2018-2019学年吉林省长春外国语学校高一下学期期末数学（理）试题（解析版） 15页

2018-2019 学年吉林省长春外国语学校高一下学期期末数学 （理）试题 一、单选题 1． 是( ) A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角 【答案】C 【解析】由题意，可知 ，所以角 和角 表示终边相同 的角，即可得到答案。 【详解】 由题意，可知 ，所以角 和角 表示终边相同的角， 又由 表示第三象限角，所以 是第三象限角，故选 C。 【点睛】 本题主要考查了象限角的表示和终边相同角的表示，其中解答中熟记终边相同角的表示 是解答本题的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题。 2．不等式 的解集为 ,则 的值为( ) A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据一元二次不等式解集与对应一元二次方程根的关系列方程组，解得 a，c 的值. 【详解】 由题意得 为方程 两根，所以 ，选 B. 【点睛】 一元二次方程的根与对应一元二次不等式解集以及对应二次函数零点的关系，是数形结 合思想，等价转化思想的具体体现，注意转化时的等价性. 2019 2019 360 5 219= × +   2019 219 2019 360 5 219= × +   2019 219 219 2019 2 5 0ax x c+ + > 1 1| 3 2x x < <   ,a c 6, 1a c= = 6, 1a c= − = − 1, 1a c= = 1, 6a c= − = − 1 1 2 3 ， 2 5 0ax x c+ + = 1 1 5 1 1+ , 6, 12 3 2 3 c a ca a = − × = ∴ = − = − 3．已知向量 ，若 ，则 （ ） A．1 B． C．2 D．3 【答案】B 【解析】可求出 ，根据 即可得出 ，进行数 量积的坐标运算即可求出 x． 【详解】 ； ∵ ； ∴ ； 解得 ． 故选 B. 【点睛】 本题考查向量垂直的充要条件，向量坐标的减法和数量积运算，属于基础题． 4．函数 的最小值为( ) A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【解析】直接利用均值不等式得到答案. 【详解】 ， 时等号成立. 故答案选 C 【点睛】 本题考查了均值不等式，属于简单题. 5．化简 （ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】减法先变为加法，利用向量的三角形法则得到答案. 【详解】 (2,3), ( ,4)a b x= = ( )a a b⊥ −   x = 1 2 ( )2 1a b x− = − − ， ( )a a b⊥ −   ( ) 0a a b⋅ − =  ( )2 1a b x− = − − ， ( )a a b⊥ −   ( ) ( )2 2 3 0a a b x⋅ − = − − =  1 2x = 1 6( 0)y x xx = + + > 1 16( 0) 2 6 8y x x xx x = + + > ≥ ⋅ + = 1x = AC AB− =  BC CA CB 0 故答案选 A 【点睛】 本题考查了向量的加减法，属于简单题. 6．若 ，则 等于（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】试题分析： ， . 【考点】三角恒等变形、诱导公式、二倍角公式、同角三角函数关系． 7．如图，网格纸上小正方形的边长为 ，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何 体的体积为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 ， ， ． 选 B. 点睛:空间几何体体积问题的常见类型及解题策略 (1)若所给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行 求解． AC AB AC BCBA− = + =     sin cos 1 sin cos 2 α α α α + =− tan 2α 3 4 − 3 4 4 3 − 4 3 sin cos tan 1 1 ,tan 3sin cos tan 1 2 α α α αα α α + += = = −− − 2 2tan 6 3tan 2 1 tan 8 4 αα α −= = =− − 1 6 9 12 18 1 3V Sh= 1 1 6 3 33 2 = × × × × 9= (2)若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法、分割法、补形法等 方法进行求解． (3)若以三视图的形式给出几何体，则应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条 件求解． 