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- 2021-04-14 发布
2017-2018学年第二学期赣州市十四县（市）期中联考
高三理科数学试卷
一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1.设全集，集合，，则为 （ ）
A． B． C． D．
2.已知复数满足，是的共轭复数则（ ）
A． B．1 C． D．
3. 以下有关命题的说法错误的是（ ）
A. 命题“若，则”的逆否命题为“若，则”
B. “”是“”成立的必要不充分条件
C. 对于命题，使得，则，均有
D. 若为真命题，则与至少有一个为真命题
4.设为定义在上的奇函数，当时，（为常数），则（ ）
A． B． C. D．
5.设等差数列的前n项和为，若，且，则的值是（ ）
A．8 B．10 C．4 D．4或10
6.已知为单位向量， ，则的最大值为（ ）
A. 1 B. C. 2 D. 3
7.已知，执行下面的程序框图，如果输入的，那么输出的的值为（ ）
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
8.设，满足约束条件，则目标函数取最小值时的最优解是（ ）
A. B. C. D.
9.某几何体的三视图如图所示，则此几何体的各面中最大面
的面积为（ ）
A. B. C. D.
10.已知函数的图象的一个对称中心为，且，则的最小值为（ ）
A. B. 1 C. D. 2
11.已知双曲线： 的左右焦点分别为，， 为双曲线上一点， 为双曲线C渐近线上一点， ， 均位于第一象限，且， ，则双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. D.
12．设，令，，若
，则数列的前项和为，当时， 的最小整数值为（ ）
A. 2017 B. 2018 C. 2019 D. 2020
第Ⅱ卷（非选择题共90分）
二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．）
13. 若的展开式的常数项是__________．
14.记直线的倾斜角为，则的值为 .
15.《九章算术》中研究盈不足问题时，有一道题是“今有垣厚五尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问何日相逢？”题意即为“有厚墙五尺，两只老鼠从墙的两边分别打洞穿墙，大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半，问几天后两鼠相遇？” 赣州古城墙某处厚33尺，两硕鼠按上述方式打洞，相遇时是第____天．（用整数作答）
16.为自然对数的底数，已知函数，若使得函数有三个零点，则m的取值范围是______________
三、解答题（共70分）
17. （12分）已知函数.
（Ⅰ）求函数的最小正周期和单调递减区间；
（Ⅱ）在中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若，，的面积为，求a边的长.
18.（12分）
在某单位的食堂中，食堂每天以10元/斤的价格购进米粉，然后以4.4元/碗的价格出售，每碗内含米粉0.2斤，如果当天卖不完，剩下的米粉以2元/斤的价格卖给养猪场.根据以往统计资料，得到食堂每天米粉需求量的频率分布直方图如图所示，若食堂该天购进了80斤米粉，以（斤）（其中）表示米粉的需求量，（元）表示利润.
（1）估计该天食堂利润不少于760元的概率；
（2）在直方图的需求量分组中，以区间中间值作为该区间的需求量，以需求量落入该区间的频率作为需求量在该区间的概率，求的分布列和数学期望.
19．（12分）已知四棱锥，底面为菱形，为上的点，过的平面分别交于点，且平面．
（1）证明：；
（2）当为的中点，，与平面所成的角为，求平面AMHN与平面ABCD所成锐二面角的余弦值．
20．（12分）已知椭圆系方程：(，)， 是椭圆的焦点， 是椭圆上一点，且.
（1）求的方程；
（2）为椭圆上任意一点，过且与椭圆相切的直线与椭圆交于，两点，点关于原点的对称点为，求证：的面积为定值，并求出这个定值．
21.（12分）已知函数.
（1）若，求的单调区间；
（2）若关于的不等式对一切恒成立，求实数的取值范围；
（3）求证：对，都有.
[选修4—4：坐标系与参数方程]
22.（10分）在平面直角坐标系中，已知曲线与曲线（为参数，）．以坐标原点为极点， 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．
（1）写出曲线的极坐标方程；
（2）在极坐标系中，已知点是射线与的公共点，点是与的公共点，当在区间上变化时，求的最大值．
选修4-5:不等式
23.（10分）已知且．
（1）求的最大值；
（2）若不等式若任意成立，求实数的取值范围．
2017-2018学年第二学期赣州市十四县（市）期中联考
高三理科数学答案
12． 选择题1-5 DCDAA 6-10 CBBBA 11-12 BA
二、填空题13. 5 14. 15. 6 16.
17.【答案】(Ⅰ)最小正周期，单调递减区间是 ；(Ⅱ).
（Ⅰ） …………2分
所以的最小正周期……………………………………………………3分
令，解得
所以的单调递减区间是 …………………………………………6分
（Ⅱ）∵，∴，又∵∴…………………8分
∵，的面积为∴…………………………………………10分
∴…………………………………………12分
18.【答案】(1)0.65；(2)答案见解析.
（1）一斤米粉的售价是元.
当时，.
当时，.故………………3分
设利润不少于760元为事件，
利润不少于760元时，即.解得，即.
由直方图可知，当时，.…………………6分
（2）当时，；
当时，；
当时，；
当时，960.所以可能的取值为460，660，860，960.
，，
，.…………………10分
故的分布列为
.………12分
19.
解析（1）证明：连结交于点，连结．因为为菱形，所以，且为、的中点，因为，所以，
因为且平面，所以平面，
因为平面，所以．
因为平面， 平面，
且平面平面，
所以，所以． ……………………………6分
（2）由（1）知且，因为，且为的中点，
所以，所以平面，所以与平面所成的角为，
所以，所以，因为，所以．
分别以， ， 为轴，建立如图所示空间直角坐标系，设，则
，
所以．
记平面的法向量为，则，
令，所以，…………………………………………9分
记平面的法向量为，，
记二面角的大小为，则．
所以二面角的余弦值为．…………………………………………12分
20.【解析】（1）椭圆的方程为： ： 即：
∵．∴，又………2分
即： 又
,∴椭圆的方程为： ………………………4分
（2）解：设，则
当直线l斜率存在时，设l为： ,
则，由联立得：
由得 …………………………………………6分
到直线的距离
同理，由联立得：
， …………………………………………8分
………………………………………………………………………………………………10分
当直线l斜率不存在时，易知， 的面积为定值……………12分
21.【答案】(1) 单调增区间为，单调减区间为.(2)；(3)证明见解析.
（1）当时，函数，定义域为，.
令可得，令可得.
所以的单调增区间为，单调减区间为.…………………………………………3分
（2），.
①当时，，.故在区间上递增，
所以，从而在区间上递增.所以对一切恒成立.
②当时，，.
当时，，当时，.所以时，.
而，故.所以当时，，递减，
由，知，此时对一切不恒成立.
③当时，，
在区间上递减，有，从而在区间上递减，有.
此时对一切不恒成立.
综上，实数的取值范围是.…………………………………………9分
（3）由（2）可知，取，当时，有.
取，有，即.
所以
，
所以.…………………………………………12分
22.【答案】（1）， （2）
（1）曲线的极坐标方程为，即．
曲线的普通方程为，即，所以曲线的极坐标方程为． ……………………4分
（2） 由（1）知，
…
由知，当，
即时， 有最大值．…………………………10分
23.【解析】（1）由得，当且仅当取最大值， ……………………………5分
（2）， 可化为，或恒成立………………………………10分