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- 2021-04-14 发布
北京市西城区 2019 — 2020 学年度第一学期期末试卷
高二数学 2020.1
试卷满分：150 分 考试时间：120 分钟
一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合要求的.
1．已知椭圆
2 2
2: 1( 0)4
x yC a
a
的一个焦点为(2,0) ,则 a 的值为（ ）
A． 2 2 B． 6 C． 6 D．8
2．已知数列{ }na 满足 1 2a ， 1 2n na a ( , 2 )n n N ，则 3a （ ）
A． 5 B． 6 C． 7 D． 8
3．已知命题 p : 1x , 2 1x ,则 p 为（ ）
A． 1x , 2 1x B． 1x , 2 1x
C． 1x , 2 1x D． 1x , 2 1x
4．已知 ,a b R ,若 a b ,则（ ）
A． 2a b B． 2ab b C． 2 2a b D． 3 3a b
5．已知向量 ( 1,2,1), (3, , )x y a b ,且 //a b ,那么| |b （ ）
A． 3 6 B． 6 C． 9 D．18
6．已知直线 a , b 分别在两个不同的平面 , 内，则“直线 a 和直线b 相交”是“平面 和
平面 相交”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
7. 已知向量 (1, , 2)xa ， (0,1, 2)b ， (1, 0, 0)c ，若 , ,a b c 共面，则 x 等于
（ ）
A. 1 B. 1 C.1 或 1 D. 1 或 0
8. 德国著名数学家高斯，享有“数学王子”之美誉.他在研究圆内整点问题时，定义了一
个函数 ( ) [ ]f x x ，其中[ ]x 表示不超过 x 的最大整数，比如[ ]=3 . 根据以上定义，当
3 1x 时，数列 ( )x f x ， ( )f x ， x （ ）
A．是等差数列，也是等比数列 B．是等差数列，不是等比数列
C．是等比数列，不是等差数列 D．不是等差数列，也不是等比数列
9．设有四个数的数列{ }na ，该数列前 3项成等比数列，其和为 m，后 3项成等差数列，
其和为 6 . 则实数 m 的取值范围为（ ）
A. 6m B. 3
2m C. 6m D. 2m
10. 曲线 3 3: 1C x y .给出下列结论：
①曲线 C 关于原点对称；
②曲线 C 上任意一点到原点的距离不小于 1；
③曲线 C 只经过 2 个整点（即横、纵坐标均为整数的点）.
其中，所有正确结论的序号是（ ）
A. ①② B. ② C. ②③ D. ③
二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分.
11.设 P 是椭圆
2 2
125 9
x y 上的点, P 到该椭圆左焦点的距离为 2 ，则 P 到右焦点的距离
为__________.
12. 不等式 01
x
x
的解集为_________.
13. 能说明“若 a b ，则 1 1
a b
”为假命题的一组 a 、b 值是 a ， b .
14．若双曲线
2 2
2 2 1( 0, 0)x y a b
a b
的右焦点 ( ,0)F c 到一条渐近线的距离为 3
2 c ,则其离心
率的值是__________.
15．某渔业公司今年初用100 万元购进一艘渔船用于捕捞，已知第一年捕捞工作需各种费用
4 万元，从第二年开始,每年所需费用均比上一年增加 2 万元.
若该渔船预计使用 n 年，其总花费（含购买费用）为________ 万元；
当 n ______时，该渔船年平均花费最低（含购买费用）.
16. 若 1 2 3 9, , , ,x x x x 表示从左到右依次排列的 9 盏灯，现制定开灯与关灯的规则如下：
（1）对一盏灯进行开灯或关灯一次叫做一次操作；
（2）灯 1x 在任何情况下都可以进行一次操作；对任意的 { | 2 9}i x x N ，要求灯 ix
的左边有且只有．．．．灯 1ix 是开灯状态时才可以对灯 ix 进行一次操作.
如果所有灯都处于开灯状态，那么要把灯 4x 关闭最少需要 次操作；
如果除灯 6x 外，其余 8 盏灯都处于开灯状态，那么要使所有灯都开着最少需要 次
操作.
三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17．（本小题满分 13 分）
已知等比数列{ }na 的公比为 2 ，且 3a ， 4 4a ， 5a 成等差数列.
