S的值为24．
故选：C．
【点评】本题主要考查了当型循环结构，循环结构有两种形式：当型循环结构和直到型循环结构，当型循环是先判断后循环，直到型循环是先循环后判断，属于基础题．
9．已知S，A，B，C是球O表面上的点，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，SA=AB=1，，则球O的表面积等于（ ）
A．4π B．3π C．2π D．π
【考点】直线与平面垂直的性质；球的体积和表面积．
【分析】先寻找球心，根据S，A，B，C是球O表面上的点，则OA=OB=OC=OS，根据直角三角形的性质可知O为SC的中点，则SC即为直径，根据球的面积公式求解即可．
【解答】解：∵已知S，A，B，C是球O表面上的点
∴OA=OB=OC=OS=1
又SA⊥平面ABC，AB⊥BC，SA=AB=1，，
∴球O的直径为2R=SC=2，R=1，
∴表面积为4πR2=4π．
故选A．
【点评】本题主要考查了直线与平面垂直的性质，以及球的表面积等有关知识，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．
10．△ABC中，AB=，AC=1，∠B=30°，则△ABC的面积等于（ ）
A． B． C． D．
【考点】解三角形．
【分析】由AB，AC及cosB的值，利用余弦定理即可列出关于BC的方程，求出方程的解即可得到BC的长，然后利用三角形的面积公式，由AB，BC以及sinB的值即可求出△ABC的面积．
【解答】解：由AB=，AC=1，cosB=cos30°=，
根据余弦定理得：AC2=AB2+BC2﹣2AB•BCcosB，即1=3+BC2﹣3BC，
即（BC﹣1）（BC﹣2）=0，解得：BC=1或BC=2，
当BC=1时，△ABC的面积S=AB•BCsinB=××1×=；
当BC=2时，△ABC的面积S=AB•BCsinB=××2×=，
所以△ABC的面积等于或．
故选D
【点评】此题考查学生灵活运用余弦定理及三角形的面积公式化简求值，是一道中档题．
11．如图，网格纸的小正方形的边长是1，粗线画出的是一个几何体的三视图，则这个几何体的体积为（ ）
A． B． C．2+ D．3+
【考点】由三视图求面积、体积．
【分析】根据几何体的三视图，得出该几何体是三棱柱与长方体的组合体，结合图中数据即可求出它的体积．
【解答】解：根据几何体的三视图，得；
该几何体是上部为三棱柱，下部为长方体的组合体，
且三棱柱的底面为底面边长是1，底边上的高是1，三棱柱的高是3，
长方体的底面是边长为1的正方形，高是2；
所以该几何体的体积为
V=V三棱柱+V长方体=×1×1×3+1×1×2=．
故选：B．
【点评】本题考查了空间几何体三视图的应用问题，解题的关键是根据三视图得出几何体的结构特征，是基础题目．
12．已知椭圆的左顶点和上顶点分别为A、B，左、右焦点分别是F1，F2，在线段AB上有且只有一个点P满足PF1⊥PF2，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【考点】椭圆的简单性质．
【分析】由题意可求得AB的方程，设出P点坐标，代入AB的方程，由PF1⊥PF2，得•=0，运用导数求得极值点，结合椭圆的离心率公式，解方程即可求得答案．
【解答】解：依题意，作图如下：
由A（﹣a，0），B（0，b），F1（﹣c，0），F2（c，0），
可得直线AB的方程为： +=1，整理得：bx﹣ay+ab=0，
设直线AB上的点P（x，y），则bx=ay﹣ab，
x=y﹣a，
由PF1⊥PF2，
∴•=（﹣c﹣x，﹣y）•（c﹣x，﹣y）=x2+y2﹣c2
=（y﹣a）2+y2﹣c2，
令f（y）=（y﹣a）2+y2﹣c2，
则f′（y）=2（y﹣a）•+2y，
由f′（y）=0得：y=，于是x=﹣，
∴•=（﹣）2+（）2﹣c2=0，
整理得： =c2，又b2=a2﹣c2，e2=，
∴e4﹣3e2+1=0，
∴e2=，又椭圆的离心率e∈（0，1），
∴e2==（）2，
可得e=，
故选：D．
【点评】本题考查椭圆的性质，向量的数量积的坐标表示，考查直线的方程的运用，着重考查椭圆离心率，以及化简整理的运算能力，属于中档题．
二、填空题
13．一组数据2，x，4，6，10的平均值是5，则此组数据的标准差是 2 ．
【考点】极差、方差与标准差．
【分析】由已知条件先求出x的值，再计算出此组数据的方差，由此能求出标准差．
【解答】解：∵一组数据2，x，4，6，10的平均值是5，
∴2+x+4+6+10=5×5，
解得x=3，
∴此组数据的方差 [（2﹣5）2+（3﹣5）2+（4﹣5）2+（6﹣5）2+（10﹣5）2]=8，
