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- 2021-04-14 发布
专题十四 坐标系与参数方程
高考文数
考点一 坐标系与极坐标
考点清单
考向基础
1.平面直角坐标系中的伸缩变换
(1)设点
P
(
x
,
y
)是平面直角坐标系中的任意一点,在变换
φ
:
的作
用下,点
P
(
x
,
y
)对应到点
P
'(
x
',
y
'),称
φ
为平面直角坐标系中的伸缩变换.
(2)
常见的伸缩变换问题的题型
:
已知变换前的解析式及伸缩变换
,
求变换
后的解析式
;
已知伸缩变换及变换后的解析式
,
求变换前的解析式
;
已知变
换前、后的解析式
,
求伸缩变换
.
2.极坐标系与极坐标
(1)极坐标系的四要素:
极点
、
极轴
、
单位(长度单位、角度单位)
以及
正方
向
.
3.直角坐标与极坐标的互化
(1)两者互化的前提:直角坐标系的原点与极点重合;
x
轴的正半轴与极轴重
合;在两种坐标系中取相同的长度单位.
(2)互化公式:设
M
是平面内的任意一点,它的直角坐标、极坐标分别为(
x
,
y
)
和(
ρ
,
θ
),
则有
且
(3)把直角坐标化为极坐标,求极角时,应注意确定极角
θ
的终边所在的位置,
以便准确地求出
θ
.
曲线
图形
极坐标方程
圆心在极点,半径为
r
的圆
ρ
=
r
(0
≤
θ
<2π)
圆心为(
r
,0),半径为
r
的圆
ρ
=2
r
cos
θ
圆心为
,半径为
r
的圆
ρ
=2
r
sin
θ
(0
≤
θ
<π)
4.简单曲线的极坐标方程
过极点,倾斜角为
α
的直线
θ
=
α
(
ρ
∈R)
和
θ
=π+
α
(
ρ
∈R)
过点(
a
,0)(
a
>0),与极轴垂直的直
线
ρ
cos
θ
=
a
过点
(
a
>0),与极轴平行的
直线
ρ
sin
θ
=
a
(0<
θ
<π)
【知识拓展】
求曲线的极坐标方程的步骤:
(1)建立适当的极坐标系,设
P
(
ρ
,
θ
)是曲线上任意一点;
(2)由曲线上的点所适合的条件,列出曲线上任意一点的极径
ρ
与极角
θ
之间
的关系式;
(3)将列出的关系式进行整理、化简,得出曲线的极坐标方程.
考向突破
考向一 极坐标方程与直角坐标方程间的互化
例1 (2016课标全国Ⅰ,23,10分)在直角坐标系
xOy
中,曲线
C
1
的参数方程为
(
t
为参数,
a
>0).在以坐标原点为极点,
x
轴正半轴为极轴的极坐
标系中,曲线
C
2
:
ρ
=4cos
θ
.
(1)说明
C
1
是哪一种曲线,并将
C
1
的方程化为极坐标方程;
(2)直线
C
3
的极坐标方程为
θ
=
α
0
,其中
α
0
满足tan
α
0
=2,若曲线
C
1
与
C
2
的公共点
都在
C
3
上,求
a
.
解析 (1)消去参数
t
得到
C
1
的普通方程:
x
2
+(
y
-1)
2
=
a
2
.
C
1
是以(0,1)为圆心,
a
为
半径的圆.
(2分)
将
x
=
ρ
cos
θ
,
y
=
ρ
sin
θ
代入
C
1
的普通方程中,得到
C
1
的极坐标方程为
ρ
2
-2
ρ
sin
θ
+1-
a
2
=0.
(4分)
(2)曲线
C
1
,
C
2
的公共点的极坐标满足方程组
(6分)
若
ρ
≠
0,由方程组得16cos
2
θ
-8sin
θ
cos
θ
+1-
a
2
=0,
(8分)
由已知tan
θ
=2,可得16cos
2
θ
-8sin
θ
cos
θ
=0,
从而1-
a
2
=0,
解得
a
=-1(舍去)或
a
=1.
a
=1时,极点也为
C
1
,
C
2
的公共点,在
C
3
上.
