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- 2021-04-14 发布
2019-2020学年安徽省合肥市金汤白泥乐槐六校高一上学期
联考数学试题
一、单选题
1．已知集合 24 2 { 6 0M x x N x x x ， ，则M N =
A． { 4 3x x B． { 4 2x x C． { 2 2x x D． { 2 3x x
【答案】C
【解析】本题考查集合的交集和一元二次不等式的解法，渗透了数学运算素养．采取数
轴法，利用数形结合的思想解题．
【详解】
由题意得， 4 2 , 2 3M x x N x x ，则
2 2M N x x ．故选 C．
【点睛】
不能领会交集的含义易致误，区分交集与并集的不同，交集取公共部分，并集包括二者
部分．
2．已知集合 24A x y x ， | 1B x a x a ≤ ≤ ， 若 A B=A，则实数 a的
取值范围为（ ）
A． , 3 2, B． 1,2 C． 2,1
D． 2,
【答案】C
【解析】试题分析： 2{ | 4 } | 2 2A x y x x x ，又因为 A B A 即
B A ，所以
1 2
{
2
a
a
，解之得 2 1a ，故选 C.
【考点】1.集合的表示；2.集合的运算.
3．下列四个图形中，不是．．以 x为自变量的函数的图象是( )．
A． B． C．
D．
【答案】C
【解析】试题分析：图形 C中有“一对多”情形，故选 C.
【考点】本题考查函数定义。
4．函数 2
2
xf x
x
的定义域是（ ）
A. 2,2 B. 2,2 2, C. 2, D. 2,
【答案】B
【解析】根据函数解析式的特点得到不等式（组），然后解不等式（组）可得函数的定
义域．
【详解】
要使函数有意义，则有
2 0
2 0
x
x
，
解得 2x 且 2x ，
所以函数的定义域为 2,2 2, ．
故选 B．
【点睛】
求函数的定义域，其实质就是以函数解析式所含运算有意义为准则，列出关于变量的不
等式或不等式组，然后求出它们的解集即可．
5．已知函数 5 3 3f x ax bx cx ， 3 7f ，则 3f 的值为（ ）
A．13 B． 13 C．7 D． 7
【答案】B
【解析】试题解析：设 5 3( ) 3g x f x ax bx cx ，函数为奇函数
∴ (3) ( 3) 3 3 3 3 0 3 13g g f f f
【考点】本题考查函数性质
点评：解决本题的关键是利用函数奇偶性解题
6．函数
1
0
x
f x
x
为有理数
为无理数
，则下列结论错误的是( )
A. f x 是偶函数 B. f x 的值域是 0,1
C.方程 f f x f x 的解只有 1x D.方程 f f x x 的解只有 1x
【答案】C
【解析】根据相关知识对给出的四个选项分别进行分析、判断后可得结论．
【详解】
对于 A，当 x为有理数时，有 1f x f x ；当 x为无理数时，有
0f x f x ，所以函数为偶函数，所以 A正确．
对于 B，由题意得函数的值域为 0,1 ，所以 B正确．
对于 C，若 x为有理数，则方程 f(f(x))=f(1)=1=f(x)恒成立；若 x为无理数，则方程
f(f(x))=f(0)=1≠f(x)，此时无满足条件的 x，故方程 f(f(x))=f(x)的解为任意有理数，所以 C
不正确．
对于 D，若 x为有理数，则方程 f(f(x))=f(1)=1，此时 x=1；若 x为无理数，则方程
f(f(x))=f(0)=1，此时无满足条件的 x，故方程 f(f(x))=x的解为 x=1，所以 D正确．
故选 C．
【点睛】
解得本题的关键是正确理解函数 f x 的定义，同时结合给出的条件分别进行判断，考
查理解和运用的能力，属于基础题．
7．函数 1 1
1
f x
x
的图象是（ ）
A. B. C.
D.
【答案】B
【解析】利用图像的平移变换即可得到结果.
【详解】
函数 1 11 1
1 1
f x
x x
，
把函数
1y
x
的图象向右平移一个单位，再向上平移一个单位，即可得到函数 f x 的
图象，
故选：B
【点睛】
本题考查函数图像的识别，考查函数的图象变换知识，属于基础题.
