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2016-2017学年河北省邯郸市北外附属学校高二（上）第二次月考数学试卷
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．已知{an}为等差数列，且a7﹣2a4=﹣1，a3=0，则公差d=（ ）
A．﹣2 B．﹣ C． D．2
2．在△ABC中，AB=5，BC=7，AC=8，则•的值为（ ）
A．5 B．﹣5 C．15 D．﹣15
3．已知一等比数列的前三项依次为x，2x+2，3x+3，那么﹣13是此数列的第（ ）项．
A．2 B．4 C．6 D．8
4．在△ABC中，cosAcosB＞sinAsinB，则△ABC为（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法判定
5．已知△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2=b2+c2﹣bc，bc=4，则△ABC的面积为（ ）
A． B．1 C． D．2
6．等差数列{an}的公差为2，若a2，a4，a8成等比数列，则{an}的前n项和Sn=（ ）
A．n（n+1） B．n（n﹣1） C． D．
7．在△ABC中，b=，c=3，B=30°，则a=（ ）
A． B．2 C．或2 D．2
8．若{an}是等差数列，首项a1＞0，a1007+a1008＞0，a1007•a1008＜0，则使前n项和Sn＞0成立的最大自然数n是（ ）
A．2 012 B．2 013 C．2 014 D．2 015
9．已知{an}为等差数列，a1+a3+a5=105，a2+a4+a6=99，以Sn表示{an}的前n项和，则使得Sn达到最大值的n是（ ）
A．21 B．20 C．19 D．18
10．根据下列情况，判断三角形解的情况，其中正确的是（ ）
A．a=8，b=16，A=30°，有两解 B．b=18，c=20，B=60°，有一解
C．a=5，c=2，A=90°，无解 D．a=30，b=25，A=150°，有一解
11．在等比数列{an}中，a2，a6是方程x2﹣34x+64=0的两根，则a4等于（ ）
A．8 B．﹣8 C．±8 D．以上都不对
12．如图，一货轮航行到M处，测得灯塔S在货轮的北偏东15°，与灯塔S相距20n mile，随后货轮按北偏西30°的方向航行30min后，又测得灯塔在货轮的东北方向，则货轮的速度为（ ）
A．20（+）n mile/h B．20（﹣）n mile/h
C．20（+）n mile/h D．20（﹣）n mile/h
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上）
13．三角形的两边分别为3cm，5cm，其所夹角的余弦为方程5x2﹣7x﹣6=0的根，则这个三角形的面积是 cm2．
14．已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=3n2+2n﹣1，则数列{an}的通项公式an= ．
15．设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，若b+c=2a，3sinA=5sinB，则角C= ．
16．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a5=5a3，则= ．
三、解答题（本大题共6个小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a=2，cosB=
（Ⅰ）若b=4，求sinA的值；
（Ⅱ） 若△ABC的面积S△ABC=4求b，c的值．
18．已知等差数列{an}中，a10=30，a20=50．
（1）求通项公式；
（2）若Sn=242，求项数n．
19．在△ABC中，已知内角A=，边BC=2，设内角B=x，周长为y
（1）求函数y=f（x）的解析式和定义域；
（2）求y的最大值．
