数学理卷·2018届山西省太原市高三上学期期末考试（2018 9页

太原市2017～2018学年第一学期高三年级期末考试 数学试卷（理科）‎ 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知集合，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2.某中学初中部共有110名教师，高中部共有150名教师，根据下列频率分布条形图（部分）可知，该校女教师的人数为（ ）‎ A．93 B．123 C．137 D．167‎ ‎3.已知，都是实数，那么“”是“”的（ ）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D． 既不充分也不必要条件 ‎4.对于复数，定义映射.若复数在映射作用下对应复数，则复数在复平面内对应的点位于（ ）‎ A．第四象限 B．第三象限 C.第二象限 D．第一象限 ‎5.等差数列的前项和为，，，则（ ）‎ A．21 B．15 C.12 D．9‎ ‎6.已知，，，，那么（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎7.已知，那么（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎8.下图是实现秦九韶算法的一个程序框图，若输入的，，依次输入的为2,2,5，则输出的（ ）‎ A．10 B．12 C.60 D．65‎ ‎9.展开式中的常数项为（ ）‎ A．1 B．21 C.31 D．51‎ ‎10.已知函数的最大值为，最小值为，则的值为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎11.已知一个几何体是由半径为2的球挖去一个三棱锥得到（三棱锥的顶点均在球面上）.若该几何体的三视图如图所示（侧视图中的四边形为菱形），则该三棱锥的体积为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎12.已知函数，（），若对任意的（），恒有，那么的取值集合是（ ）‎ A． B． C. D．‎ 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13.已知函数，，则的最大值是 ．‎ ‎14.不共线的三个平面向量，，两两所成的角相等，且，，则 ．‎ ‎15.已知，那么 ．‎ ‎16.已知三棱柱所有棱长均相等，且，那么异面直线与所成的角的余弦值为 ．‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17. 已知数列的前项和为，且，，.‎ ‎（1）求及数列的通项公式；‎ ‎（2）设，求数列的最大项.‎ ‎18. 的内角，，的对边分别为，，，已知.‎ ‎（1）求角；‎ ‎（2）若，的面积为，求的周长.‎ ‎19. 在某年级的联欢会上设计了一个摸奖游戏，在一个口袋中装有3个红球和7个白球，这些球除颜色外完全相同，一次从中摸出3个球.‎ ‎（1）设表示摸出的红球的个数，求的分布列和数学期望；‎ ‎（2）为了提高同学们参与游戏的积极性，参加游戏的同学每人可摸球两次，每次摸球后放回，若规定两次共摸出红球的个数不少于，且中奖概率大于60%时，即中奖，求的最大值.‎ ‎20. 如图，在四棱锥中，，，，.‎ ‎（1）证明：；‎ ‎（2）若，，，求二面角的余弦值.‎ ‎21. 已知函数（）有极小值.‎ ‎（1）求实数的取值范围；‎ ‎（2）若函数在时有唯一零点，求实数的取值范围.‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答，写清题号.如果多做，则按所做的第一题记分.‎ ‎22.选修4-4：坐标系与参数方程 在极坐标系中，曲线的极坐标方程.以极点为原点，极轴为轴非负半轴建立平面直角坐标系，且在两坐标系中取相同的长度单位，直线的参数方程为（为参数）.‎ ‎（1）写出曲线的参数方程和直线的普通方程；‎ ‎（2）过曲线上任意一点作与直线相交的直线，该直线与直线所成的锐角为，设交点为，求的最大值和最小值，并求出取得最大值和最小值时点的坐标.‎ ‎23.选修4-5：不等式选讲 设函数.‎ ‎（1）求不等式的解集；‎ ‎（2）设不等式的解集为，当时，证明：.‎ 试卷答案 一、选择题 ‎1-5:BCDAB 6-10:CADDB 11、12：CA 二、填空题 ‎13.3 14.4 15.2017 16.‎ 三、解答题 ‎17.由题得，解得，‎ 故，‎ 则时，，令，成立，‎ 所以数列的通项公式为.‎ ‎（2），.‎ 当时，，则，‎ 当时，，则，‎ 故数列前3项依次递增，从第3项开始依次递减，‎ 所以数列的最大项为.‎ ‎18.（1）由得 ‎，‎ 又，则，故.‎ 另解：由已知得，‎ 则，即，‎ 又，则，故.‎ ‎（2）由余弦定理及（1），得，则，‎ 又，则，‎ 则，即，‎ 所以的周长为.‎ ‎19.‎ ‎，，，‎ ‎，‎ 则的分布列为 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ 的数学期望为.‎ ‎（2）设两次共摸出红球的个数为，则 ‎，，，，，，，‎ 则有，‎ 则.‎ ‎20.（1）由，，，得平面，‎ 从而.‎ 又在中，又余弦定理得，‎ 则有，所以，即，‎ 又，‎ 则有，‎ 则有平面，故.‎ ‎（2）以为原点建立如图所示空间直角坐标系，‎ 设，则，，，，‎ 设平面的一个法向量为，则 令，‎ 则，，故，‎ 设平面的一个法向量为，则有令，‎ 则有，，故，‎ 所以，‎ 由图知，二面角的余弦值为.‎ ‎21.（1）函数定义域为，，令，得，‎ 当时，若，则；若，则，故在处取得极小值，‎ 当时，若，则；若，则，故在处取得极大值.‎ 所以实数的取值范围是.‎ ‎（2）函数在时有唯一零点，即方程在时有唯一实根，‎ 由（1）知函数在处取得最小值，‎ 设，，令，有，‎ 列表如下 ‎1‎ 正 ‎0‎ 负 增函数 极大值 减函数 故时，，‎ 又时，；时，，，‎ 所以方程有唯一实根，或，此时的取值范围为或.‎ ‎22.（1）曲线C的直角坐标方程为，‎ 表示圆心为，半径为的圆，‎ 化为参数方程为（为参数）‎ 直线的普通方程为.‎ ‎（2）由题知点到直线的距离，‎ 设点.‎ 则有点到直线的距离，‎ 其中，，‎ 当，即时，，，‎ 此时，，；‎ 当即时，，，‎ 此时，，.‎ 综上，点坐标为时，，点的坐标为时，.‎ ‎23.（1），‎ 则有①或②或③‎ 解①得，解②得，解③得，‎ 则不等式的解集为.‎ ‎（2），解得，则，‎ 所以.‎ 当时，，，‎ 由，有，则成立.‎ 综上，成立.‎ 注：以上各题，其他正确解法相应得分.‎