8．下列函数是偶函数且在区间 上为增函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】试题分析： 和 均是奇函数， 是偶函数，但在
上是减函数；二次函数 是偶函数，且在 上是增函数，∴正确选项 D．
【考点】（1）函数奇偶性的判断；（2）函数单调性判断．
9．已知 21 4 5f x x x ，则 1f x （ ）
A. 2 8 7x x B. 2 6x x C. 2 2 3x x D. 2 6 10x x
【答案】A
【解析】由已知中 f（x﹣1）=x2+4x﹣5，我们利用凑配法可以求出 f（x）的解析式，进
而再由代入法可以求出 f（x+1）的解析式。
【详解】
解：∵ 2 2( 1) 4 5 ( 1) 6( 1)f x x x x x ，
∴ 2( ) 6f x x x
∴ 2 2( 1) ( 1) 6( 1) 8 7f x x x x x ，故选 A
【考点】
用凑配方和代入法求函数的解析式。
【点睛】
把 2( 1) 4 5f x x x 用 2( 1) ,( 1)x x 表示出来，是解决本题的关键。
10．某食品的保鲜时间 y(单位：小时)与储藏温度 x(单位：℃)满足函数关系 y＝ekx＋b(e
＝2.718…为自然对数的底数，k，b为常数).若该食品在 0℃的保鲜时间是 192小时，
在 22℃的保鲜时间是 48小时，则该食品在 33℃的保鲜时间是( )
A.16小时 B.20小时
C.24小时 D.28小时
【答案】C
【解析】由题， ， 都是 图象上的点，代入解析式，得 ，求出
的值
【详解】
由已知条件，得 192＝eb，
又 48＝e22k＋b＝eb·(e11k)2，
∴e11k＝ .
设该食品在 33℃的保鲜时间是 t小时，
则 t＝e33k＋b＝192 e33k＝192(e11k)3＝192× ＝24.
【点睛】
根据题设条件，构建关于参数的关系式，确定参数的取值
11．已知定义在 R上的函数 f x 是奇函数，且 f x 在 ,0 上是减函数，
2 0, 2f g x f x ，则不等式 0xg x 的解集是（ ）
A． , 2 2, B． 4, 2 0,
C． , 4 2, D． , 4 0,
【答案】C
【解析】试题分析：由于 )2()( xfxg 是 )(xf 向左平移 2个单位得到,结合函数的
图象可知当 4x 或 2x ，纵横坐标的积不大于0 , 即应选 C.
【考点】函数的图象与单调性、奇偶性的运用．
【易错点晴】本题考查的是抽象函数的图象、单调性、奇偶性等性质的问题,解答时充
分借助题设中提供的条件信息,进行合理的推理和运算,找出符合题设条件的函数的零点,
从而依据不等式所反映的问题的特征,数形结合、合情推证,最后写出所给不等式的解集.
解答本题的关键是借助图形中所提供的信息确定函数的零点,再将不等式 0xg x 进
行分类与合理转化,最后写出其解集使其获解.
12．对实数 a和b，定义运算“”：
, 1,
, 1.
a a b
a b
b a b
设函数
2 22f x x x x ， xR .若函数 y f x c 的图象与 x轴恰有两个公共
点，则实数 c的取值范围是（ ）．
A. 3, 2 1,
2
B. 3, 2 1,
4
C.
1 11, ,
4 4
D.
3 11, ,
4 4
【答案】B
【解析】化简函数 f（x）的解析式，作出函数 y＝f（x）的图象，由题意可得，函数 y
＝f（x）与 y＝c的图象有 2个交点，结合图象求得结果．
【详解】
解：由题意可得 f（x）
2
2
32 1
2
31
2
x x
x x x x
，
， ＜ 或 ＞
，
函数 y＝f（x）的图象如右图所示：
函数 y＝f（x）﹣c的图象与 x轴恰有两个公共点，
即函数 y＝f（x）与 y＝c的图象有 2个交点．
由图象可得 c≤﹣2，或﹣1＜c
3
4
＜ ．
故选：B．
【点睛】
题主要考查方程的根的存在性及个数判断，二次函数的图象特征、函数与方程的综合运
用，及数形结合的思想，属于中档题．
二、填空题
13．已知
2 1 1
2 3 1
x x
f x
x x
则 3f f __________.
【答案】10
【解析】先求出 3f 的值，然后再求出 3f f 的值即可．
【详解】
由题意得 3 2 3 3 3f ，
∴ 23 3 3 1 10f f f .
故答案为：10．
【点睛】
本题考查分段函数的求值，解题的关键是分清自变量的取值在定义域的哪一个区间上，
考查判断和计算能力，属于简单题．
14．已知 f x 是定义在 R上的奇函数，当 0,x 时， 2 2f x x x ，则
,0x 时， f x __________．
【答案】 2 2x x
【解析】当 ,0x 时， 0,x ，结合题意求出 f x ，然后再根据函数为
奇函数求出 f x 即可．
【详解】
当 ,0x 时，则有 0,x ，
∴ 2 22 2f x x x x x ，
又函数 f x 为奇函数，
∴ 2 2f x x x ，
∴ 2 2f x x x ．
即 ,0x 时， 2 2f x x x ．
故答案为： 2 2x x ．
【点睛】
本题考查利用函数的奇偶性求函数的解析式，考查转化的方法在解题中的应用，解题的
关键是根据对称性将问题转化到区间 0, 上去求解，再根据奇偶性得到所求．
15．已知 f(x)是奇函数，g(x)＝
2 ( )
( )
f x
f x
.若 g(2)＝3，则 g(－2)＝________.