8．在等比数列 中， 成等差数列，则公比 等于（ ） A．1 或 2 B．−1 或 −2 C．1 或 −2 D．−1 或 2 【答案】C 【解析】设出基本量，利用等比数列的通项公式，再利用等差数列的中项关系，即可列 出相应方程求解 【详解】 等比数列 中，设首项为 ，公比为 ， 成等差数列， ，即 ， 或 答案选 C 【点睛】 本题考查等差数列和等比数列求基本量的问题，属于基础题 9．在 中，角 所对的边分别为 己知 ,则 （ ） A．45° B．135° C．45°或 135° D．以上都不对 【答案】A 【解析】利用正弦定理得到答案，再根据内角和为 排除一个答案. 【详解】 己知 或 时，内角和超过 ，排除 故答案为 A 【点睛】 { }na 5 4 6、 、a a a q { }na 1a q 5 4 6, ,a a a 4 5 62a a a∴ = + 3 4 5 1 1 12a q a q a q= + ( 2)( 1) 0q q∴ + − = 2q∴ = − 1q = ABC∆ , ,A B C , ,a b c 60 , 4 3 4 2A a b= = = ， B = 180° 60 , 4 3 4 2A a b= = = ， 4 3 4 2 2sin 45sin sin sin 23 2 a b B BA B B = ⇒ = ⇒ = ⇒ ∠ = ° 135B∠ = ° 135B∠ = ° 180° 本题考查了正弦定理，没有考虑内角和是容易犯的一个错误. 10．已知等差数列 中， 则 （　） A．10 B．16 C．20 D．24 【答案】C 【解析】根据等差数列性质得到 ，再计算得到答案. 【详解】 已知等差数列 中， 故答案选 C 【点睛】 本题考查了等差数列的性质，是数列的常考题型. 11．为了得到函数 的图象，只需把函数 的图象上所有的点 （ ） A．向左平移 个单位长度 B．向右平移 个单位长度 C．向左平移 个单位长度 D．向右平移 个单位长度 【答案】D 【解析】通过变形 ，通过“左加右减”即可得到 答案. 【详解】 根据题意 ，故只需把函数 的图象 上所有的点向右平移 个单位长度可得到函数 的图象，故答案为 D. 【点睛】 本题主要考查三角函数的平移变换，难度不大. 12．等比数列 中， ， ，则 的值为（ ） A. B. C.128 D. 或 { }na 4 6 8a a+ = 3 4 5 6 7a a a a a+ + + + = 4 6 58 2a a a+ = = { }na 4 6 5 58 2 4a a a a+ = = ⇒ = 3 4 5 6 7 55 20a a a a a a+ + + + = = sin 2 6y x π = −   sin 2y x= 6 π 6 π 12 π 12 π sin 2 sin 2(( ) )6 12x xf x π π   − = −     =  sin 2 sin 2(( ) )6 12x xf x π π   − = −     =  sin2y x= 12 π sin 2 6y x π = −   【答案】D 【解析】根据等比数列的通项公式得到公比，进而得到通项. 【详解】 设公比为 ，则 ，∴ ， ∴ 或 ，∴ 或 ， 即 或 . 故选 D. 【点睛】 本题考查了等比数列通项公式的应用，属于简单题. 13．若实数 x，y 满足条件 ，目标函数 ，则 z 的最大值为 (　) A． B．1 C．2 D．0 【答案】C 【解析】画出可行域和目标函数，根据平移得到最大值. 【详解】 若实数 x，y 满足条件 ，目标函数 如图： 2 5 0 2 4 0 0 1 x y x y x y + − ≤  + − ≤ ≥  ≥ 2z x y= − 5 2 2 5 0 2 4 0 0 1 x y x y x y + − ≤  + − ≤ ≥  ≥ 2z x y= − 当 时函数取最大值为 故答案选 C 【点睛】 求线性目标函数 的最值: 当 时，直线过可行域且在 轴上截距最大时， 值最大，在 轴截距最小时，z 值 最小； 当 时，直线过可行域且在 轴上截距最大时， 值最小，在 轴上截距最小时， 值最大. 14．设 且 ，则下列不等式成立的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 项，由 得到 ，则 ，故 项正确； 项，当 时，该不等式不成立，故 项错误； 项，当 ， 时， ，即不等式 不成立，故 项错误； 项，当 ， 时， ，即不等式 不成立，故 项错误． 