（Ⅰ）求{ }na 的通项公式；
（Ⅱ）设{ }na 的前 n 项和为 nS ，且 62nS ，求 n 的值.
18．（本小题满分 13 分）
已知函数 2( )f x x ax ， aR .
（Ⅰ）若 ( ) (1)f a f ，求 a 的取值范围；
（Ⅱ）若 ( ) 4f x 对 x R 恒成立，求 a 的取值范围；
（Ⅲ）求关于 x 的不等式 ( ) 0f x 的解集.
19．（本小题满分 13 分）
已知椭圆
2 2
2 2: 1x yC
a b
( 0)a b 的右焦点为 (1,0)F ，离心率为 2
2
.
（Ⅰ）求椭圆 C 的方程；
（Ⅱ）设点 A 为椭圆 C 的上顶点，点 B 在椭圆上且位于第一象限，且 90AFB ，求 AFB
的面积.
20．（本小题满分 14 分）
如图，四棱锥 P ABCD 中， AD 平面 ABP ， //BC AD ， 90PAB .
2PA AB ， 3AD ， BC m ， E 是 PB 的中点.
（Ⅰ）证明： AE ⊥平面 PBC ；
（Ⅱ）若二面角 C AE D 的余弦值是 3
3
，求 m 的值；
（Ⅲ）若 2m ，在线段 AD 上是否存在一点 F ，使得 PF ⊥ CE . 若存在，确定 F 点的位
置；若不存在，说明理由.
21．（本小题满分 14 分）
已知抛物线 2: 2 ( 0)C y px p ，抛物线C 上横坐标为1的点到焦点 F 的距离为 3.
（Ⅰ）求抛物线 C 的方程及其准线方程；
（Ⅱ）过 ( 1,0) 的直线 l 交抛物线 C 于不同的两点 ,A B ，交直线 4x 于点 E ，直线 BF 交
直线 1x 于点 D . 是否存在这样的直线 l ，使得 //DE AF ? 若不存在，请说明理由；若存
在，求出直线 l 的方程.
22．（本小题满分 13 分）
D
A B
C
P
E
若无穷数列 1 2 3, , ,a a a 满足：对任意两个正整数 ,i j ( 3)j i ， 1 1i j i ja a a a 与
1 1i j i ja a a a 至少有一个成立，则称这个数列为“和谐数列”.
（Ⅰ）求证：若数列{ }na 为等差数列，则{ }na 为“和谐数列”；
（Ⅱ）求证：若数列{ }na 为“和谐数列”，则数列{ }na 从第 3项起为等差数列；
（Ⅲ）若{ }na 是各项均为整数的“和谐数列”，满足 1 0a ，且存在 *pN 使得 pa p ，
1 2 3 pa a a a p ，求 p 的所有可能值.
北京市西城区 2019 — 2020 学年度第一学期期末试卷
高二数学参考答案 2020.1
一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分.
1. A 2. B 3.C 4. D 5. A 6. A 7. B 8. D 9. B 10. C
二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分.
11.8 12. { 0 1}x x 13. 1, 1 （答案不唯一） 14. 2
15. 2 3 100n n ；10 16. 3；21
注：13、15、16 题第一个空 2 分，第二个空 3 分.
三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分.
17．（本小题满分 13 分）
解：（Ⅰ）因为{ }na 为公比为 2 的等比数列，
所以 2
3 1 14a a q a ， 4 18a a ， 5 116a a ， ………………3 分
依题意得 4 3 52( 4)a a a ， ………………5 分
即 1 1 12(8 4) 4 16a a a ， ………………6 分
整理得 14 8a ， 解得 1 2a . ………………7 分
所以数列{ }na 的通项公式为 2n
na . ………………8 分
（Ⅱ）依题意 1
1
1
n
n
qS a q
， ………………10 分
11 22 2 21 2
n
n . ………………11 分
所以 12 2 62n ，整理得 12 64n ， ………………12 分
解得 5.n
所以 n 的值是 5 . ………………13 分
18．（本小题满分 13 分）
解：（Ⅰ）由 ( ) (1)f a f 得 2 2 1a a a ，
整理得 22 1 0a a ， ………………2 分
解得 1{ | 2a a 或 1}a . ………………4 分
（Ⅱ） ( ) 4f x 对 x R 恒成立，则 min( ) 4f x ， ………………6 分
所以
2
44
a ， ………………7 分
整理得 2 16 0a ，
解得{ | 4 4}a a . ………………8 分
（Ⅲ）解 2 0x ax ，得 1 20,x x a ，
①当 0a 时，即 0a 时, 0x 或 x a ； ………………10 分
②当 0a 时，即 0a 时, x a 或 0x ； ………………12 分
③当 0a 时，即 0a 时, 0x . ………………13 分
综上，当 0a 时，不等式的解集为{ | 0x x 或 }x a ；当 0a 时，不等式的解集为
{ |x x a 或 0}x ；当 0a 时，不等式的解集为{ | 0}x x .
