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- 2021-04-14 发布
2017-2018学年山东省武城县第二中学高二下学期期中考试数学试题（文）
2018.4.22
一、单选题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
1．复数（为虚数单位）的共轭复数为（ ）
A. B. C. D.
2．已知函数，则（ ）
A. B. C. D.
3.对于命题：三角形的内角至多有一个是钝角，若用反证法证明，则下列假设正确的是（ ）
A. 假设至少有一个钝角
B. 假设至少有两个钝角
C. 假设三角形的三个内角中没有一个钝角
D. 假设没有一个钝角或至少有两个钝角
4．如图所示，程序框图的输出值（ ）
A.
B.
C.
D.
5．已知直线y＝kx是曲线y＝ex的切线，则实数k的值为( )
A. B. － C. －e D. e
6．演绎推理“因为f′（x0）=0时，x0是f（x）的极值点，而对于函数f（x）=x3，
f′(0）=0，所以0是函数f（x）=x3的极值点．”所得结论错误的原因是（ ）
A．大前提错误 B．小前提错误 C．推理形式错误 D．全不正确
7．若函数在上是增函数，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
8．在极坐标系中，若点A（3，），B（﹣3，），则△AOB（O为极点）的面积为（ ）
A． B．3 C． D．9
9．对任意实数x，若不等式|x+1|﹣|x﹣2|＞k恒成立，则k的取值范围是（ ）
A．k＜﹣3 B．k≤﹣3 C．0＜k＜﹣3 D．k≥﹣3
10．设函数f（x）在R上可导，其导函数为f′（x），且函数y=（2﹣x）f′（x）的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是（ ）
A．函数f（x）有极大值f（1）和极小值f（﹣1）
B．函数f（x）有极大值f（1）和极小值f（2）
C．函数f（x）有极大值f（2）和极小值f（1）
D．函数f（x）有极大值f（﹣1）和极小值f（2）
11．下列说法错误的是（ ）
A．回归直线过样本点的中心（，）
B．两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值就越接近于1
C．对分类变量X与Y，随机变量K2的观测值越大，则判断“X与Y有关系”的把握程度越小
D．在回归直线方程=0.2x+0.8中，当解释变量x每增加1个单位时预报变量平均增加0.2个单位
12．函数（，且）的图象恒过定点，若点在直线上，其中，则的最小值为（ ）．
A. B. C. D.
二、填空题（本大题4小题，每题5分，共20分）
13．函数f(x)＝x2－2ln x的单调减区间是______
14．，，，，……，依此规律，第个等式为 .
15．复数满足，则的最小值为 ．
16.已知定义域为R的奇函数y=f（x）的导函数为y=f'（x），当x≠0时，
，若，b=﹣2f（﹣2），，则a，b，c的大小关系正确的是 ．
三、解答题（本大题6小题，共70分）
17.（10分）实数a分别取什么值时，复数z=+（a2﹣2a﹣15）i是
（1）实数； （2）虚数； （3）纯虚数．
18．（12分）近年空气质量逐步恶化，雾霾天气现象出现增多，大气污染危害加重．大气污染可引起心悸、呼吸困难等心肺疾病．为了解某市心肺疾病是否与性别有关，在某医院随机的对入院50人进行了问卷调查得到了如下的列联表：
患心肺疾病
不患心肺疾病
合计
男
20
5
25
女
10
15
25
合计
30
20
50
（Ⅰ）用分层抽样的方法在患心肺疾病的人群中抽6人，其中男性抽多少人？
（Ⅱ）在上述抽取的6人中选2人，求恰有一名女性的概率；
（Ⅲ）为了研究心肺疾病是否与性别有关，请计算出统计量K2，你有多大的把握认为心肺疾病与性别有关？
下面的临界值表供参考：
P（K2≥k）
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
（参考公式，其中n=a+b+c+d）
19．（12分）在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以原点O为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系．曲线C的极坐标方程为ρ=2cosθ．
（1）求直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程：
（2）设直线l与曲线C交于点A，B．若点P的坐标为P（，3）．求的值．
20．（12分）某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x（单位：千元）对年销售量y（单位：t）和年利润z（单位：千元）的影响．对近8年的年宣传费xi和年销售量yi（i=1，2，…，8）数据作了初步处理，
得到下面的散点图及一些统计量的值．
46.6
563
6.8
289.8
1.6
1469
108.8
其中wi=，=
（Ⅰ）根据散点图判断，y=a+bx与y=c+d哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）
