2018-2019学年江苏省常州“教学研究合作联盟高二 第二学期期中质量调研数学（文科）试题 解析版 14页

绝密★启用前 江苏省常州“教学研究合作联盟”2018学年度第二学期期中质量调研高二 数学（文科)试题 评卷人 得分 一、填空题 ‎1．已知命题，，则__________．‎ ‎【答案】$x∈R，x2－x＋1≤0‎ ‎【解析】‎ 对于含有全称量词命题的否定，需将全称量词改为存在量词，同时否定结论，‎ 故，．‎ ‎2．若集合，,则图中阴影部分所表示的集合为_____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 图中阴影部分所代表集合为，求出答案即可.‎ ‎【详解】‎ 解：由题意知：阴影部分所表示的集合为 故答案为：.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了集合的交集，韦恩图，属于基础题.‎ ‎3．若实数满足(表示虚数单位)，则的值为_____．‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 去分母化简，由复数相等得到方程组解出，然后求出答案.‎ ‎【详解】‎ 解：因为，所以 所以，即 所以 故答案为：2.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了复数的运算，复数的相等，属于基础题.‎ ‎4．函数的定义域为______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由根式和分式有意义范围列出不等式组，解出答案即可.‎ ‎【详解】‎ 解：因为函数 所以，解得且 所以函数定义域为 故答案为：.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了根式和分式函数的定义域，属于基础题.‎ ‎5．用反证法证明命题“若直线是异面直线，则直线也是异面直线”的过程可归纳为以下三个步骤：‎ ‎①则四点共面，所以共面，这与是异面直线矛盾；‎ ‎②所以假设错误，即直线也是异面直线；‎ ‎③假设直线是共面直线．‎ 则正确的推理步骤的序号依次为________．‎ ‎【答案】③①②‎ ‎【解析】‎ 结合反证法的证明步骤可知：假设直线AC、BD是共面直线，则A、B、C、D四点共面，所以AB、CD共面，这与AB、CD是异面直线矛盾；所以假设错误，即直线AC、BD也是异面直线；其正确步骤为③①②．‎ ‎6．在复平面内,若向量对应的复数为,则______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由复数的几何意义写出复数的代数形式，再计算求解即可.‎ ‎【详解】‎ 解：因为向量对应的复数为 所以，‎ 所以 故答案为：.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了复数的几何意义，模长的计算，属于基础题.‎ ‎7．若一次函数满足，则______．‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先用待定系数法求出一次函数的解析式，然后代入求出.‎ ‎【详解】‎ 解：因为是一次函数，可设 则 所以，解得 所以 所以 故答案为：1.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了函数解析式的求法，在已知函数名称时常采用待定系数法求解.‎ ‎8．如图所示，正方形和的边长均为，点是公共边上的一个动点，设，则.请你参考这些信息，推知函数的值域是_______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 当三点共线时，最小，当点P与点B或C重合时，最大，分别求出最值得到值域即可.‎ ‎【详解】‎ 解：由题意知：当三点共线时，最小为 当点P与点B或C重合时，最大为 所以的值域为 故答案为：.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了图形的观察推理能力，函数的值域，属于基础题.‎ ‎9．《聊斋志异》中有这样一首诗：“挑水砍柴不堪苦，请归但求穿墙术.得诀自诩无所阻,额上纹起终不悟.”在这里，我们称形如以下形式的等式具有“穿墙术”：,,,,……，则按照以上规律，若具有“穿墙术”，则______．‎ ‎【答案】9999‎ ‎【解析】‎ 分析：观察所告诉的式子，找到其中的规律，问题得以解决.‎ 详解：，，，，‎ 按照以上规律，可得.‎ 故答案为：9999.‎ 点睛：常见的归纳推理类型及相应方法 常见的归纳推理分为数的归纳和形的归纳两类：‎ ‎(1)数的归纳包括数字归纳和式子归纳，解决此类问题时，需要细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识，如等差数列、等比数列等．‎ ‎(2)形的归纳主要包括图形数目归纳和图形变化规律归纳．‎ ‎10．已知指数函数在上为减函数； ，.