19．（本小题满分 13 分）
解：（Ⅰ）依题意 1c ， 2
2
c
a
， ………………2 分
解得 2a ， 2 2 1b a b ， ………………4 分
所以椭圆 C 的方程为
2
2 12
x y . ………………5 分
（Ⅱ）设点 0 0( , )B x y ，因为点 B 在椭圆上，所以
2
20
0 12
x y …①， ………………7 分
因为 90AFB ，所以 1FA FBk k ，得 0
0
11
y
x
…②， ………………8 分
由①②消去 0y 得， 2
0 03 4 0x x ，
解得 0 0x （舍）， 0
4
3x ， ………………10 分
代入方程②得 0
1
3y ，所以 4 1( , )3 3B ， ………………11 分
所以 2| | 3BF ，又| | 2AF ， ………………12 分
所以 AFB 的面积 1 1 2 1= | | | | 22 2 3 3AFBS AF BF . ………………13 分
20. （本小题满分 14 分）
（Ⅰ）证明：因为 AD 平面 PAB ， //BC AD ，
所以 BC 平面 PAB . ………………1 分
又因为 AE 平面 PAB ，所以 AE BC . ………………2 分
在 PAB 中， PA AB ， E 是 PB 的中点，
所以 AE PB . ………………3 分
又因为 BC PB B ，所以 AE 平面 PBC . ………………4 分
（Ⅱ）解：因为 AD 平面 PAB ，
所以 AD AB ， AD PA . ………………5 分
又因为 PA AB ，
所以 如图建立空间直角坐标系 A xyz .
则 (0,0,0)A ， (0,2,0)B ， (0,2, )C m ， (1,1,0)E ，
(2,0,0)P ， (0,0,3)D ，
(0,2, )AC m ， (1,1,0)AE . ………6 分
设平面 AEC 的法向量为 ( , , )x y zn .
则 0 ,
0 ,
AC
AE
n
n
………………7 分
即 2 0,
0.
y mz
x y
令 1x ，则 1y ， 2z m
，
于是 2(1, 1, )m
n . ………………8 分
因为 AD 平面 PAB ，所以 AD PB . 又 PB AE ，
所以 PB 平面 AED .
D
A B
C
P
E
y
z
x
又因为 ( 2, 2, 0)PB ，
所以 取平面 AED 的法向量为 ( 1,1,0) m . ………………9 分
所以 3cos , | | | | 3
n mn m n m
， ………………10 分
即
2
| 1 1| 3
342 2
m
，解得 2 1m .
又因为 0m ，所以 1m . ………………11 分
（Ⅲ）结论：不存在.理由如下：
证明：设 (0,0, )F t (0 3)t .
当 2m 时， (0,2,2)C .
( 2,0, )PF t ， (1, 1, 2)CE . ………………12 分
由 PF CE 知， 0PF CE ， 2 2 0t ， 1t .这与 0 3t 矛盾. ………13 分
所以，在线段 AD 上不存在点 F ，使得 PF CE . ………………14 分
21. （本小题满分 14 分）
解：（Ⅰ）因为横坐标为1的点到焦点的距离为 3，所以1 32
p ，解得 4p ， ………2 分
所以 2 8y x ， ………………3 分
所以准线方程为 2x . ………………4 分
（Ⅱ）显然直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为 ( 1)y k x ( 0)k ， 1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y .
联立得
2 8 ,
( 1),
y x
y k x
消去 y 得 2 2 2 2(2 8) 0k x k x k . ………………5 分
由 2 2 4(2 8) 4 0k k ，解得 2 2k . 所以 2 2k 且 0k .