20．设各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn，且Sn满足﹣（n2+n﹣3）Sn﹣3（n2+n）=0，n∈N*．
（1）求a1的值；
（2）求数列{an}的通项公式．
21．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，面积为S，已知acos2+ccos2=b
（1）求证：a、b、c成等差数列；
（2）若B=，S=4 求b．
22．已知数列{an}，an∈N*，前n项和Sn=（an+2）2．
（1）求证：{an}是等差数列；
（2）若bn=an﹣30，求数列{bn}的前n项和的最小值．
2016-2017学年河北省邯郸市北外附属学校高二（上）第二次月考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．已知{an}为等差数列，且a7﹣2a4=﹣1，a3=0，则公差d=（ ）
A．﹣2 B．﹣ C． D．2
【考点】等差数列．
【分析】利用等差数列的通项公式，结合已知条件列出关于a1，d的方程组，求解即可．
【解答】解：设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，由等差数列的通项公式以及已知条件得
，即，
解得d=﹣，
故选B．
2．在△ABC中，AB=5，BC=7，AC=8，则•的值为（ ）
A．5 B．﹣5 C．15 D．﹣15
【考点】余弦定理；向量在几何中的应用．
【分析】求出B，代入数量积公式即可．
【解答】解：cosB==．
∴=AB•BC•cosB=5．
故选A．
3．已知一等比数列的前三项依次为x，2x+2，3x+3，那么﹣13是此数列的第（ ）项．
A．2 B．4 C．6 D．8
【考点】等比数列的通项公式．
【分析】根据等比数列的性质可知第2项的平方等于第1，第3项的积，列出关于x的方程，求出方程的解，经检验得到满足题意x的值，然后根据x的值求出等比数列的首项和公比，写出等比数列的通项公式，令通项公式等于﹣13列出关于n的方程，求出方程的解即可得到n的值．
【解答】解：由等比数列的前三项依次为x，2x+2，3x+3，
得到（2x+2）2=x（3x+3），即（x+1）（x+4）=0，
解得x=﹣1或x=﹣4，当x=﹣1时，等比数列的前三项依次为﹣1，0，0不合题意舍去，
所以x=﹣4，等比数列的前三项依次为﹣4，﹣6，﹣9，
则等比数列的首项为﹣4，公比q==，
令an=﹣4=﹣13，解得n=4．
故选B
4．在△ABC中，cosAcosB＞sinAsinB，则△ABC为（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法判定
【考点】三角形的形状判断．
【分析】利用余弦的两角和公式整理题设不等式求得cos（A+B）＞0进而判断出cosC＜O，进而断定C为钝角．
【解答】解：依题意可知cosAcosB﹣sinAsinB=cos（A+B）＞0，﹣cosC＞O，cosC＜O，
∴C为钝角
故选C
5．已知△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2=b2+c2
﹣bc，bc=4，则△ABC的面积为（ ）
A． B．1 C． D．2
【考点】余弦定理．
【分析】由已知及余弦定理可求cosA，从而可求sinA的值，结合已知由三角形面积公式即可得解．
【解答】解：∵a2=b2+c2﹣bc，
∴由余弦定理可得：cosA===，又0＜A＜π，
∴可得A=60°，sinA=，
∵bc=4，
∴S△ABC=bcsinA==．
故选：C．
6．等差数列{an}的公差为2，若a2，a4，a8成等比数列，则{an}的前n项和Sn=（ ）
A．n（n+1） B．n（n﹣1） C． D．
【考点】等差数列的性质．
【分析】由题意可得a42=（a4﹣4）（a4+8），解得a4可得a1，代入求和公式可得．
【解答】解：由题意可得a42=a2•a8，
即a42=（a4﹣4）（a4+8），
解得a4=8，
∴a1=a4﹣3×2=2，
∴Sn=na1+d，
=2n+×2=n（n+1），
故选：A．