则使“且”为真命题的实数的取值范围为______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由指数函数的单调性和一元二次不等式有解得出命题和，然后取交集即可.‎ ‎【详解】‎ 解：由函数在上为减函数，故，即 所以命题 由，，得有解，故，即 所以命题 因为“且”为真命题 所以、都是真命题 所以 故答案为：.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了指数函数的单调性，一元二次不等式能成立问题，复合命题的真假性，属于基础题.‎ ‎11．已知函数的定义域为，值域为，则实数的取值集合为______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由函数定义域和值域范围，可分析得到，解出即可.‎ ‎【详解】‎ 解：因为函数的定义域为，值域为 所以在R上恒成立，且有解 所以，解得 故答案为：.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了函数的定义域与值域，一元二次不等式的恒成立与能成立问题，一元二次不等式常结合二次函数图像进行求解.‎ ‎12．已知定义在上的偶函数满足，若，则实数 的取值范围是________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 结合函数解析式和偶函数特点分析得函数在上单调递减，在上单调递增，且函数图像关于y轴对称，从而得到，解出范围即可.‎ ‎【详解】‎ 解：因为函数为偶函数，且在上为增函数 所以 在上为减函数，且函数关于y轴对称 由，得 两边平方化简得 解得或 故答案为：.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了函数奇偶性与单调性的综合应用，属于中档题.‎ ‎13．已知函数，若存在实数，使得，则实数的取值范围是______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意得在上有解，参变分离得在上有解，然后用换元法求出在上的值域，即为的范围.‎ ‎【详解】‎ 解：由题意知：在上有解 即，在上有解 记，则，‎ 所以 由双勾函数单调性知在上单调递减 所以 所以实数的取值范围为实数的取值范围 故答案为：.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了函数的能成立问题，常用参变分离法转化为最值或值域问题.‎ ‎14．已知函数若关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围是______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分，和进行讨论，去绝对值后采用参变分离求出的范围，再取交集即可.‎ ‎【详解】‎ 解：当时，，‎ 则不等式 所以在上恒成立 所以 当时，，‎ 则不等式 所以在上恒成立 所以 当时，，‎ 则不等式 所以在上恒成立 由双勾函数性质易知：函数在上单调递减，在上单调递增 所以 函数在单调递增，所以 所以 综上所述：‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了不等式的恒成立问题，主要用到了分类讨论和参变分离法，综合性较强.‎ 评卷人 得分 二、解答题 ‎15．已知复数(,表示虚数单位)．‎ ‎(1)若为纯虚数,求复数；‎ ‎(2)在复平面内,若满足的复数对应的点在直线上, 求复数.‎ ‎【答案】（1）； （2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）先化简，结合纯虚数概念得到的关系，解出答案；（2）先解出复数，得到其坐标代入直线即可.‎ ‎【详解】‎ 解：(1) ,‎ ‎∵为纯虚数, ∴‎ ‎∴,∴.‎ ‎(2) ,‎ ‎∵复数对应的点在直线上, ‎ ‎∴, ‎ ‎∴.‎ ‎∴.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了复数的运算，复数的分类，复数的几何意义，属于基础题.‎ ‎16．已知集合(),.‎ ‎(1)若，求；‎ ‎(2)若“”是“”的必要条件，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（1）； （2）必要条件.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）写出集合A，B，直接求并集即可；（2）先写出集合B，再由“”是“”的必要条件得，列式解出的范围.‎ ‎【详解】‎ 解：(1)当时, , , ‎ 所以, .‎ ‎ (2) (), ,‎ 因为“”是“”的必要条件，‎ 所以，即，‎ 所以所以. ‎ 所以,当时，“”是“”的必要条件.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了集合的交并集运算，充分必要条件与集合的关系，属于基础题.‎ ‎17．已知函数 (且)的图象经过点 .‎ ‎(1)求实数的值；‎ ‎(2)若，求实数的值；‎ ‎(3)判断并证明函数的单调性.