综上所述，故选 ． 15．圆锥的高 和底面半径 之比 ，且圆锥的体积 ，则圆锥的表 面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据圆锥的体积求出底面圆的半径 和高 ,求出母线长，即可计算圆锥的表面 积． 【详解】 圆锥的高 和底面半径 之比 ， ∴ ， 又圆锥的体积 ， 即 ， 3 , 12x y= = 2 ( 0)z ax by ab= + ≠ 0b > y z y 0b < y z y z , ,a b c∈R a b> c a c b− < − 2 2ac bc> 1 1 a b < 1b a < A a b> a b− < − c a c b− < − A B 0c = B C 1a = 2b = − 11 2 > − 1 1 a b < C D 1a = − 2b = − 2 1b a = > 1b a < D A h r : 2:1h r = 18V π= 18 5π 9(1 2 5)π+ 9 5π 9(1 5)π+ r h h r : 2:1h r = 2h r= 18V π= 3 21 2 183 3 rr h ππ π= = 解得 ； ∴ ， 母线长为 ， 则圆锥的表面积为 ． 故选：D． 【点睛】 本题考查圆锥的体积和表面积公式，考查计算能力，属于基础题. 二、填空题 16．已知函数 的部分图象如图所示，则 的解析式是__________． 【答案】 【解析】分析：首先根据函数图象得函数的最大值为 2，得到 ，然后算出函数的 周期 ，利用周期的公式，得到 ，最后将点 代入，得： 结合 ，可得 所以 的解析式是 ． 3r = 6h = 2 2 2 26 3 3 5l h r= + = + = 2 23 3 5 3 9(1 5)S rl rπ π π π π= + = ⋅ ⋅ + ⋅ = + ( ) ( )sinf x A x= +ω ϕ 0, 0, 2A πω ϕ > > <   ( )f x ( ) 2sin 2 3f x x π = −   2A = T π= 2ω = 5 212 （ ，）π 52 2 2 12sin π ϕ= × +（ ）， 2 πϕ < 6 ，πϕ = − ( )f x ( ) 2sin 2 3f x x π = −   详解：根据函数图象得函数的最大值为 2，得 ，又∵函数的周期 ，利用周期的公式，可得 ， 将点 代入，得： 结合 ，可得 所以 的解析式是 ． 点睛：本题给出了函数 y=Asin（ωx+φ）的部分图象，要确定其解析式，着重考查了三 角函数基本概念和函数 y=Asin（ωx+φ）的图象与性质的知识点，属于中档题． 17．已知向量 夹角为 ，且 ，则 __________． 【答案】 【解析】试题分析： 的夹角 ， ， ， ， . 【考点】向量的运算. 【思路点晴】平面向量的数量积计算问题，往往有两种形式，一是利用数量积的定义式， 二是利用数量积的坐标运算公式，涉及几何图形的问题，先建立适当的平面直角坐标系， 可起到化繁为简的妙用. 利用向量夹角公式、模公式及向量垂直的充要条件，可将有关 角度问题、线段长问题及垂直问题转化为向量的数量积来解决．列出方程组求解未知数. 18．若 ，且 ，则 的最小值为_______. 【答案】 【解析】将 变换为 ，展开利用均值不等式得到答案. 【详解】 若 ，且 ，则 时等号成立. 故答案为 2A = 3 5 ,4 12 3T T π π π = − − ∴ =   2ω = 5 212 （ ，）π 52 2 2 12sin π ϕ= × +（ ）， 2 πϕ < 3 πϕ = − ， ( )f x ( ) 2sin 2 3f x x π = −   ,a b  45° 1, 2 10a a b= − =   b = 3 2 0, 0m n> > 2m n+ = 1 4 m n + 9 2 1 4 m n + 1 4 ( )( ) 2 m n m n ++ 0, 0m n> > 2m n+ = 41 41 4 1 4 ( ) 2 4 5 9( ) 2 2 2 2 n m m n m n m n m n + + ++ ++ = + = ≥ = 2 4,3 3m n= = 9 2 【点睛】 本题考查了均值不等式，“1”的代换是解题的关键. 19．如图，正方体 的棱长为 1， 为 中点，连接 ， 则异面直线 和 所成角的余弦值为_____． 【答案】 【解析】连接 CD1，CM，由四边形 A1BCD1 为平行四边形得 A1B∥CD1，即∠CD1M 为异 面直线 A1B 和 D1M 所成角，再由已知求△CD1M 的三边长，由余弦定理求解即可． 【详解】 如图， 连接 ，由 ，可得四边形 为平行四边形， 则 ，∴ 为异面直线 和 所成角， 由正方体 的棱长为 1， 为 中点， 得 ， ． 