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- 2021-04-14 发布
2017-2018学年天津市第一中学高二下学期期中考试数学（文）试题
分为第 I 卷（选择题）、第 II 卷（非选择题）两部分，共 100 分，考试用时
90 分钟。第 I 卷 1 页，第 II 卷 至 2 页.考生务必将答案涂写在规定的位置上，答在试卷上的无效.
一、选择题：
1. 已知、、是互不相等的非零实数.若用反证法证明三个方程，， 至少有一个方程有两个相异实根，应假设成（ ）
A． 三个方程都没有两个相异实根 B．一个方程没有两个相异实根
C．至多两个方程没有两个相异实根 D．三个方程不都没有两个相异实根
2. 已知复数，则对应的点所在的象限为（ ）
A． 第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3.曲线在点处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（ ）
A． B． C． D．
4. 下列函数中，在上为增函数的是（ ）
A． B． C． D．
5. 已知定义在上的可导函数的导函数为，满足，且，则不等式的解集为（ ）
A． B． C. D．
6. 若函数图像存在与直线垂直的切线，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C. D．
7. 若点是曲线上任意一点，则点到直线的最小距离为（ ）
A． 1 B． C. D．
8. 设函数 ，若 是函数的极大值点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C. D．
9. 函数的大致图象如图所示,则等于（ ）
A． B． C. D．
10. 已知, ,若存在，，使得，则称函数 与 互为“度零点函数”.若与互为“1 度零点函数”，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C. D．
二、填空题
11. 已知，为虚数单位，为虚数单位，若为实数，则a 的值为 ．
12. 已知函数，则的值为 ．
13. 设，若函数 有大于零的极值点，则的范围为 ．
14. 观察下面一组等式
，
，
，......
根据上面等式猜测，则 ．
15. 已知函数 在区间上不单调，则的取值范围是__________．
16. 设函数 ，，对任意，，不等式恒成立，则正数的取值范围是__________．
三、解答题
17. 已知函数的极值点为2 ．
（1）求实数的值；
（2）求函数的极值；
（3）求函数在区间上的最值．
18. 已知函数
（Ⅰ）若函数在上为增函数，求正实数的取值范围；
（Ⅱ）若关于的方程在区间内恰有两个相异的实根，求实数的取值范围．
19. 已知函数，且
（Ⅰ）求的解析式；
（Ⅱ）若存在，使得成立，求的取值范围；；
（Ⅲ）证明函数的图象在图象的下方.
20.已知函数．
（1）若直线与函数的图象相切，求的值；；
（2）设，对于,都有求实数的取值范围．
参考答案
一、选择题
1-5: ABABB 6-10: ABACB
二、填空题
11. -2 12. -6 13. 14. 25 15. 16.
三、解答题
17. 解：
（1）∵ f ( x) = x2 + aln x,( x > 0)
∴
又函数的极值点为2
∴，
解得．
经验证得符合题意，
∴
（2）由（1）得.
∴，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增.
∴当时，有极小值，且极小值为
（3）由（2）得在当单调递减，在上单调递增，
∴，
∵，，
∴．
18.解：
（Ⅰ）
，因为为正实数，由定义域知，所以函数的单调递增区间为
因为函数在上为增函数，所以，所以.
（Ⅱ）
方程在区间内恰有两个相异的实根方程在区间内恰有两个相异的实根方程在区间内恰有两个相异的实根函数的图象与函数的图象在区间内恰有两个交点
考察函数，，在为减函数，在为增函数
画函数，的草图，要使函数的图象与函数
的图象在区间内恰有两个交点，则要满足所以的取值范围为
19. 解：
（Ⅰ）易知，所以，又
∴
∴
（Ⅱ）若对任意的，都有，
即恒成立，即：恒成立
令，则，
当时，，所以单调递增；
当时，，所以单调递减；
∴时，有最大值，
∴，即的取值范围为.
（Ⅲ）要证明函数的图象在图象的下方，
即证：恒成立，
即：
由（Ⅱ）可得：，所以，
要证明，只要证明，即证：
令中，则，
当时，，所以单调递增，
∴
即，
所以，从而得到，
所以函数的图象在图象的下方
20. 解：
（1），设切点为得得到，
所以所以.
（2）∵∴时，，所以，在上为增函数
不妨设则，，
所以，可化为,
即，设，则在上为减函数，在上恒成立，即在上恒成立，设，则∴∴所以在上为增函数，所以∴.