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- 2021-04-14 发布
衡中河南分校永威高中高三数学（文科）
第一次周考试卷
一、选择题（本题共12小题。每小题5分。共60分．在每小题给出的四个选项中．只有一项是符合题目要求的．）
1．已知集合M＝{1，2，3}，N＝{2，3，4}，则
A．M N B．NM
C．M∩N＝{2，3} D．M∪N＝{1，4}
2．i是虚数单位，复数z＝（x＋2i）（1＋i），x∈R．若z的虚部为4，则x等于
A．1 B．－1 C．2 D．－2
3．已知向量a＝（1，2），b＝（x，－4），若a∥b，则x＝
A．4 B．－4 C．2 D．－2
4．设a，b∈R，则“a≥1且b≥1”是“a＋b≥2”的
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
5．过点（π，1）且与曲线y＝sinx＋cosx在点（，1）处的切线垂直的直线方程为
A．y＝x＋1－π B．y＝x－1＋π
C．y＝－x＋1＋π D．y＝－x－1＋π
6．已知m、n表示两条直线，α表示一个平面，给出下列四个命题：
①② ③ ④
则正确命题的序号是
A．①② B．①④ C．②④ D．②③
7．一个几何体的三视图如右图所示，已知这个几何体的体积为
10，则h＝
A． B． C．3 D．5
8．函数f（x）＝Asin（ωx＋）（A，ω，是常数，A＞0，
ω＞0）的部分图像如图所示，则f（x）的单调递减区间
是
A．[kπ＋，kπ＋]，（k∈z）
B．[kπ－，kπ＋]，（k∈z）
C．[2kπ＋，2kπ＋]，（k∈z）
D．[2kπ－，2kπ＋]，（k∈z）
9．执行如右图中的程序框图，如果输入的t∈[－1，3]，则
输出的S所在区间是
A．[－1，2] B．[－2，3]
C．[－3，4] D．[－4，5]
10．设函数f（x）＝则满足f（x）≤2的x的取
值范围是
A．[－1，1] B．[0，1] C．（1，＋∞） D．[0，＋∞）
11．在△ABC中，已知角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且c（acosB－bcosA）＝，
则＝
A．1 B． C．2 D．2
12．已知F1、F2是椭圆C1：和双曲线C2:的公共焦点，P是
它们的一个公共点，且∠F1PF2＝，则mn的最大值为
A． B． C． D．2
二、填空题（本大题共4小题．每小题5分，共20分．）
13．已知直线l1：（a－1）x－y＋a＝0，l2：x＋（1－a）y＝0互相垂直，则a的值是__________．
14．设实数x，y满足≤1，则点（x，y）不在区域内的概率是________．
15．两个正数a、b的等差中项是，一个等比中项是，且a＞b，则双曲线
的离心率e等于___________．
16．设函数f（x）是定义在R上周期为2的函数，且对任意的实数x，恒有f（x）－f（－x）
＝0，当x∈[－1，0]，f（x）＝．若g（x）＝f（x）－在x∈（0，＋∞）
有且仅有三个零点，则a的取值范围为_____________．
三、解答题（本大题共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．（本小题满分12分）
在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，满足＝bc＋．
（1）求角A的大小；
（2）已知等差数列{}的公差不为零，若a1cosA＝1，且a4＝8，求数列{}的前n
项和
18．（本小题满分12分）
如图甲，在平面四边形ABCD中，已知∠A
＝45°，∠C＝90°，∠ADC＝105°，AB
＝BD，现将四边形ABCD沿BD折起，使平
面ABD⊥平面BDC（如图乙），设点E、F
分别为棱AC、AD的中点．
（1）求证：DC⊥平面ABC；
（2）设CD＝a，求三棱锥A－BFE的体积．
19．（本小题满分12分）
电视传媒公司为了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查，其中女性有55名．下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图：
将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”，已知“体育迷”中有
10名女性．
（1）根据已知条件完成下面的2×2列联表，并
据此资料你是否认为“体育迷”与性别有
关?
非体育迷
体育迷
合计
男
女
合计
（2）将日均收看该体育项目不低于50分钟的观众称为“超级体育迷”，已知“超级体育迷”中有2名女性，若从“超级体育迷”中任意选取2人，求至少有1名女性观众的概率．
20．（本小题满分12分）
如图，在直角坐标系xOy中，点P（1，）到抛物线C：
（P＞0）的准线的距离为．点M（t，1）是C上
的定点，点A，点B 是抛物线C上的两动点，且线段AB被
直线OM平分．
（1）求P，t的值；
（2）求△ABP面积的最大值．
21．（本小题满分12分）
已知函数f（x）＝＋ax，g（x）＝ax－lnx，其中a＜0，e为自然对数的底数．
（1）若g（x）在（1，g（1））处的切线l与直线x－3y－5＝0垂直，求a的值；
（2）求f（x）在x∈[0，2]上的最小值；
（3）试探究能否存在区间M，使得f（x）和g（x）在区间M上具有相同的单调性?若存在，则求区间M，并指出f（x）和g（x）在区间M上的单调性；若不存在，请说明理由．
请考生在第22，23，两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．
22．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程
在极坐标系Ox中，直线C1的极坐标方程为ρsinθ＝2，M是C1上任意一点，点P在射
线OM上，且满足｜OP｜·｜OM｜＝4，记点P的轨迹为C2．
（1）求曲线C2的极坐标方程；
（2）求曲线C2上的点到直线ρcos（θ＋）＝距离的最大值．
23．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲
设f（x）＝｜x－3｜＋｜x－4｜．
（1）解不等式f（x）≤2；
（2）若存在实数x满足f（x）≤ax－1，试求实数a的取值范围．
衡中河南分校永威高中高三数学（文科）
第一次周考试卷答案
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