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- 2021-04-14 发布
安平中学2018-2019学年上学期期末考试
高二实验部数学试题（理）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分。考试时间120分钟
第Ⅰ卷（选择题）
一、 选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合A={x|2x2﹣5x﹣3≤0}，B={x∈Z|x≤2}，则A∩B中的元素个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
2．设复数z=1+i，i是虚数单位，则+（）2=（ ）
A．1﹣3i B．1﹣i C．﹣1﹣i D．﹣1+i
3．命题“∃x0∈（0，），cosx0＞sinx0”的否定是（ ）
A．∃x0∈（0，），cosx0≤sinx0 B．∀x∈（0，），cosx≤sinx
C．∀x∈（0，），cosx＞sinx D．∃x0∉（0，），cosx0＞sinx0
4．设各项均为正数的等差数列{an}的前n项和为Sn,且a4a8=32,则S11的最小值为
A. B. C.22 D.44
5．已知向量，满足•（﹣）=2，且||=1，||=2，则与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
6．如图为教育部门对辖区内某学校的50名儿童的体重（kg）作为样本进行分析而得到的频率分布直方图，则这50名儿童的体重的平均数为（ ）
A．27.5 B．26.5 C．25.6 D．25.7
7．已知sin（）=，则cos（2）=（ ）
A．﹣ B．﹣ C． D．
8．某高校的8名属“老乡”关系的同学准备拼车回家，其中大一、大二、大三、大四每个年级各两名，分乘甲、乙两辆汽车，每车限坐4名同学（乘同一辆车的4名同学不考虑位置），其中大一的孪生姐妹需乘同一辆车，则乘坐甲车的4名同学恰有2名来自于同一年级的乘坐方式共有（ ）
A．18种 B．24种 C．36种 D．48种
9．如图，B、D是以AC为直径的圆上的两点，其中，，则=（ ）
A．1 B．2 C．t D．2t
10．已知实数x，y满足条件|x﹣1|+|y﹣1|≤2，则2x+y的最大值为（ ）
A．3 B．5 C．7 D．9
11.设函数在上可导, 则与的大小关系是( )
A. B. C. D.不确定
12．抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，已知点A，B为抛物线上的两个动点，且满足∠AFB=120°．过弦AB的中点M作抛物线准线的垂线MN，垂足为N，则的最大值为（ ）
A． B．1 C． D．2
第Ⅱ卷（非选择题）
二．填空题（共4题每题5分满分20分）
13．若（a+x）（1+x）4的展开式中，x的奇数次幂的系数和为32，则展开式中x3的系数为 ．
14．已知正四面体ABCD的棱长为l，E是AB的中点，过E作其外接球的截面，则此截面面积的最小值为 ．
15.若函数在其定义域内的一个子区间内不是单调函数,则实数的取值范围是
16．设函数y=的图象上存在两点P，Q，使得△POQ是以O为直角顶点的直角三角形（其中O为坐标原点），且斜边的中点恰好在y轴上，则实数a的取值范围是 ．
三． 解答题：（解答题应写出必要的文字说明和演算步骤，17题10分，18-22每题12分)
17．已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C的对边，a=2且（2+b）（sinA﹣sinB）=（c﹣b）sinC
（1）求角A的大小；
（2）求△ABC的面积的最大值．
18．设函数，数列{an}满足，n∈N*，且n≥2．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）对n∈N*，设，若恒成立，求实数t的取值范围．
19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AD⊥CD，BC=2，AD=CD=1，M是PB的中点．
（Ⅰ）求证：AM∥平面PCD；
（Ⅱ）求证：平面ACM⊥平面PAB；
（Ⅲ）若PC与平面ACM所成角为30°，求PA的长．
20．已知函数f（x）=ex﹣xlnx，g（x）=ex﹣tx2+x，t∈R，其中e是自然对数的底数．
（Ⅰ）求函数 f（x）在点（1，f（1））处切线方程；
（Ⅱ）若g（x）≥f（x）对任意x∈（0，+∞）恒成立，求t的取值范围．
21．过离心率为的椭圆的右焦点F（1，0）作直线l与椭圆C交于不同的两点A、B，设|FA|=λ|FB|，T（2，0）．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若1≤λ≤2，求△ABT中AB边上中线长的取值范围．
22．已知函数f（x）=ex﹣3x+3a（e为自然对数的底数，a∈R）．
（Ⅰ）求f（x）的单调区间与极值；
（Ⅱ）求证：当，且x＞0时，．
理答案
1-12 BABBD CABAC BA
13.18
14.
15.
