数学卷·2019届江苏省泰州中学高二上学期期中考试（2017-11） 9页

江苏省泰州中学2017-2018学年度高二第一学期期中考试 数学试题 一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分.不需要写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）‎ ‎1.命题“对任意，都有”的否定为 ．‎ ‎2.已知直线是曲线的切线，则实数的值为 ．‎ ‎3.已知函数则“”是“函数在上递增”的 ．‎ ‎4.已知圆柱的底面半径为，用与圆柱底面成角的平面截这个圆柱得到一个椭圆，则该椭圆的离心率为 ．‎ ‎5.双曲线的顶点到其渐近线的距离等于 ．‎ ‎6.已知条件：，条件：，且是的充分不必要条件，则的取值范围是 ．‎ ‎7.函数的单调增区间是 ．‎ ‎8.一圆形纸片的半径为，圆心为，为圆内一定点，，为圆周上任意一点，把圆纸片折叠，使与重合，然后抹平纸片，这样就得到一条折痕，设与交于点（如图），以所在直线为轴，线段的中垂线为轴，建立直角坐标系，则点的轨迹方程为 ．‎ ‎9.已知双曲线的焦点、，点在双曲线上，且，则的面积为 ．‎ ‎10.已知点在曲线上，为曲线在点处的切线的倾斜角，则 的取值范围是 ．‎ ‎11.过点与曲线相切的直线方程是 ．‎ ‎12.，分别是双曲线：（0，）的左、右焦点，是虚轴的端点，直线与的两条渐近线分别交于，两点，线段的垂直平分线与轴交于点，若，则的离心率是 ．‎ ‎13.已知椭圆的方程为，为圆：上一点，过点作圆的切线交椭圆于、两点，则面积的取值范围是 ．‎ ‎14.已知函数，函数，（），若对任意，总存在，使得成立，则的取值范围是 ．‎ 二、解答题 （本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内） ‎ ‎15. 已知：命题：表示双曲线，‎ 命题：函数在上单调递增.‎ ‎（1）若命题为真命题，求实数取值范围；‎ ‎（2）若命题和命题中有且只有一个为真命题，求实数的取值范围.‎ ‎16.已知函数的图象经过点，且在点处的切线方程为.‎ ‎（1）求函数的解析式；‎ ‎（2）求函数的单调区间.‎ ‎17.若椭圆与直线交于点，，点为线段的中点，直线（为原点）的斜率为.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）若，求、的值. ‎ ‎18.如图，江的两岸可近似地看出两条平行的直线，江岸的一侧有，‎ 两个蔬菜基地，江岸的另一侧点处有一个超市.已知、、中任意两点间的距离为千米，超市欲在之间建一个运输中转站，，两处的蔬菜运抵处后，再统一经过货轮运抵处，由于，两处蔬菜的差异，这两处的运输费用也不同.如果从处出发的运输费为每千米元.从处出发的运输费为每千米元，货轮的运输费为每千米元.‎ ‎（1）设，试将运输总费用（单位：元）表示为的函数，并写出自变量的取值范围；‎ ‎（2）问中转站建在河处时，运输总费用最小？并求出最小值. ‎ ‎19. 已知点是椭圆上任一点，点到直线：的距离为，到点的距离为，且.直线与椭圆交于不同两点、（，都在轴上方），且.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）当为椭圆与轴正半轴的交点时，求直线方程；‎ ‎（3）对于直线，是否存在一个定点，无论如何变化，直线总经过此定点？若存在，求出该定点的坐标；若不存在，请说明理由.‎ ‎20. 已知（），定义.‎ ‎（1）求函数的极值 ‎（2）若，且存在使，求实数的取值范围；‎ ‎（3）若，试讨论函数（）的零点个数.‎ 江苏省泰州中学2017-2018学年度高二年级第一学期期中考试 数学参考答案 一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分.不需要写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）‎ ‎1.存在，使得 2. 3.充分不必要 4.‎ ‎5. 6. 7. 8.‎ ‎9. 10. 11.或 ‎12. 13. 14.‎ 二、解答题 ‎15.解：（1）∵命题为真命题 ‎∴，解得 ‎∴实数的取值范围为.‎ ‎（2）当命题为真命题时有恒成立 ‎∴，解得 若命题是真命题，命题是假命题，则有 解得；‎ 若命题是假命题，命题是真命题，则有 解得.‎ 故所求实数的取值范围为.‎ 注：若第（2）小题得结果，而以下推理均正确，则总共扣3分.‎ ‎16.解：（1）由的图象经过点，知，‎ ‎∴，.‎ 由在点处的切线方程为，‎ 知，即，.‎ ‎∴即解得.‎ 故所求的解析式是.‎ ‎（2）‎ 令，得或；‎ 令，得.‎ 故的单调递增区间为和 单调递减区间为.‎ ‎17.解：（1）由消去，得.‎ 当时，‎ 设，，则，.‎ 弦的中点坐标为.‎ ‎∴所在直线斜率①‎ ‎（2）∵，即 得：②‎ 由①②得：，.‎ 满足不等式.‎ ‎∴，.‎ ‎18.解：在中，由正弦定理知 ‎，则，‎ 则，.‎ 所以.‎ 即，.‎ ‎（2），‎ 令，‎ 当时，，；‎ 当时，，，‎ 所以当时，取最小值，‎ 此时，，.‎ 答：中转站建在处千米处时，运输总费用最小的为元.‎ ‎19.解：设，则，，，‎ 化简得：.‎ ‎∴椭圆的方程为：‎ ‎（2）解：∵，，‎ ‎∴，，‎ ‎∴，：‎ 代入，得：，‎ ‎∴，或，代入得（舍），或 ‎∴‎ ‎，∴：‎ ‎（3）证明：由于，所以关于轴的对称点在直线上.设，，‎ 设直线方程：，代入，得：，‎ ‎，，，：，‎ 令，得，‎ ‎，，‎ ‎∴直线总经过定点 ‎20.解：（1）∵函数，‎ ‎∴‎ 令，得或，∵，∴，列表如下：‎ 极大值 极小值 ‎∴的极大值为，极小值为.‎ ‎（2），∵存在使，‎ ‎∴在上有解，即在上有解，即不等式在上有解，‎ 设（），∵对恒成立，‎ ‎∴在上单调递减，∴当时，的最大值为.‎ ‎∴，即.‎ ‎（3）由（1）知，在上的最小值为，‎ ‎①当，即时，在上恒成立，‎ ‎∴在上无零点.‎ ‎②当，即时，，又，‎ ‎∴在上有一个零点.‎ ‎③当，即时，设（），‎ ‎∵，∴在上单调递减，‎ 又，，∴存在唯一的，使得.‎ Ⅰ.当时，‎ ‎∵，∴且为减函数，‎ 又，，‎ ‎∴在上有一个零点；‎ Ⅱ.当时 ‎∵，∴且为增函数.‎ ‎∵，∴在上有一个零点；‎ 从而在上有两个零点.‎ 综上所述，当时，有两个零点；当时，有一个零点；‎ 当时，有无零点.‎