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- 2021-04-14 发布
东山二中2018—2019学年（上）高二期中考
文科数学试卷
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，满分60分)
1．已知不等式的解集是 ，则的值为( )
A． B． C． D．
2. 设，是两个不同的平面，，是两条不同的直线，且，,
以下命题成立的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
3． 已知直线，则当变化时，所有直线都通过
定点 ( )
A． B． C． D．
4. 我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（ ）
A．9盏 B．5盏 C．3盏 D．1盏
5. 在中，若,则是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形 C. 等边三角形 D．等腰直角三角形
6.对具有线性相关关系的变量有一组观测数据 ,其回归直线方程是且, ,则实数是( )
A． B． C． D．
7．某中学2015届有840名学生，现采用系统抽样方法，抽取42人做问卷调查，将840人按1,2，…，840随机编号，则抽取的42人中，编号落入区间[481,720]的人数为( )
A．11 B．12 C．13 D．14
8．某中学高三从甲、乙两个班中各选出7名学生参加数学竞赛，他们取得
的成绩(满分100分)的茎叶图如图，其中甲班学生成绩的众数是85，
乙班学生成绩的中位数是83，则的值为( )
A．7 B．8 C．9 D．10
9. 给出如下四对事件:
①某人射击1次,“射中7环”与“射中8环”;
②甲、乙两人各射击1次,“至少有1人射中目标”与“甲射中,但乙未射中目标”;
③从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球,“至少一个黑球”与“都是红球”;
④从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球,“没有黑球”与“恰有一个红球”.
其中属于互斥但不对立的事件的有( )
A． 0对 B. 1对 C.2对 D.3对
10. 下边程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框图，若输入的分别为14，18，则输出的为（ ）
11. 函数在(-∞,2]上是单调减函数的必要不充分条件是( )
A. B. C. D.
12.已知函数,，若对,,使得，则实数的取值范围是（ ）
二、填空题(每小题5分，共20分)
13．若实数满足，则的最小值为________．
14.在如图所示的正方体中， 分别是棱的中点,则异面直线与所成角的余弦值为________
15.有下列四个命题,其中真命题有 (只填序号).
①“若,则互为倒数”的逆命题;
②“全等三角形的面积相等”的否命题;
③“若,则有实根”的逆命题;
④“若,则”的逆否命题.
16.在平面直角坐标系中,设D是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于 2的点构成的区域, E是到原点的距离大于1的点构成的区域,向D中随机投一点,则落入E中的概率为 .
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.如图，在中，是边上的一点，，，.
（1）求的长；
（2）若，求的值.
18. 等比数列的各项均为正数，且
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和为；
19.某高级中学共有学生2000人，各年级男、女生人数如下表：
高一
高二
高三
女生
373
男生
377
370
已知在全校学生中随机抽取1名，抽到高二年级女生的概率是0.19.
（1）如果用分层抽样的方法在全校抽取48名学生，问应在高三年级抽取多少人？
（2）已知，求高三年级女生比男生多的概率.
20．某校从参加高一年级期末考试的学生中抽出40名学生，将其成绩（均为整数）分成六段，…后画出如下部分频率分布直方图，观察图形的信息，回答下列问题：
（1）求第四小组的频率，并补全频率分布直方图；
（2）估计这次考试的及格率（60分及以上为及格）和平均分；
（3）从成绩是40～50分及90～100分的学生中选两人，记他们的成绩为x，y，求满足“”的概率.
21.已知命题 ;
命题函数在[1,+∞)上单调递减.
(1)若为真命题,求的取值范围;
(2)若为真命题, 为假命题,求的取值范围.
22．(12分)已知圆C：x2＋y2＋2x－4y＋3＝0．
（1）若圆C的切线在x轴和y轴上的截距相等，求此切线的方程．
（2）从圆C外一点P(x1，y1)向该圆引一条切线，切点为M，O为坐标原点，且有，求使得取得最小值的点的坐标．
东山二中2018—2019学年（上）高二年期中考
文科数学答案
一、选择题(每小题5分，共60分)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
D
A
C
C
A
A
B
B
C
B
C
D
二、填空题（每小题5分，共20分）
13、 14、 15、 ①③ 16、
三．解答题（共6小题，其中17题10分，其余每小题均为12分，共70分）
17.解：（1）由已知，得………………………………………………1分
又，，
在中，由余弦定理，
得，……………………4分
整理，得.解得.…………………………………………5分
（2）由（1）知，，
所以在中，由正弦定理.得，…………………………6分
解得.………………………………………………………7分
因为，所以，从而，即是锐角，……9分
所以.……………………………………………………10分
18. 等比数列的各项均为正数，且
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和为；
解：（Ⅰ）设数列的公比为，由 有
∴，由条件可知各项均为正数，故
由 有
故数列的通项式
（Ⅱ）
故
则：
数列的前项和为
19.某高级中学共有学生2000人，各年级男、女生人数如下表：
高一
高二
高三
女生
373
男生
377
370
已知在全校学生中随机抽取1名，抽到高二年级女生的概率是0.19.