（Ⅱ）根据（Ⅰ）的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；
（Ⅲ）已知这种产品的年利润z与x、y的关系为z=0.2y﹣x．根据（Ⅱ）的结果回答下列问题：
年宣传费x=49时，年销售量及年利润的预报值是多少？
附：对于一组数据（u1，v1），（u2，v2），…，（un，vn），其回归直线v=α+βμ的斜率和截距的最小二乘估计分别为：=，=﹣ ．
21．（12分）已知函数f（x）=﹣+x（x＞0，a＜0）
（1）若函数f（x）在定义域内单调递增，求实数a的取值范围
（2）若a=﹣，且关于x的方程=﹣lnx﹣x+1+b在[1，3]上恰有两个不同的实根，求实数b的取值范围．
22．（12分）设函数f（x）=|2x+3|+|x﹣1|．
（1）解不等式f（x）＞4；
（2）若存在x0∈[﹣，1]，使不等式a+1＞f（x0） 成立，求实数a的取值范围．
高二下学期数学期中测试题（文） 答案
1．B2．B3．B4．C5．D6．A7．A8．C9．A10．A11．C12．B
13．(0,1] 14． 15．.16．a＜c＜b
17．解：由已知得到复数的实部，
虚部a2﹣2a﹣15=（a+3）（a﹣5）．
所以（1）当a=5或－3 时，z是实数；…（5分）
（2）当a≠5，且a≠﹣3 时，z是虚数；
（3）当a=﹣2 或a=3 时是纯虚数． …（10分）
18.解：（I）在患心肺疾病的人群中抽6人，则抽取比例为 =，
∴男性应该抽取20×=4人…．（4分）
（II）在上述抽取的6名学生中，女性的有2人，男性4人．女性2人记A，B；男性4人为c，d，e，f，则从6名学生任取2名的所有情况为：（A，B）、（A，c）、（A，d）、（A，e）、（A，f）、（B，c）、（B，d）、（B，e）、（B，f）、（c，d）、（c，e）、（c，f）、（d，e）、（d，f）、（e，f）共15种情况，其中恰有1名女生情况有：（A，c）、（A，d）、（A，e）、（A，f）、（B，c）、（B，d）、（B，e）、（B，f），共8种情况，
故上述抽取的6人中选2人，恰有一名女性的概率概率为P=．…．（8分）
（III）∵K2≈8.333，且P（k2≥7.879）=0.005=0.5%，
那么，我们有99.5%的把握认为是否患心肺疾病是与性别有关系的．…．（12分）
19．解：（1）直线l的参数方程为（t为参数），
消去参数t，得到直线l的普通方程为：y=x；
曲线C的极坐标方程为：ρ=2cosθ，
∴ρ2=2ρcosθ，
化为普通方程是：x2+y2=2x，
∴圆C的直角坐标方程为+y2=3；…（6分）
（2）把直线l的参数方程代入+y2=3，
得t2+3t+6=0，…（8分）
设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，
因为△＞0，所以t1+t2=﹣3，t1t2=6，（其中t1、t2同号）…（10分）
所以=+==．…（12分）
20.解：（Ⅰ）由散点图可以判断，y=c+d适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型．…（2分）
（Ⅱ）令ω=，先建立y关于ω的线性回归方程．
由于d==68，c=563﹣68×6.8=100.6，
所以y关于w的线性回归方程为y=100.6+68w，
因此y关于x的回归方程为y=100.6+68．…（8分）
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当x=49时，年销售量y的预报值y=100.6+68=576.6，
年利润z的预报值z=576.6×0.2﹣49=66.32．…（12分）
21.解：（1）f′（x）=﹣ax2﹣2x+1 （x＞0，a＜0），
要使函数f（x）在定义域内单调递增，则f′（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，
即a，（x＞0）
g（x）=≥﹣1
∴a≥﹣1
则求实数a的取值范围为（﹣∞，﹣1] ...............（6分）
（2）a=﹣时，关于x的方程f′（x）=﹣lnx﹣x+1+b在[1，3]上恰有两个不同的实根，
⇔=﹣lnx﹣在[1，3]上恰有两个不同的实根，
⇒b=lnx+﹣在[1，3]上恰有两个不同的实根，
令h（x）=lnx+﹣，x∈[1，3] .................(8分)
h′（x）===
∴h（x）在（1，2）递减，在（2，3）递增
h（1）=﹣，h（2）=ln2﹣2，h（3）=ln3﹣，
h（1）＜h（3）
∴b的取值范围是 ................................(12分)
22.解：（1）∵f（x）=|2x+3|+|x﹣1|，
∴f（x）=，
∴f（x）＞4⇔ 或 或，
⇔x＜﹣2或0＜x≤1或x＞1，
综上所述，不等式的解集为：（﹣∞，﹣2）∪（0，+∞）； .............（6分）
（2）若存在x∈[﹣，1]使不等式a+1＞f（x）成立，
⇔a+1＞（f（x））min，由（1）知，x∈[﹣，1]时，f（x）=x+4，
∴x=﹣时，（f（x））min=，
a+1＞⇔a＞，
∴实数a的取值范围为（，+∞）． ...................(12分)