16. （0，]
17.【解答】解：（1）△ABC中，∵a=2，且（2+b）（sinA﹣sinB）=（c﹣b）sinC，
∴利用正弦定理可得（2+b）（a﹣b）=（c﹣b）c，即 b2+c2﹣bc=4，即b2+c2﹣4=bc，
∴cosA===，
∴A=．
（2）再由b2+c2﹣bc=4，利用基本不等式可得 4≥2bc﹣bc=bc，
∴bc≤4，当且仅当b=c=2时，取等号，
此时，△ABC为等边三角形，它的面积为bcsinA=×2×2×=，
故△ABC的面积的最大值为：．
18.【解答】解：（1）依题意，an﹣an﹣1=（n≥2），
又∵a1=1，
∴数列{an}是首项为1、公差为的等差数列，
故其通项公式an=1+（n﹣1）=；
（2）由（1）可知an+1=，
∴=（﹣），
∴
=（﹣+﹣+…+﹣）
=，
恒成立等价于≥，即t≤恒成立．
令g（x）=（x＞0），则g′（x）=＞0，
∴g（x）=（x＞0）为增函数，
∴当n=1时取最小值，
故实数t的取值范围是（﹣∞，]．
19.
【解答】证明：（I）取PC的中点N，连接MN，DN．
∵M，N是PB，PC的中点，
∴MNBC，又ADBC，
∴MNAD，
∴四边形ADNM是平行四边形，
∴AM∥DN，又AM⊄平面PCD，CD⊂平面PCD，
∴AM∥平面PCD．
（II）∵PA⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，
∴PA⊥AC．
∵AD=CD=1，AD⊥CD，AD∥BC，
∴AC=，∠DCA=∠BCA=45°，
又BC=2，∴AB==．
∴AC2+AB2=BC2，∴AC⊥AB．
又PA⊂平面PAB，AB⊂平面PAB，PA∩AB=A，
∴AC⊥平面PAB，又AC⊂平面ACM，
∴平面ACM⊥平面PAB．
（III）取BC的中点E，连接AE，则AE⊥AD．
以A为原点，以AD，AE，AP为坐标轴建立空间直角坐标系A﹣xyz，
则A（0，0，0），C（1，1，0），设P（0，0，a），则M（﹣，，）（a＞0）．
∴=（1，1，0），=（﹣，，），=（1，1，﹣a）．
设平面ACM的法向量为=（x，y，z），则．
∴．令x=1得=（1，﹣1，）．
∴cos＜＞==．
∵PC与平面ACM所成角为30°，
∴=．解得a=．
∴|PA|=．
20.【解答】解：（Ⅰ）由f（x）=ex﹣xlnx，得f′（x）=e﹣lnx﹣1，则f′（1）=e﹣1．
而f（1）=e，∴所求切线方程为y﹣e=（e﹣1）（x﹣1），即y=（e﹣1）x+1；
（Ⅱ）∵f（x）=ex﹣xlnx，g（x）=ex﹣tx2+x，t∈R，
∴g（x）≥f（x）对任意x∈（0，+∞）恒成立．
⇔ex﹣tx2+x﹣ex+xlnx≥0对任意x∈（0，+∞）恒成立．
即t≤对任意x∈（0，+∞）恒成立．
令F（x）=．
则F′（x）=，
设G（x）=，
则G′（x）=对任意x∈（0，+∞）恒成立．
∴G（x）=在（0，+∞）单调递增，且G（1）=0．
∴x∈（0，1）时，G（x）＜0，x∈（1，+∞）时，G（x）＞0，
即x∈（0，1）时，F′（x）＜0，x∈（1，+∞）时，F′（x）＞0，
∴F（x）在（0，1）上单调递减，F（x）在（1，+∞）上单调递增．
∴F（x）≥F（1）=1．
∴t≤1，即t的取值范围是（﹣∞，1]．
21.【解答】解：（Ⅰ）∵，c=1，a2=b2+c2，
∴=b，
∴椭圆C的方程为：．
（Ⅱ）当直线l的斜率为0时，显然不成立．因此可设直线l的方程为：my=x﹣1，设A（x1，y1），B（x2，y2），
直线l的方程与椭圆方程联立可得：（m2+2）y2+2my﹣1=0，
∴，，
由|FA|=λ|FB|，可得y1=﹣λy2，
∵，
∴，
∴﹣2=，
∵1≤λ≤2，∴∈，
∴0≤，
又AB边上的中线长为===，
∵0≤，∴=t∈．
∴f（t）=2t2﹣7t+4=2﹣∈．
∴．
∴△ABT中AB边上中线长的取值范围是
22.【解答】（ I）解 由f（x）=ex﹣3x+3a，x∈R知f′（x）=ex﹣3，x∈R．…
令f′（x）=0，得x=ln 3，…
于是当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表．
x
（﹣∞，ln 3）
ln 3
（ln 3，+∞）
f′（x）
﹣
0
+
f（x）
↓
3（1﹣ln 3+a）
↑
故f（x）的单调递减区间是（﹣∞，ln 3]，
单调递增区间是[ln3，+∞），…
f（x）在x=ln 3处取得极小值，极小值为f（ln 3）=eln3﹣3ln 3+3a=3（1﹣ln 3+a）．…
（II）证明：待证不等式等价于…
设，x∈R，
于是g'（x）=ex﹣3x+3a，x∈R．
由（ I）及知：g'（x）的最小值为g′（ln 3）=3（1﹣ln 3+a）＞0．…
于是对任意x∈R，都有g'（x）＞0，所以g（x）在R内单调递增．
于是当时，对任意x∈（0，+∞），都有g（x）＞g（0）． …
而g（0）=0，从而对任意x∈（0，+∞），g（x）＞0．
即，故