由韦达定理得
2
1 2 2
8 2kx x
k
， 1 2 1x x . ………………7 分
方法一：
直线 BF 的方程为 2
2
( 2)2
yy xx
，
又 1Dx ，所以 2
2
3
2D
yy x
，所以 2
2
3( 1, )2
yD x
， ………………8 分
因为 //DE AF ，所以直线 DE 与直线 AF 的斜率相等. ………………9 分
又 ( 4, 3 )E k ，所以
2
2 1
1
3 3 2
3 2
yk x y
x
. ………………10 分
整理得 1 2
1 22 2
y yk x x
，即 1 2
1 2
( 1) ( 1)
2 2
k x k xk x x
， ………………11 分
化简得 1 2
1 2
1 11 2 2
x x
x x
， 1 2 1 2
1 2 1 2
2 ( ) 41 2( ) 4
x x x x
x x x x
，即 1 2+ 7x x . ………………12 分
所以
2
2
8 2 =7k
k
，整理得 2 8
9k ， ………………13 分
解得 2 2
3k . 经检验， 2 2
3k 符合题意.
所以存在这样的直线 l ，直线 l 的方程为 2 2 ( 1)3y x 或 2 2 ( 1)3y x .………14 分
方法二：
因为 //DE AF ，所以 | | | |
| | | |
BA BF
BE BD
，所以 2 1 2
2 2
2
4 1
x x x
x x
. ………………10 分
整理得 1 2 1 2( ) 8x x x x ，即
2
2
8 2 =7k
k
， ………………12 分
整理得 2 8
9k . ………………13 分
解得 2 2
3k ，经检验， 2 2
3k 符合题意.
所以存在这样的直线 l ，直线 l 的方程为 2 2 ( 1)3y x 或 2 2 ( 1)3y x .………14 分
22.（本小题满分 13 分）
（Ⅰ）证明：因为数列{ }na 为等差数列，
所以 对任意两个正整数 ,i j ( 3)j i ，有 1 1i i j ja a a a d ， ………………2 分
所以 1 1i j i ja a a a .
所以 数列{ }na 为“和谐数列”. ………………4 分
（Ⅱ）证明：因为数列{ }na 为“和谐数列”，
所以 当 1i , 4j 时，只能 1 1i j i ja a a a 成立, 1 1i j i ja a a a 不成立.
所以 2 3 1 4a a a a ，即 2 1 4 3a a a a . ………………6 分
当 1i ， 5, 6, 7, 8, 9j 时，也只能 1 1i j i ja a a a 成立， 1 1i j i ja a a a 不成立.
所以 2 4 1 5a a a a ， 2 5 1 6a a a a , 2 6 1 7a a a a ,
即 2 1 5 4 6 5 7 6a a a a a a a a ，
所以 2 1 4 3 5 4 6 5a a a a a a a a . ………………7 分
令 2 1a a d ，则数列{ }na 满足 1 ( 4)n na a d n .
所以，数列{ }na 从第 3 项起为等差数列. ………………8 分
（Ⅲ）解：①若 1p ，则 1 1pa a ，与 1 0a 矛盾，不合题意.
②若 2p ，则 1 0a ， 2 2a ，但 1 2 2 2a a ，不合题意. ………………9 分
③若 3p ，则 1 0a ， 3 3a ，由 1 2 3 3a a a ，得 2 6a ，
此时数列{ }na 为： 0, 6 ,3 , 3 , 9 , ，符合题意. ………………10 分
④若 4p ，设 2 1a a d ，
则 1 2
( 2)
0 [ ( 3) ] [ ( 4) ] [ ]p
p
a a a d p p d p p d p d p p
.
所以，
( 1)
[ ( 3) ] [ ( 4) ] ( ) ( ) 0
p
p p d p p d p d p p d
即 [( ) ( 3) ]( 1) 02
p d p p d p .
因为 1 0p ，所以 ( 3) 0p d p p d . ………………11 分
所以 4p 不合题意.
所以 2 2 8 8 824 4 4
p pd p p p
. ………………12 分
因为 p 为整数，所以 8
4p
为整数，所以 5 ,6 ,8 ,12p .
综上所述，p 的所有可能值为 3, 5 ,6 ,8 ,12 . ………………13 分