所以
a
=1.
(10分)
易错警示 对“互化”过程不熟悉,对参数和极坐标的几何意义理解不
透彻是失分的主要原因.
例2 (2020届湖北沙市中学第二次周考,22)在平面直角坐标系
xOy
中,曲线
C
1
的参数方程为
(
α
为参数),直线
C
2
的直角坐标方程为
y
=
x
.以
坐标原点
O
为极点,
x
轴的正半轴为极轴建立极坐标系.
(1)求曲线
C
1
和直线
C
2
的极坐标方程;
(2)若直线
C
2
与曲线
C
1
交于
A
,
B
两点,求
+
.
考向二 直线与圆的极坐标方程的应用
解析 (1)由曲线
C
1
的参数方程为
(
α
为参数),得曲线
C
1
的普通
方程为(
x
-2)
2
+(
y
-2)
2
=1,即
x
2
+
y
2
-4
x
-4
y
+7=0,则
C
1
的极坐标方程为
ρ
2
-4
ρ
cos
θ
-
4
ρ
sin
θ
+7=0.
由直线
C
2
的直角坐标方程知直线
C
2
过原点,且倾斜角为
,故其极坐标方程
为
θ
=
(
ρ
∈R).
(2)由
得
ρ
2
-(2
+2)
ρ
+7=0,
设
A
,
B
对应的极径分别为
ρ
1
,
ρ
2
,则
ρ
1
+
ρ
2
=2
+2,
ρ
1
ρ
2
=7,
∴
+
=
=
=
.
考向基础
1.直线、圆和椭圆的参数方程和普通方程
2.参数方程化为普通方程的关键是消参数:一要熟练掌握常用技巧(如
整体代换),二要注意变量取值范围的一致性,这一点最易忽视.
普通方程
参数方程
过点
M
(
x
0
,
y
0
),倾斜角
为
α
的直线
y
-
y
0
=tan
α
(
x
-
x
0
)
和
x
=
x
0
(
t
为参数)
圆心在原点,
半径为
r
的圆
x
2
+
y
2
=
r
2
(
θ
为参数)
中心在原点,
焦点在
x
轴
上的椭圆
+
=1(
a
>
b
>0)
(
φ
为参数)
考点二 参数方程
3.根据直线的参数方程的标准式中
t
的几何意义,有如下常用结论:
(1)直线与圆锥曲线相交,交点对应的参数分别为
t
1
,
t
2
,则弦长
l
=|
t
1
-
t
2
|;
(2)定点
M
0
是弦
M
1
M
2
的中点
⇒
t
1
+
t
2
=0
;
(3)设弦
M
1
M
2
的中点为
M
,则点
M
对应的参数值
t
M
=
(由此可求|
M
2
M
|及中
点坐标).
考向一 参数方程与普通方程的互化
考向突破
例3 (2018课标全国Ⅱ,22,10分)[选修4—4:坐标系与参数方程]
在直角坐标系
xOy
中,曲线
C
的参数方程为
(
θ
为参数),直线
l
的参
数方程为
(
t
为参数).
(1)求
C
和
l
的直角坐标方程;
(2)若曲线
C
截直线
l
所得线段的中点坐标为(1,2),求
l
的斜率.
解析 (1)曲线
C
的直角坐标方程为
+
=1.
当cos
α
≠
0时,
l
的直角坐标方程为
y
=tan
α
·
x
+2-tan
α
,当cos
α
=0时,
l
的直角坐
标方程为
x
=1.
(2)将
l
的参数方程代入
C
的直角坐标方程,整理得关于
t
的方程(1+3cos
2
α
)
t
2
+
4(2cos
α
+sin
α
)
t
-8=0.①
因为曲线
C
截直线
l
所得线段的中点(1,2)在
C
内,所以①有两个解,设为
t
1
,
t
2
,
则
t
1
+
t
2
=0.