7．在△ABC中，b=，c=3，B=30°，则a=（ ）
A． B．2 C．或2 D．2
【考点】正弦定理．
【分析】由已知利用余弦定理可得a2﹣3a+6=0，进而即可解得a的值．
【解答】解：∵b=，c=3，B=30°，
∴由余弦定理b2=a2+c2﹣2accosB，可得：3=9+a2﹣3，整理可得：a2﹣3a+6=0，
∴解得：a=或2．
故选：C．
8．若{an}是等差数列，首项a1＞0，a1007+a1008＞0，a1007•a1008＜0，则使前n项和Sn＞0成立的最大自然数n是（ ）
A．2 012 B．2 013 C．2 014 D．2 015
【考点】数列的函数特性．
【分析】由已知条件推导出a1007＞0，a1008＜0，由此能求出使前n项和Sn＞0成立的最大自然数n的值．
【解答】解：∵等差数列{an}，首项a1＞0，a1007+a1008＞0，a1007•a1008＜0，
∴a1007＞0，a1008＜0．
如若不然，a1007＜0＜a1008，则d＞0，
而a1＞0，得a1007=a1+1006d＞0，矛盾，故不可能．
∴使前n项和Sn＞0成立的最大自然数n为2014．
故选：C．
9．已知{an}为等差数列，a1+a3+a5=105，a2+a4+a6=99，以Sn表示{an}的前n项和，则使得Sn达到最大值的n是（ ）
A．21 B．20 C．19 D．18
【考点】等差数列的前n项和．
【分析】写出前n项和的函数解析式，再求此式的最值是最直观的思路，但注意n取正整数这一条件．
【解答】解：设{an}的公差为d，由题意得
a1+a3+a5=a1+a1+2d+a1+4d=105，即a1+2d=35，①
a2+a4+a6=a1+d+a1+3d+a1+5d=99，即a1+3d=33，②
由①②联立得a1=39，d=﹣2，
∴Sn=39n+×（﹣2）=﹣n2+40n=﹣（n﹣20）2+400，
故当n=20时，Sn达到最大值400．
故选：B．
10．根据下列情况，判断三角形解的情况，其中正确的是（ ）
A．a=8，b=16，A=30°，有两解 B．b=18，c=20，B=60°，有一解
C．a=5，c=2，A=90°，无解 D．a=30，b=25，A=150°，有一解
【考点】解三角形．
【分析】利用正弦定理分别对A，B，C，D选项进行验证．
【解答】解：A项中sinB=•sinA=1，
∴B=，故三角形一个解，A项说法错误．
B项中sinC=sinB=，
∵0＜C＜π，故C有锐角和钝角两种解．
C项中b==，故有解．
D项中sinB=•sinA=，∵A=150°，
∴B一定为锐角，有一个解．
故选：D．
11．在等比数列{an}中，a2，a6是方程x2﹣34x+64=0的两根，则a4等于（ ）
A．8 B．﹣8 C．±8 D．以上都不对
【考点】函数的零点；等比数列的通项公式．
【分析】根据所给的等比数列的两项和方程根与系数的关系，求出a4的平方，根据条件中所给的三项都是偶数项，得出第四项是一个正数，得到结果．
【解答】解：∵a2，a6时方程x2﹣34x+64=0的两根，a2•a6=64，
∴a42=a2•a6=64
∴a4=±8
∵a4与a2，a6的符号相同，
∴a4=8
故选A．
12．如图，一货轮航行到M处，测得灯塔S在货轮的北偏东15°，与灯塔S相距20n mile，随后货轮按北偏西30°的方向航行30min后，又测得灯塔在货轮的东北方向，则货轮的速度为（ ）
A．20（+）n mile/h B．20（﹣）n mile/h
C．20（+）n mile/h D．20（﹣）n mile/h
【考点】解三角形的实际应用．
【分析】由题意知SM=20，∠SNM=105°，∠NMS=45°，∠MSN=30°，△MNS中利用正弦定理可得=，代入可求MN，进一步利用速度公式即可．
【解答】解：由题意知SM=20，∠NMS=45°，
∴SM与正东方向的夹角为75°，MN与正东方向的夹角为，60°
∴SNM=105°
∴∠MSN=30°，
△MNS中利用正弦定理可得， =．
MN==10（）n mile，
∴货轮航行的速度v==20（） n mile/h．
