2017-2018学年江西省南昌市第二中学高二上学期第三次月考数学（理）试题（解析版） 14页

‎2017-2018学年江西省南昌市第二中学高二上学期第三次月考数学（理）试题 一、单选题 ‎1．已知命题 ， ，则为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】∵命题 ， ，‎ ‎∴为 故选：B ‎2．的导函数为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】∵‎ ‎∴=2cos2x 故选：B ‎3．函数的单调递增区间为（ ）‎ A. B. C. D. 和 ‎【答案】C ‎【解析】函数的定义域为： ， ‎ 当时， ‎ ‎∴函数的单调递增区间为 故选：C 点睛：求单调区间的步骤：(1)确定函数y＝f(x)的定义域；(2)求导数y′＝f′(x)；(3)解不等式f′(x)>0，解集在定义域内的部分为单调递增区间；(4)解不等式f′(x)<0，解集在定义域内的部分为单调递减区间．‎ ‎4．在极坐标系中，极点关于直线对称的点的极坐标为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】直线的普通方程为： ‎ 由图易知：原点关于直线的对称点A的坐标为 ‎∴极坐标为 故选：A ‎5．设为曲线上的点，且曲线在点处切线倾斜角的取值范围为，则点横坐标的取值范围为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】的导数为y′=2x+1，‎ 设切点P（m，n），可得切线的斜率为k=2m+1，‎ 由切线倾斜角α的取值范围为，‎ 可得切线的斜率k=tanα∈[1，1]，‎ 即为1≤2m+1≤1，‎ 解得．‎ 故选：B．‎ 点睛：高考对导数几何意义的考查主要有以下几个命题角度：（1）已知切点求切线方程；‎ ‎（2）已知切线方程(或斜率)求切点或曲线方程；（3）已知曲线求切线倾斜角的取值范围．‎ ‎6．设命题： ，直线与直线垂直，命题：若，则是函数的极值点.则下列命题为真命题的是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】直线与直线垂直 ‎∴命题为真命题；‎ ‎， , ,但=0并不是函数的极值点，‎ ‎∴命题为假命题，‎ 从而为假命题， 为真命题 根据真值表可知： 为真命题.‎ 故选：C ‎7．若关于的方程有两个不同的实数解，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】方程解的个数即函数y=x+b与y=的交点的个数，‎ 作函数y=x+b与y=的图象如下，‎ 由图可知，直线在y=x+与半圆相切，‎ 故实数b的取值范围为．‎ 故选：D．‎ ‎8．对任意正实数，不等式恒成立的一个充分不必要条件是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】记， ‎ ‎∴在上单调递减，在上单调递增 ‎∴的最小值为 ‎∴不等式恒成立的等价条件为 ‎∴不等式恒成立的一个充分不必要条件是 故选：A ‎9．设是抛物线上的三点，若的重心恰好是该抛物线的焦点，则（ ）‎ A. 2 B. 4 C. 6 D. 8‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题意可得F（1，0）是抛物线的焦点，也是三角形ABC的重心，故 ，‎ ‎∴=3． 再由抛物线的定义可得 =xA+1+xB+1+xC+1 ‎ ‎=3+3=6，‎ 故选：C．‎ ‎10．点是曲线上的点， 是直线上的点，则的最小值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】设与直线y=2x﹣1平行的直线y=2x+c与曲线y=2ex相切与点P（x0，y0），‎ 则两平行线间的距离即为|PQ|的最小值，‎ ‎∴ex0+ 1=2，解得x0=0，‎ ‎∴曲线的切线为y=2x+1，‎ 由平行线间的距离公式可得|PQ|的最小值为 故选：B ‎11．已知双曲线（， ）的右焦点为，若过点且倾斜角为的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】双曲线（， ）的右焦点为，‎ 若过点且倾斜角为的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，‎ 则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率，‎ ‎∴≥，离心率，‎ ‎∴e≥2，‎ 故选C 点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于a，b，c的方程或不等式，再根据a，b，c的关系消掉b得到a，c的关系式，建立关于a，b，c的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.