∴此组数据的标准差S==2．
故答案为：2．
【点评】
本题考查一组数据的标准差的求法，解题时要认真审题，注意数据的平均数和方差公式的求法．
14．某射手射击1次，击中目标的概率是0.9．他连续射击4次，且各次射击是否击中目标相互之间没有影响．有下列结论：
①他第3次击中目标的概率是0.9；
②他恰好击中目标3次的概率是0.93×0.1；
③他至少击中目标1次的概率是1﹣0.14．
其中正确结论的序号是 ①③ （写出所有正确结论的序号）．
【考点】相互独立事件的概率乘法公式．
【分析】由题意知射击一次击中目标的概率是0.9，得到第3次击中目标的概率是0.9，连续射击4次，且各次射击是否击中目标相互之间没有影响，得到是一个独立重复试验，根据独立重复试验的公式得到恰好击中目标3次的概率和至少击中目标1次的概率，得到结果．
【解答】解：∵射击一次击中目标的概率是0.9，
∴第3次击中目标的概率是0.9，
∴①正确，
∵连续射击4次，且各次射击是否击中目标相互之间没有影响，
∴本题是一个独立重复试验，
根据独立重复试验的公式得到恰好击中目标3次的概率是C43×0.93×0.1
∴②不正确，
∵至少击中目标1次的概率用对立事件表示是1﹣0.14．
∴③正确，
故答案为：①③
【点评】本题考查独立重复试验，独立重复试验要从三方面考虑①每次试验是在同样条件下进行，②各次试验中的事件是相互独立的，③每次试验都只有两种结果．
15．函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A，ω，φ为常数，A＞0，ω＞0）的部分图象如图所示，则的值是 ．
【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．
【分析】根据顶点的纵坐标求A，根据周期求出ω，由五点法作图的顺序求出∅的值，从而求得f（x）的解析式，进而求得的值
【解答】解：由图象可得A=， =﹣，解得ω=2．
再由五点法作图可得2×+∅=π，∅=，
故f（x）=sin（2x+），
故=sin（2×+）=sin（2×）=，
故答案为．
【点评】本题主要考查由函数y=Asin（ωx+∅）的部分图象求函数的解析式，属于中档题．
16．（x2﹣）8的展开式中x7的系数为 ﹣56 （用数字作答）
【考点】二项式系数的性质．
【分析】利用通项公式即可得出．
【解答】解：Tr+1==x16﹣3r，
令16﹣3r=7，解得r=3．
∴（x2﹣）8的展开式中x7的系数为=﹣56．
故答案为：﹣56．
【点评】本题考查了二项式定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
三、解答题
17．（2017•河北一模）已知，．
（1）当n=1，2，3时，分别比较f（n）与g（n）的大小（直接给出结论）；
（2）由（1）猜想f（n）与g（n）的大小关系，并证明你的结论．
【考点】用数学归纳法证明不等式；不等式比较大小．
【分析】（1）先令n=1，2，3．分别求得f（n）和g（n），再通过计算比较它们的大小即可；
（2）通过前3项进行归纳猜想，用数学归纳法证明．检验n取第一个值时，等式成立，假设n=k时成立，证明当n=k+1时也成立，即可得到猜想成立．
【解答】解：（1）当n=1时，f（1）=1，，f（1）＞g（1），
当n=2时，，，f（2）＞g（2），
当n=3时，，g（3）=2，f（3）＞g（3）．
（2）猜想：f（n）＞g（n）（n∈N*），即．
下面用数学归纳法证明：①当n=1时，上面已证．
②假设当n=k时，猜想成立，即
则当n=k+1时， =；
而，下面转化为证明：
只要证：，需证：（2k+3）2＞4（k+2）（k+1），
即证：4k2+12k+9＞4k2+12k+8，此式显然成立．所以，当n=k+1时猜想也成立．
综上可知：对n∈N*，猜想都成立，
即成立．
【点评】本题考查归纳推理，用数学归纳法证明等式，证明故当n=k+1时，猜想也成立，是解题的难点和关键．
18．（2012•山东）在如图所示的几何体中，四边形ABCD是等腰梯形，AB∥CD，∠DAB=60°，FC⊥平面ABCD，AE⊥BD，CB=CD=CF．
（Ⅰ）求证：BD⊥平面AED；
（Ⅱ）求二面角F﹣BD﹣C的余弦值．
【考点】用空间向量求平面间的夹角；直线与平面垂直的判定；向量语言表述线面的垂直、平行关系；二面角的平面角及求法．
【分析】（Ⅰ）由题意及图可得，先由条件证得AD⊥BD及AE⊥BD，再由线面垂直的判定定理即可证得线面垂直；