故选：B．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上）
13．三角形的两边分别为3cm，5cm，其所夹角的余弦为方程5x2﹣7x﹣6=0的根，则这个三角形的面积是 6 cm2．
【考点】正弦定理；同角三角函数间的基本关系．
【分析】解方程5x2﹣7x﹣6=0可得cosθ=﹣，利用同角三角函数的基本关系可得sinθ=，代入三角形的面积公式，运算求得结果．
【解答】解：解方程5x2﹣7x﹣6=0可得此方程的根为2或﹣，故夹角的余弦cosθ=﹣，∴sinθ=．
则这个三角形的面积是 =6．
故答案为：6．
14．已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=3n2+2n﹣1，则数列{an}的通项公式an= ．
【考点】数列递推式．
【分析】利用Sn+1﹣Sn可知an+1=6（n+1）﹣1，通过n=1可知首项，进而可得结论．
【解答】解：∵Sn=3n2+2n﹣1，
∴Sn+1=3（n+1）2+2（n+1）﹣1，
两式相减得：an+1=Sn+1﹣Sn
=[3（n+1）2+2（n+1）﹣1]﹣（3n2+2n﹣1）
=6n+5
=6（n+1）﹣1，
又∵a1=S1=3+2﹣1=4，
∴an=，
故答案为：．
15．设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，若b+c=2a，3sinA=5sinB，则角C= ．
【考点】余弦定理；正弦定理．
【分析】由3sinA=5sinB，根据正弦定理，可得3a=5b，再利用余弦定理，即可求得C．
【解答】解：∵3sinA=5sinB，∴由正弦定理，可得3a=5b，
∴a=
∵b+c=2a，
∴c=
∴cosC==﹣
∵C∈（0，π）
∴C=
故答案为：
16．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a5=5a3，则= 9 ．
【考点】等差数列的性质．
【分析】根据等差数列的等差中项的性质可知S9=9a5，S5=5a3，根据a5=5a3，进而可得则的值．
【解答】解：∵{an}为等差数列，
S9=a1+a2+…+a9=9a5，S5=a1+a2+…+a5=5a3，
∴
故答案为9
三、解答题（本大题共6个小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a=2，cosB=
（Ⅰ）若b=4，求sinA的值；
（Ⅱ） 若△ABC的面积S△ABC=4求b，c的值．
【考点】正弦定理；余弦定理．
【分析】（Ⅰ）先求出sinB=，再利用正弦定理求sinA的值；
（Ⅱ）由△ABC的面积S△ABC=4求c的值，利用余弦定理求b的值．
【解答】解：（Ⅰ）∵cosB=
∴sinB=，
∵a=2，b=4，
∴sinA===；
（Ⅱ）S△ABC=4=×2c×，∴c=5，
∴b==．
18．已知等差数列{an}中，a10=30，a20=50．
（1）求通项公式；
（2）若Sn=242，求项数n．
【考点】等差数列的前n项和；等差数列的通项公式．
【分析】（1）由a10=a1+9d=30，a20=a1+19d=50，求出首项和公差，即得等差数列{an} 的通项公式．
（2）由Sn =242，可得 242=12n+n（n﹣1）•2，解方程求得项数n 的值．
【解答】解：（1）a10=a1+9d=30，a20=a1+19d=50，
解得 a1=12，d=2．
∴an=a1 +（n﹣1）d=2n+10．…
（2）∵Sn =na1+n（n﹣1）d，
∴242=12n+n（n﹣1）•2，解得 n=11，或 n=﹣22 （舍去），
故取n=11． …
19．在△ABC中，已知内角A=，边BC=2，设内角B=x，周长为y
（1）求函数y=f（x）的解析式和定义域；
（2）求y的最大值．
【考点】在实际问题中建立三角函数模型；三角函数的最值．
【分析】（1）由内角A=，边BC=2，设内角B=x，周长为y，我们结合三角形的性质，△ABC的内角和A+B+C=π，△ABC的周长y=AB+BC+AC，我们可以结合正弦定理求出函数的解析式，及自变量的取值范围．