‎ ‎12．若函数存在唯一的极值点，且此极值小于0，则实数的取值范围为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】，x＞0，‎ ‎∴f′（x）=a（x﹣1）ex+﹣1=（x﹣1）（aex），‎ 由f'（x）=0得到x=1或aex（）‎ 由于f（x）仅有一个极值点，‎ 关于x的方程（）必无解，‎ ‎①当a=0时，（）无解，符合题意，‎ ‎②当a≠0时，由（）得，a=，∴a 由于这两种情况都有，当0＜x＜1时，f'（x）>0，于是f（x）为增函数，‎ 当x＞1时，f'（x）＞0，于是f（x）为减函数，‎ ‎∴x=1为f（x）的极值点，‎ ‎∵f（1）=﹣ae-1<0，‎ ‎∴,又a 综上可得a的取值范围是．‎ 故选：D．‎ 点睛：已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路 ‎(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；‎ ‎(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；‎ ‎(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．‎ 二、填空题 ‎13．“若，则， 全为零”的否命题是________________________；‎ ‎【答案】“若，则， 不全为零”‎ ‎【解析】根据否命题的定义，原命题的否命题是“若，则不全为0”‎ ‎14．若函数在与处都取得极值，则________‎ ‎；‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】函数的导函数为 又函数在与处都取得极值，‎ ‎∴1和是的两个实根，‎ ‎∴，即 ‎∴‎ ‎15．若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是________；‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】函数， ‎ 又函数在区间上单调递减 ‎∴在区间上恒成立 即，解得: ，‎ 当时，经检验适合题意。‎ 故答案为： ‎ 点睛：f(x)为增函数的充要条件是对任意的x∈(a，b)都有f′(x)≥0且在(a，b)内的任一非空子区间上f′(x)≠0.应注意此时式子中的等号不能省略，否则漏解．‎ ‎16．设过曲线上任意一点处的切线为，总存在过曲线上一点处的切线，使得，则实数的取值范围是______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由f（x）= ，得f′（x）=ex+1，‎ ‎∵ex+1＞1，∴∈（-1，0），‎ 由g（x）= ，得g′（x）=a﹣sinx，‎ ‎∴a﹣sinx∈[﹣1+a，1+a]，‎ 要使过曲线f（x）= 上上任意一点的切线为l1，‎ 总存在过曲线g（x）= 上一点处的切线l2，使得l1⊥l2，‎ 则，解得﹣1≤a≤0．‎ 即a的取值范围为﹣1≤a≤2．‎ 故答案为： ．‎ 三、解答题 ‎17．给定两个命题, ：对任意实数都有恒成立； ：关于的方程有实数根；如果命题“且”为假命题，“或”为真命题，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】试题分析: 根据二次函数恒成立的充要条件，我们可以求出命题p为真时，实数a的取值范围，根据二次方程有实根的充要条件，我们可以求出命题q为真时，实数a的取值范围，然后根据或为真命题， 且为假命题，则命题p，q中一个为真一个为假，分类讨论后，即可得到实数a的取值范围．‎ 试题解析：‎ 对任意实数都有恒成立 ； ‎ 关于的方程有实数根；‎ 因为命题“且”为假命题，“或”为真命题，则命题和一真一假。‎ 如果正确，且不正确，有；‎ 如果正确，且不正确，有．‎ 所以实数的取值范围为 ‎ ‎18．在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为，直线的参数方程为 (为参数)，直线和圆C交于A，B两点，P是圆C上不同于A，B的任意一点．‎ ‎(I)求圆心C的极坐标；‎ ‎(II)求△PAB面积的最大值．‎ ‎【答案】(1) ;(2) ‎ ‎【解析】试题分析：(1)由圆的极坐标方程为，按照两角和的余弦进行展开，把代入即可得出；（2）把直线的参数方程化为普通方程，利用点到直线的距离公式可得圆心到直线的距离，再利用弦长公式可得，利用三角形的面积计算公式即可得出.‎ 试题解析：(1)圆的直角坐标方程为，‎ 即，‎ 所以圆心坐标为，圆心极坐标为，‎ ‎(2)直线的普通方程为，‎ 圆心到直线的距离，‎ 所以，‎ 点到直线距离的最大值为，‎ 故最大面积.