【答案】－1
【解析】求出 (2)f 的值，结合函数的奇偶性，从而求出 ( 2)g 的值即可.
【详解】
由题意可得 g(2)＝
2 (2)
(2)
f
f
＝3，则 f(2)＝1，又 f(x)是奇函数，则 f(－2)＝－1，所以 g(－
2)＝
2 ( 2)
( 2)
f
f
＝ ＝－1.
【点睛】
该题考查的是有关函数值的求解问题，在解题的过程中，涉及到的知识点有奇函数的定
义，结合题中所给的函数解析式，求得结果.
16．给出下列命题：①函数 21 2y x 在 0,3 上的值域为 3,6 ；②函数
3 , 1,1y x x 是奇函数；③函数 1f x
x
在 R上是减函数；其中正确的个数为
______．
【答案】0
【解析】利用二次函数的图像与性质可判断①的正误，利用奇函数的定义域具有对称性
可判断②的正误，利用函数的单调性定义可判③的正误.
【详解】
解：对于①，∵函数 y＝（x﹣1）2+2的对称轴为 x＝1，开口向上，
∴该函数在 0,3 上先减后增，
又 f（1）＝2，f（3）＝6，f（0）＝3，
∴函数 y＝（x﹣1）2+2在 0,3 上的值域为[2，6]，故①错误；
对于②，∵函数 y＝x3中 x∈（﹣1，1]，其定义域不关于原点对称，故该函数不是奇函
数，故②错误；
对于③，∵函数 f（x）
1
x
在（﹣∞，0），（0，+∞）上是减函数，在 R上不是减函数，
故③错误；
故答案为：0．
【点睛】
本题考查函数的对称性、单调性、奇偶性及值域，考查学生数形结合的思想，属于中档
题．
三、解答题
17．已知集合 { | 2 4}A x x ， { | 3 7 8 2 }B x x x ，
（1）求 A∪B，
（2）求 R RC A C B .
【答案】 { | 2}A B x x ; { | 2}R RC A C B x x .
【解析】（1）化简集合 B，利用并集的定义求解即可；（2）利用补集的定义求出 RC A与
RC B，再由交集的定义求解即可.
【详解】
试题解析：(1)由3 7 8 2x x ，可得 3x ，
所以 { | 3}B x x ，
又因为 { | 2 4}A x x
所以 { | 2}A B x x ；
（2）由 { | 2 4}A x x 可得 { | 2RC A x x 或 4}x ，
由 { | 3}B x x 可得 { | 3}RC B x x .
所以 { | 2}R R RC A C B C A B x x .
【点睛】
本题主要考查了不等式，求集合的补集、并集与交集，属于容易题，在解题过程中要注
意在求补集与交集时要考虑端点是否可以取到，这是一个易错点，同时将不等式与集合
融合，体现了知识点之间的交汇.
18．已知
1( )
1
f x
x
(x∈R, 且 x≠－1)，g(x)＝x2＋2(x∈R)．
(1)求 f(2)，g(2)的值；
(2)求 f(g(2))的值；
(3)求 f(a－1)，g(a＋1)的值．
【答案】（1）
1(2) , (2) 6
3
f g ；（2）
1
7
；（3） 21( 1) , ( 1) 2 3f a g a a a
a
.
【解析】试题分析：（1）将 2x 分别代入 f x 和 g(x)的解析式即可；
（2）先求 g(2)=6，再求 f(6)即可；
（3）将 1x a－ 和 1x a 分别代入 f x 和 g(x)的解析式即可
试题解析：
(1)∵f(x)＝ ，∴f(2)＝ ＝ ；
又∵g(x)＝x2＋2，∴g(2)＝22＋2＝6.
(2)f(g(2))＝f(6)＝ ＝ .
(3)f(a－1)＝ ＝ ；
g(a＋1)＝(a＋1)2＋2＝a2＋2a＋3.
19．已知函数 f(x)的定义域为{x|x∈R，且 x≠0}，对定义域内的任意 x1、x2，都有 f(x1·x2)
＝f(x1)＋f(x2)，且当 x>1时，f(x)>0.
(1)求证：f(x)是偶函数；
(2)求证：f(x)在(0，＋∞)上是增函数．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】证明： (1)因对定义域内的任意 x1、x2都有
f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)，
令 x1＝x，x2＝－1，
则有 f(－x)＝f(x)＋f(－1)．
又令 x1＝x2＝－1，得 2f(－1)＝f(1)．
再令 x1＝x2＝1，得 f(1)＝0，
从而 f(－1)＝0，
于是有 f(－x)＝f(x)，所以 f(x)是偶函数．
(2)设 01，从而 f( 2
1
x
x
)>0，
故 f(x1)－f(x2)<0，即 f(x1)