‎ ‎【答案】（1） ； （2）； （3）见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）代入点P直接解出；（2）由（1）得出函数解析式，代入 解出即可；（3）用单调性的定义法证明即可.‎ ‎【详解】‎ ‎(1)将点的坐标代入函数式得, ,解得,.‎ ‎(2)由(1)得 ‎ 由题意可得，,‎ 所以 ，，，, ‎ 所以. ‎ ‎(3) 函数是上的减函数. ‎ 由(1)得 .‎ 令,则 ,‎ 因为指数函数是上的增函数,而,‎ 所以 ,所以,, ‎ 所以 ,即, ‎ 所以, ,所以, 函数是上的减函数.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了指数复合函数的取值与单调性的证明，证明函数单调性除了定义法，也可尝试用导数来证明.‎ ‎18．习总书记指出：“绿水青山就是金山银山”．常州市一乡镇响应号召，因地制宜的将该镇打造成“生态水果特色小镇”．调研过程中发现：某珍稀水果树的单株产量 (单位：千克)与肥料费用(单位：元)满足如下关系：其它成本投入(如培育管理等人工费)为(单位：元)．已知这种水果的市场售价大约为元/千克，且供不应求．记该单株水果树获得的利润为(单位：元)．‎ ‎（1）求的函数关系式；‎ ‎（2）当投入的肥料费用为多少时，该单株水果树获得的利润最大?最大利润是多少?‎ ‎【答案】（1）； （2）当投入的肥料费用为 元时，种植该果树获得的最大利润是元．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由题意分段列出函数的解析式即可；（2）分两段讨论分别求出其最值，再取较大值即可.‎ ‎【详解】‎ 解：（1）由已知，‎ ‎ ‎ 答：的函数关系式为，‎ ‎（2）由（1） ‎ 当时，在上单调递减，在上单调递增， ‎ 且 ‎ ；‎ 当时，，‎ ‎，‎ 当且仅当时，即时等号成立．‎ ‎，‎ 因为，所以当时，． ‎ 答：当投入的肥料费用为元时，种植该果树获得的最大利润是元．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了函数得实际应用于最值，分段函数要注意每段上自变量的范围.‎ ‎19．已知是奇函数．‎ ‎（1）求实数的值；‎ ‎（2）求函数在上的值域；‎ ‎（3）令，求不等式的解集．‎ ‎【答案】（1）见解析； （2）①当时，值域为； ②当时，值域为； ‎ ‎（3）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由奇函数得，可解出；（2）先换元（），则，，再结合二次函数的图像讨论其值域；（3）先证到也为奇函数，用导数证得 在上单调增，将等价转化为，所以，解出答案即可.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）函数的定义域为，因为为奇函数，由可知，，‎ 所以，即；‎ 当时，，此时为奇函数 所以． ‎ ‎（2）令（），所以 ‎ 所以，对称轴， ‎ ‎①当时，，所求值域为； ‎ ‎②当时，，所求值域为； ‎ ‎（3）因为为奇函数，所以 所以为奇函数， ‎ 所以等价于， ‎ 又当且仅当时，等号成立，‎ 所以在上单调增， ‎ 所以，‎ 即，又，‎ 所以或．所以不等式的解集是．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了函数的单调性与奇偶性得综合应用，指数复合型函数的值域，综合性较强，属于中档题.‎ ‎20．已知函数,.‎ ‎（1）若，求的单调区间；‎ ‎（2）求函数在上的最值；‎ ‎（3）当时，若函数恰有两个不同的零点，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）在上单调递减, 在上单调递增； （2）见解析；（3）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）分段结合二次函数图形讨论函数的单调性即可；（2）分，，，四段讨论函数的单调性，求出最值；（4）令，分别解出，，（舍），得，然后化简求出取值范围即可.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）‎ 当时，函数的对称轴是，开口向上，‎ 故在上单调递减, 在上单调递增. ‎ 当时，函数在上单调递增. ‎ 综上： 在上单调递减, 在上单调递增. ‎ ‎（2）①当时，‎ 的对称轴是，‎ 在上递减，在上递增 而 最小值，最大值； ‎ ‎②当时的对称轴是，‎ ‎，‎ ‎ 的最小值为，最大值，‎ ‎ ③当时，‎ ‎ 的最小值为，最大值，‎ ‎④ 当时，的对称轴是 ‎ ‎ 的最小值，最大值，‎ 综上：①当时，的最小值，最大值；‎ ‎②当时，的最小值为，最大值；‎ ‎③当时，的最小值为，最大值 ‎ ④当时，的最小值，最大值 ‎（3）‎ 当时,令,可得 ‎，，‎ 因为，所以，（舍去）‎ 所以, ‎ 在上是减函数,所以.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了绝对值函数的单调性，值域与零点问题，绝对值函数常转化为分段函数分类讨论求解.‎