（1）如果用分层抽样的方法在全校抽取48名学生，问应在高三年级抽取多少人？
（2）已知，求高三年级女生比男生多的概率.
解：全校学生中随机抽取1名，抽到高二年级女生的概率
(1) 高三年级学生数为：
用分层抽样的方法在全校抽取48名学生，则应在高三年级抽取
（2）若，则男女生人数可能情况为：
女生数
245
246
247
248
249
250
251
252
253
354
255
男生数
255
254
253
252
251
250
249
248
247
246
245
基本事件总数有11个。
记A=“高三年级女生比男生多”
满足事件A的基本事件有5个
0.03
20．某校从参加高一年级期末考试的学生中抽出40名学生，将其成绩（均为整数）分成六段，…后画出如下部分频率分布直方图，观察图形的信息，回答下列问题：
（1）求第四小组的频率，并补全频率分布直方图；
（2）估计这次考试的及格率（60分及以上为及格）和平均分；
（3）从成绩是40～50分及90～100分的学生中选两人，记他们的成绩为x，y，求满足“”的概率.
解：（1）由频率分布直方图可知第1、2、3、5、6小组的频率分别为：0.1、0.15、0.15、0.25、0.05，所以第4小组的频率为：1-0.1-0.15-0.15-0.25-0.05=0.3．
∴在频率分布直方图中第4小组的对应的矩形的高为，对应图形如图所示：
（2）考试的及格率即60分及以上的频率
∴及格率为0.15+0.3+0.25+0.05=0.75
又由频率分布直方图有平均分为：
（3）设“成绩满足”为事件A
由频率分布直方图可求得成绩在40～50分及90～100分的学生人数分别为4人和2人，记在40～50分数段的4人的成绩分别为，90～100分数段的2人的成绩分别为，则从中选两人，其成绩组合的所有情况有：
，共15种，且每种情况的出现均等可能。若这2人成绩要满足“”，则要求一人选自40～50分数段，另一个选自90～100分数段，有如下情况：，共8种，所以由古典概型概率公式有，即所取2人的成绩满足“”的概率是．
21.已知命题 ;
命题函数在[1,+∞)上单调递减.
(1)若为真命题,求的取值范围;
(2)若为真命题, 为假命题,求的取值范围.
解:若p为真,
若q为真,函数 在[1,+∞)上单调递减,
函数 在[1,+∞)上单调递增,
(1) 若为真命题,则均为真,所以m∈[0,4].
(2) 若为真命题, 为假命题,则一真一假,
，
，
所以m的取值范围为(-∞,0)∪(4,+∞).
22．(12分)已知圆C：x2＋y2＋2x－4y＋3＝0．
（1）若圆C的切线在x轴和y轴上的截距相等，求此切线的方程．
（2）从圆C外一点P(x1，y1)向该圆引一条切线，切点为M，O为坐标原点，且有|PM|＝|PO|，求使得|PM|取得最小值的点P的坐标．
【解析】（1）将圆C整理得(x＋1)2＋(y－2)2＝2．
①当切线在两坐标轴上的截距为零时，设切线方程为y＝kx，
∴圆心到切线的距离为＝，即k2－4k－2＝0，解得k＝2±．
∴y＝(2±)x；
②当切线在两坐标轴上的截距不为零时，设切线方程为x＋y－a＝0，
∴圆心到切线的距离为＝，即|a－1|＝2，解得a＝3或－1．
∴x＋y＋1＝0或x＋y－3＝0．
综上所述，所求切线方程为y＝(2±)x或x＋y＋1＝0或x＋y－3＝0．
（2）∵|PO|＝|PM|，
∴x＋y＝(x1＋1)2＋(y1－2)2－2，即2x1－4y1＋3＝0，
即点P在直线l：2x－4y＋3＝0上．
当|PM|取最小值时，即|OP|取得最小值，此时直线OP⊥l，
∴直线OP的方程为：2x＋y＝0，
解得方程组得
∴P点坐标为．