又由①得
t
1
+
t
2
=-
,故2cos
α
+sin
α
=0,于是直线
l
的斜率
k
=tan
α
=
-2.
注:因为在教材中,参数方程与普通方程对应,极坐标方程与直角坐标方程
对应,所以本题中的“直角坐标方程”更改为“普通方程”更合适.
方法总结 以角
θ
为参数的参数方程,一般利用三角函数的平方关系sin
2
θ
+cos
2
θ
=1化为普通方程;而弦的中点问题常用根与系数的关系或“点差
法”进行整体运算求解.
例4 (2016课标全国Ⅲ,23,10分)在直角坐标系
xOy
中,曲线
C
1
的参数方程为
(
α
为参数).以坐标原点为极点,以
x
轴的正半轴为极轴,建立极坐
标系,曲线
C
2
的极坐标方程为
ρ
sin
=2
.
(1)写出
C
1
的普通方程和
C
2
的直角坐标方程;
(2)设点
P
在
C
1
上,点
Q
在
C
2
上,求|
PQ
|的最小值及此时
P
的直角坐标.
考向二 圆锥曲线的参数方程的应用
解析 (1)
C
1
的普通方程为
+
y
2
=1.
C
2
的直角坐标方程为
x
+
y
-4=0.
(5分)
(2)由题意,可设点
P
的直角坐标为(
cos
α
,sin
α
).因为
C
2
是直线,所以|
PQ
|的
最小值即为
P
到
C
2
的距离
d
(
α
)的最小值,
d
(
α
)=
=
.
(8分)
当且仅当
α
=2
k
π+
(
k
∈Z)时,
d
(
α
)取得最小值,最小值为
,此时
P
的直角坐
标为
.
(10分)
例5 (2020届河南十所名校9月联考,22)在平面直角坐标系
xOy
中,直线
l
的
参数方程为
(
m
为参数),以坐标原点为极点,
x
轴的正半轴为极轴
建立极坐标系,曲线
C
的极坐标方程为
ρ
2
=
,直线
l
与曲线
C
交于
M
,
N
两
点.
(1)求直线
l
的普通方程和曲线
C
的直角坐标方程;
(2)求|
MN
|.
考向三 直线的参数方程的应用
解析 (1)由
(
m
为参数)消去参数
m
,整理可得直线
l
的普通方程为
x
-2
y
-3=0.
(2分)
由曲线
C
的极坐标方程为
ρ
2
=
得
ρ
2
(3-cos 2
θ
)=36,即
ρ
2
(2cos
2
θ
+4sin
2
θ
)=
36,
故曲线
C
的直角坐标方程为
x
2
+2
y
2
=18,即
+
=1.
(5分)
(2)由已知可得直线
l
的斜率
k
=
,设
l
的倾斜角为
α
,则sin
α
=
,cos
α
=
,
所以直线
l
的参数方程可写成
(
t
为参数).
(6分)
将
代入
x
2
+2
y
2
=18,整理可得
t
2
=
,
解得
t
1
=
,
t
2
=-
.
(8分)
由参数的几何意义可得|
MN
|=|
t
1
-
t
2
|=5
.
(10分)
方法1
极坐标方程与直角坐标方程的互化方法
直角坐标方程化为极坐标方程比较容易,只要运用公式
x
=
ρ
cos
θ
及
y
=
ρ
sin
θ
直接代入并化简即可;而极坐标方程化为直角坐标方程则相对困难一些,解
此类问题常通过变形,构造形如
ρ
cos
θ
,
ρ
sin
θ
,
ρ
2
的形式,进行整体代换.其中
方程的两边同乘(或同除以)
ρ
及方程两边平方是常用的变形方法.但对方程
进行变形时,方程必须保持同解,因此应注意对变形过程的检验,以免出现
不等价变形.