‎ 点睛：本题考查了把直线的参数方程化为普通方程、极坐标化为直角坐标方程、点到直线的距离公式、弦长公式、三角形的面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题；主要是通过和实现极坐标方程与直角坐标方程之间实现的互化，直线与圆相交时的弦长主要是利用弦长公式.‎ ‎19．双曲线（）的左、右焦点分别为、，抛物线 的准线过且与双曲线的实轴垂直，若抛物线上的任意一点到的距离比它到轴的距离大3，过的直线与双曲线的右支相交于、两点，若弦长等于抛物线的通径长的2倍，且的周长为56，求双曲线和抛物线的方程.‎ ‎【答案】双曲线的方程为，抛物线的方程为 ‎【解析】试题分析:由抛物线的定义可知， ，从而得到抛物线方程，又弦长等于抛物线的通径长的2倍，且的周长为56，由双曲线的定义可知， ， ，即的周长为，进而得到双曲线的方程.‎ 试题解析：‎ 依题可知抛物线的焦点为，所以，‎ 由抛物线的定义可知， ，所以，‎ 所以抛物线的方程为， ‎ 其通径长为，从而，‎ 由双曲线的定义可知， ， ，‎ 所以， ‎ 所以的周长为，‎ 解得，又因为，所以，‎ 所以双曲线的方程为 .‎ 综上所述，双曲线的方程为，‎ 抛物线的方程为 . ‎ ‎20．已知函数（）．‎ ‎（1）当时，求函数在上的最大值和最小值；‎ ‎（2）当时，是否存在正实数，当（是自然对数底数）时，函数的最小值是3，若存在，求出的值；若不存在，说明理由；‎ ‎【答案】（1）最大值是，最小值为；（2）．‎ ‎【解析】试题分析：（1）先求出导函数，在求出的单调区间，进而求得极大值与极小值，比较端点值可得最大值与最小值；（2）当时，分三种情况讨论函数的单调性，进而求出函数的最小值（用表示），令其等于即可求出的值．‎ 试题解析： （1）当时，，且，‎ ‎．‎ 得时；时，‎ 所以函数在上单调递增；，函数在上单调递减，‎ 所以函数在区间仅有极大值点，故这个极大值点也是最大值点，‎ 故函数在最大值是，‎ 又，故，‎ 故函数在上的最小值为．‎ ‎（2）‎ ‎（ⅰ）‎ ‎（ⅱ）‎ ‎【考点】1、利用函数研究函数的单调性；2、利用导数求函数的极值及最值．‎ ‎21．已知椭圆的离心率为，其左、右焦点分别为、， 为椭圆上的动点，且的最大值为16．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程；‎ ‎（II）设、分别为椭圆的右顶点和上顶点，当在第一象限时，直线与轴交于点，直线与轴交于点，问与面积之差是否为定值？说明理由．‎ ‎【答案】(1) (2)定值为8.‎ ‎【解析】试题分析:（1）由题意可知： ，即，又，从而得到椭圆的方程；（2）结合图形易知： ，只需明确M，N的坐标即可.‎ 试题解析：‎ ‎（I）由基本不等式及基本不等式有，依题意得，所以，又因为，解得，所以，‎ 则椭圆的方程为 ‎ ‎（II）由（I）可得， ，设，则，‎ ‎，令得，‎ 则, ‎ ‎，令得，‎ 则, ‎ ‎∴‎ ‎（定值）‎ 点睛：定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的. 定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现.‎ ‎22．已知函数.‎ ‎(Ⅰ)试求函数的单调区间；‎ ‎ (Ⅱ)若不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】(1) 若，函数在区间上单调递减；若，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增；若，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减;(2) ‎ ‎【解析】试题分析: （1）求出函数的导数，通过讨论a的范围，确定出函数的单调区间即可；（2）问题等价于恒成立，令.因为，则，即，问题转化为，即对任意恒成立．‎ 试题解析：‎ ‎（Ⅰ）因为 所以 ‎ ‎①若，则，即在区间上单调递减；‎ ‎②若，则当时， ；当时， ；‎ 所以在区间上单调递减，在区间上单调递增；‎ ‎③若，则当时， ；当时， ； ‎ 所以函数在区间上单调递增，在区间上单调递减．‎ 综上所述，若，函数在区间上单调递减；；‎ 若，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增；‎ 若，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减．‎ ‎（Ⅱ）依题意得，‎ 令.因为，则，即．‎ 于是，由，得，‎ 即对任意恒成立. ‎ 设函数，则.‎ 当时， ；当时， ；‎ 所以函数在上单调递增，在上单调递减；‎ 所以.‎ 于是，可知，解得.‎ 故的取值范围是 ‎ 点睛：导数问题经常会遇见恒成立的问题：（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；（2）若就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为，若恒成立，转化为;（3）若恒成立，可转化为.‎