在 中，由余弦定理可得， ． ∴异面直线 和 所成角的余弦值为 ． 1 1 1 1ABCD A B C D− M 1 1B C 1 1,A B D M 1A B 1D M 10 5 1,CD CM 1 1 1 1/ / ,A D BC A D BC= 1 1A BCD 1 1/ /A B CD 1CD M∠ 1A B 1D M 1 1 1 1ABCD A B C D− M 1 1B C 1 5 2D M MC= = 1 2CD = 1CMD∆ 1 5 52 104 4cos 552 22 CD M + − ∠ = = × × 1A B 1D M 10 5 故答案为： ． 【点睛】 本题考查异面直线所成角的求法，异面直线所成的角常用方法有：将异面直线平移到同 一平面中去，达到立体几何平面化的目的；或者建立坐标系，通过求直线的方向向量得 到直线夹角或其补角. 三、解答题 20．已知数列 的前 n 项和为 ，且 ，求数列 的通项公式 ． 【答案】 【解析】利用公式 ，计算 的通项公式，再验证 时的情况. 【详解】 当 时， ； 当 时， 不满足上式． ∴ 【点睛】 本题考查了利用 求数列通项公式，忽略 的情况是容易犯的错误. 21．在 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，已知 ， ，角 为锐角， 的面积为 . （1）求角 的大小； （2）求 的值. 【答案】（1） ；（2）7. 【解析】分析：（1）由三角形面积公式和已知条件求得 sinA 的值，进而求得 A；（2） 利用余弦定理公式和（1）中求得的 A 求得 a． 详解：（1）∵ ， 10 5 { }na nS 23 2 1nS n n= + − { }na na 4, 1 6 1, 2n na n n ==  − ≥ 1n n na S S= －－ { }na 1n = 1n = 11 4a S= = 2n ≥ 2 2 1 3 2 1 3 1( ) 1 6)1 1(2n n na S S n n n n n= = =－－ ＋ － － － － － ＋ － 1 4a = 4, 1 6 1, 2n na n n ==  − ≥ 1n n na S S= －－ 1n = ABC∆ A B C a b c 3b = 8c = A ABC∆ 6 3 A a 3 π 1 sin2ABCS bc A∆ = 1 3 8 sin 6 32 A= × × × = ∴ ， ∵ 为锐角， ∴ ； （2）由余弦定理得： . 点睛：本题主要考查正弦定理边角互化及余弦定理的应用与特殊角的三角函数，属于简 单题. 对余弦定理一定要熟记两种形式：（1） ；（2） ，同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、 三角函数有关的问题时，还需要记住 等特殊角的三角函数值，以便在解题 中直接应用. 22．已知 ． （1）求函数 的最小正周期和对称轴方程； （2）若 ，求 的值域． 【答案】（1）对称轴为 ，最小正周期 ；（2） 【解析】(1)利用正余弦的二倍角公式和辅助角公式将函数解析式进行化简得到 ，由周期公式和对称轴公式可得答案；(2)由 x 的范围得到 ，由正弦函数的性质即可得到值域. 【详解】 （1） 令 ，则 的对称轴为 ，最小正周期 ； 3sin 2A = A 3A π= 2 2 2 cosa b c bc A= + − 19 64 2 3 8 72 = + − × × × = 2 2 2 2 cosa b c bc A= + − 2 2 2 cos 2 b c aA bc + −= 30 ,45 ,60o o o ( )2 2( ) 2sin cos 3 cos sinf x x x x x= + − ( )y f x= 50, 12x π ∈   ( )y f x= ( )2 12 kx k Z π π= + ∈ T π= ( ) [ 1,2]f x ∈ − ( ) 2sin 2 3f x x π = +   72x ,3 3 6 π π π + ∈   ( )2 2( ) 2sin cos 3 cos sinf x x x x x= + − sin 2 3 cos2 2sin 2 3x x x π = + = +   2x k (k Z)3 2 π ππ+ = + ∈ ( )f x ( )2 12 kx k Z π π= + ∈ T π= （2）当 时， ， 因为 在 单调递增，在 单调递减， 在 取最大值，在 取最小值， 所以 ， 所以 ． 【点睛】 本题考查正弦函数图像的性质，考查周期性，对称性，函数值域的求法，考查二倍角公 式以及辅助角公式的应用，属于基础题. 23．如图，在四棱锥 中，底面 是正方形， 底面 ，点 是 的中点，点 是 和 的交点． (1)证明： 平面 ； (2)求三棱锥 的体积． 