方法技巧
例1 (2019课标全国Ⅱ,22,10分)[选修4—4:坐标系与参数方程]
在极坐标系中,
O
为极点,点
M
(
ρ
0
,
θ
0
)(
ρ
0
>0)在曲线
C
:
ρ
=4sin
θ
上,直线
l
过点
A
(4,
0)且与
OM
垂直,垂足为
P
.
(1)当
θ
0
=
时,求
ρ
0
及
l
的极坐标方程;
(2)当
M
在
C
上运动且
P
在线段
OM
上时,求
P
点轨迹的极坐标方程.
解析 本题主要考查了极坐标的概念和求极坐标方程的基本方法,考查了
数学运算能力和数形结合的思想方法,主要体现了直观想象和数学运算的
核心素养.
(1)因为
M
(
ρ
0
,
θ
0
)在
C
上,所以当
θ
0
=
时,
ρ
0
=4sin
=2
.
由已知得|
OP
|=|
OA
|cos
=2.
设
Q
(
ρ
,
θ
)为
l
上除
P
的任意一点.
在Rt△
OPQ
中,
ρ
cos
=|
OP
|=2.
经检验,点
P
在曲线
ρ
cos
=2上.
所以,
l
的极坐标方程为
ρ
cos
=2.
(2)设
P
(
ρ
,
θ
),在Rt△
OAP
中,|
OP
|=|
OA
|cos
θ
=4cos
θ
,即
ρ
=4cos
θ
.
因为
P
在线段
OM
上,且
AP
⊥
OM
,
故
θ
的取值范围是
.
所以,
P
点轨迹的极坐标方程为
ρ
=4cos
θ
,
θ
∈
.
易错警示 忽视了点
P
在线段
OM
上的条件,没有限制
θ
的取值范围而导
致错解.
方法2
参数方程与普通方程的互化方法
1.将参数方程化为普通方程,需要根据参数方程的结构特征选取适当的消
参方法,常见的消参方法有:代入消参法、加减消参法、平方消参法等,对
于含三角函数的参数方程,常利用同角三角函数关系式消参,如sin
2
θ
+cos
2
θ
=1等.
2.将参数方程化为普通方程时,要注意参数的取值范围对普通方程中点的
坐标的影响,注意两种方法的等价性,避免产生增解.
3.将普通方程化为参数方程时,应选择适当的参数,把点(
x
,
y
)的横、纵坐标
分别用参数表示出来,同时注意参数的几何意义和取值范围.
例2 (2019课标全国Ⅰ,22,10分)[选修4—4:坐标系与参数方程]
在直角坐标系
xOy
中,曲线
C
的参数方程为
(
t
为参数).以坐标原点
O
为极点,
x
轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线
l
的极坐标方程为2
ρ
cos
θ
+
ρ
sin
θ
+11=0.
(1)求
C
和
l
的直角坐标方程;
(2)求
C
上的点到
l
距离的最小值.
解析 本题考查了参数方程与普通方程的互化、极坐标方程与直角坐标
方程的互化,通过整体运算消参数和利用三角函数求最值,考查了数学运算
能力和转化的思想方法,核心素养体现了数学运算.
(1)因为-1<
≤
1,且
x
2
+
=
+
=1,
所以
C
的直角坐标方程为
x
2
+
=1(
x
≠
-1).
l
的直角坐标方程为2
x
+
y
+11=0.
(2)由(1)可设
C
的参数方程为
(
α
为参数,-π<
α
<π).
C
上的点到
l
的距
离为
=
.
当
α
=-
时,4cos
+11取得最小值7,故
C
上的点到
l
距离的最小值为
.
注:因为在教材中,参数方程与普通方程对应,极坐标方程与直角坐标方程
对应,所以本题中的“求
C
和
l
的直角坐标方程”更改为“求
C
的普通方程
和
l
的直角坐标方程”更合适.
思路分析 (1)观察、分析参数方程的特征,应通过平方运算消去参数
t
;
直线
l
的极坐标方程只需直接利用互化公式即可求解;(2)由点到直线的距
离公式,利用椭圆的参数方程转化为三角函数求最值.