（2）要求三角函数的最值，我们要利用辅助角公式，将函数的解析式，化为正弦型函数的形式，再根据正弦型函数的最值的求法进行求解．
【解答】解：（1）△ABC的内角和A+B+C=π，
由得
．
应用正弦定理，知
，
．
因为y=AB+BC+AC，
所以，
（2）∵
=，
所以，当，
即时，
y取得最大值．
20．设各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn，且Sn满足﹣（n2+n﹣3）Sn﹣3（n2+n）=0，n∈N*．
（1）求a1的值；
（2）求数列{an}的通项公式．
【考点】数列递推式．
【分析】（1）本题可以用n=1代入题中条件，利用S1=a1求出a1的值；
（2）把已知递推式因式分解，求出Sn，由an=Sn﹣Sn﹣1（n≥2）求得答案．
【解答】解：（1）由﹣（n2+n﹣3）Sn﹣3（n2+n）=0，得
，即，
解得：a1=﹣3（舍）或a1=2；
（2）由﹣（n2+n﹣3）Sn﹣3（n2+n）=0，
得（Sn+3）（）=0，
即．
当n=1时，a1=2．
当n≥2时，．
验证n=1时上式成立，
∴an=2n．
21．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，面积为S，已知acos2+ccos2=b
（1）求证：a、b、c成等差数列；
（2）若B=，S=4 求b．
【考点】余弦定理；正弦定理．
【分析】（1）已知等式利用正弦定理化简，再利用二倍角的余弦函数公式及两角和与差的正弦函数公式变形，整理后再利用正弦定理化简，利用等差数列的性质判断即可得证；
（2）利用三角形面积公式列出关系式，把sinB与已知面积代入求出ac的值，利用余弦定理列出关系式，整理得出b的值即可．
【解答】解：（1）由正弦定理得：sinAcos2+sinCcos2=sinB，
即sinA•+sinC•=sinB，
∴sinA+sinC+sinAcosC+cosAsinC=3sinB，即sinA+sinC+sin（A+C）=3sinB，
∵sin（A+C）=sinB，
∴sinA+sinC=2sinB，
由正弦定理化简得：a+c=2b，
∴a，b，c成等差数列；
（2）∵S=acsinB=ac=4，
∴ac=16，
又b2=a2+c2﹣2accosB=a2+c2﹣ac=（a+c）2﹣3ac，
由（1）得：a+c=2b，
∴b2=4b2﹣48，即b2=16，
解得：b=4．
22．已知数列{an}，an∈N*，前n项和Sn=（an+2）2．
（1）求证：{an}是等差数列；
（2）若bn=an﹣30，求数列{bn}的前n项和的最小值．
【考点】等差关系的确定；数列的求和．
【分析】本题考查数列的通项与其前n项和的关系、等差数列的证明、数列的求和等综合性问题．
（1）根据an+1=Sn+1﹣Sn及前n项和Sn=（an+2）2，可以得到（an+1+an）（an+1﹣an﹣4）=0，从而问题得证．
（2）由（1）可得数列{an}的通项公式，进而由bn=an﹣30得到数列{bn}的通项公式，然后可求数列{bn}的前n项和，再由此求其最小值，最小值有两种求法，其一是转化为二次函数的最值，其二是找出正负转折的项．
【解答】解：（1）证明：∵an+1
=Sn+1﹣Sn
=（an+1+2）2﹣（an+2）2，
∴8an+1=（an+1+2）2﹣（an+2）2，
∴（an+1﹣2）2﹣（an+2）2=0，（an+1+an）（an+1﹣an﹣4）=0．
∵an∈N*，∴an+1+an≠0，
∴an+1﹣an﹣4=0．
即an+1﹣an=4，∴数列{an}是等差数列．
（2）由（1）知a1=S1=（a1+2）2，解得a1=2．∴an=4n﹣2，
bn=an﹣30=2n﹣31，（以下用两种方法求解）
法一：
由bn=2n﹣31可得：首项b1=﹣29，公差d=2
∴数列{bn}的前n项和sn=n2﹣30n=（n﹣15）2﹣225
∴当n=15时，sn=﹣225为最小；
法二：
由得
≤n≤．∵n∈N*，∴n=15，
∴{an}前15项为负值，以后各项均为正值．
∴S15最小．又b1=﹣29，
∴S15==﹣225