（II）解法一：由（I）知，AD⊥BD，可得出AC⊥BC，结合FC⊥平面ABCD，知CA，CA，CF两两垂直，因此可以C为坐标原点，分别以CA，CB，CF所在的直线为X轴，Y轴，Z轴建立如图的空间直角坐标系，设CB=1，表示出各点的坐标，再求出两个平面的法向量的坐标，由公式求出二面角F﹣BD﹣C的余弦值即可；
解法二：取BD的中点G，连接CG，FG，由于 CB=CD，因此CG⊥BD，又FC⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，可证明出∠FGC为二面角F﹣BD﹣C的平面角，再解三角形求出二面角F﹣BD﹣C的余弦值．
【解答】（I）证明：因为四边形ABCD是等腰梯形，AB∥CD，∠DAB=60°．所以∠ADC=∠BCD=120°．又CB=CD，
所以∠CDB=30°，因此，∠ADB=90°，AD⊥BD，
又AE⊥BD且，AE∩AD=A，AE，AD⊂平面AED，
所以BD⊥平面AED；
（II）解法一：由（I）知，AD⊥BD，同理AC⊥BC，
又FC⊥平面ABCD，因此CA，CB，CF两两垂直，以C为坐标原点，分别以CA，
CB，CF所在的直线为X轴，Y轴，Z轴建立如图的空间直角坐标系，
不妨设CB=1，则C（0，0，0），B（0，1，0），D（，﹣，0），F（0，0，1），因此=（，﹣，0），=（0，﹣1，1）
设平面BDF的一个法向量为=（x，y，z），则•=0， •=0
所以x=y=z，取z=1，则=（，1，1），
由于=（0，0，1）是平面BDC的一个法向量，
则cos＜，＞===，所以二面角F﹣BD﹣C的余弦值为
解法二：取BD的中点G，连接CG，FG，由于 CB=CD，因此CG⊥BD，又FC⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，
所以FC⊥BD，由于FC∩CG=C，FC，CG⊂平面FCG．
所以BD⊥平面FCG．故BD⊥FG，所以∠FGC为二面角F﹣BD﹣C的平面角，
在等腰三角形BCD中，由于∠BCD=120°，
因此CG=CB，又CB=CF，
所以GF==CG，
故cos∠FGC=，
所以二面角F﹣BD﹣C的余弦值为
【点评】本题考查线面垂直的证明与二面角的余弦值的求法，解题的关键是熟练掌握线面垂直的判定定理及二面角的两种求法﹣向量法与几何法，本题是高中数学的典型题，也是高考中的热点题型，尤其是利用空间向量解决立体几何问题是近几年高考的必考题，学习时要好好把握向量法的解题规律．
19．（2017•河北一模）已知△ABC的三个顶点分别为A（2，3），B（1，﹣2），C（﹣3，4），求
（1）BC边上的中线AD所在的直线方程；
（2）△ABC的面积．
【考点】直线的一般式方程．
【分析】（1）求出中点D的坐标，用两点式求出中线AD所在直线的方程，并化为一般式．
（2）求出线段BC的长度，求出直线BC的方程和点A到直线BC的距离，即可求得△ABC的面积．
【解答】解：（1）设D（x，y），则x==﹣1，y==1，
∴D（﹣1，1），而A（2，3），
∴KAD==，
∴BC边上的中线AD所在的直线方程为：
y﹣1=（x+2），即：x﹣2y+4=0；
（2）|BC|==2，直线BC的方程是：3x+y+5=0，
A到BC的距离d==，
∴S△ABC=|BC|•d=×2×=14．
【点评】本题考查用两点式求直线方程的方法，点到直线的距离公式的应用，求点A到直线BC的距离是解题的难点．
20．（2017•河北一模）设数列{an}前n项和为Sn，且Sn+an=2．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）若数列{bn}满足b1=a1，bn=，n≥2 求证{}为等比数列，并求数列{bn}的通项公式；
（Ⅲ）设cn=，求数列{cn}的前n和Tn．
【考点】数列递推式；数列的求和．
【分析】（Ⅰ）由数列递推式可得Sn+1+an+1=2，与原数列递推式作差可得数列{an}是等比数列，则数列{an}的通项公式可求；
（Ⅱ）由b1=a1求得b1，把bn=变形可得{}为等比数列，求其通项公式后可得数列{bn}的通项公式；
（Ⅲ）把{an}，{bn}的通项公式代入cn=，利用错位相减法求数列{cn}的前n和Tn．
【解答】（Ⅰ）解：由Sn+an=2，得Sn+1+an+1=2，两式相减，得2an+1=an，∴（常数），
∴数列{an}是等比数列，
又n=1时，S1+a1=2，∴；
（Ⅱ）证明：由b1=a1=1，且n≥2时，bn=，得bnbn﹣1+3bn=3bn﹣1，
∴，
∴{}是以1为首项，为公差的等差数列，
∴，故；
（Ⅲ）解：cn==，
，
，
以上两式相减得，
=
=．
∴．
【点评】本题考查数列递推式，考查了等比关系的确定，训练了错位相减法求数列的和，是中档题．