【答案】(1) 证明见解析；（2） . 【解析】(1)在 中，利用中位线性质得到 ，证明 平面 . (2)直接利用体积公式得到答案. 【详解】 在 中，点 是 的中点，底面 是正方形 点 为 中点 根据中位线性质得到 ， 平面 ，故 平面 . (2) 底面 【点睛】 本题考查了线面平行，三棱锥体积，意在考查学生的计算能力和空间想象能力. 50, 12x π ∈   72x ,3 3 6 π π π + ∈   siny x= ,3 2 π π     7,2 6 π π     2x π= 7 6x π= 1sin 2 ,13 2x π   + ∈ −       ( ) [ 1,2]f x ∈ − P ABCD− ABCD PD ⊥ , 2ABCD PD AD= = E PA O AC BD / /EO PCD P ABC− 4 3V = PAC∆ EO PC / /EO PCD PAC∆ E PA ABCD ⇒ O AC EO PC PC ⊆ PCD / /EO PCD PD ⊥ , 2ABCD PD AD= = 1 1 42 23 3 3P ABC ABCV S PD− ∆= × × = × × = 24．等差数列 中， . (1)求数列 的通项公式； (2)设 ,求数列 的前 n 项和 . 【答案】(1) ；（2） . 【解析】(1)根据等差数列公式得到方程组，计算得到答案. (2)先求出 ，再利用裂项求和求得 . 【详解】 (1)等差数列 中， ， 解得： (2) 数列 的前 n 项和 . 【点睛】 本题考查了数列的通项公式，裂项求和，意在考查学生对于数列公式的灵活运用及计算 能力. 25．已知 ， ， ，且 . （1）若 ，求 的值； （2）设 ， ，若 的最大值为 ，求实数 的值. 【答案】(1)0 (2) 【解析】（1）通过 可以算出 ，移 项、两边平方即可算出结果.（2）通过向量的运算，解出 ，再 通过最大值根的分布，求出 的值. 【详解】 （1）通过 可以算出 ， 即 故答案为 0. { }na 5 17 83, 2a a a= = { }na ( )* 1 1 n n n b n Na a+ = ∈ { }nb nS 1 2n na += 2 2n ns n = + { }nb nS { }na 5 13 4 3a a d= ⇒ + = 17 8 1 12 16 2( 7 )a a a d a d= ⇒ + = + 1 1 11, 2 2n na d a += = ⇒ = 1 1 1 4 1 14( )( 2)(2 1 2 2 1) 1 2n n n b a a n n n nn n+ = = = = −+ + ++ ++ ⋅ { }nb 1 1 1 1 1 1 1 1 24( ) 4( )1 2 1 2 3 2 2 2n nS n n n n n n − + − + − = − =+ + += + + (1,sin )a x= (1,cos )b x= (0,1)e = (cos sin ) [1, 2]x x− ∈ ( ) / /a e b+   sin cosx x ( ) ( )f x a b me a b= ⋅ + ⋅ −     m R∈ ( )f x 1 2 − m 3 2 ( ) / /a e b+   ( )(1,sin 1) / / 1,cos cos sin 1x x x x+ ⇒ = + ( ) ( )f x a b me a b= ⋅ + ⋅ −     m ( ) / /a e b+   ( )(1,sin 1) / / 1,cos cos sin 1x x x x+ ⇒ = + 2cos sin 1 (cos sin ) 1 1 2sin cos 1 sin cos 0x x x x x x x x− = ⇒ − = ⇒ − = ⇒ = （2） ，设 ， ， ， 即 的最大值为 ； ①当 时， （满足条 件）； ②当 时， （舍）； ③当 时， （舍） 故答案为 【点睛】 当式子中同时出现 时，常常可以利用换元法，把 用 进行表示，但计算过程中也要注意自变量的取 值范围；二次函数最值一定要注意对称轴是否在规定区间范围内，再讨论最后的结果. ( ) 1 sin cos (sin cos )f x x x m x x= + + − ( )cos sin 1, 2x x t t  − = ∈  2 2 11 2sin cos sin cos 2 tx x t x x −− = ⇒ = 2 21 1 3( ) ( ) 1 2 2 2 tg t f x mt t mt −= = + − = − − + 21 3( ) , 1, 22 2g t t mt t  = − − + ∈  1 2 − 1 1m m− ≤ ⇒ ≥ − max 1 3 1 3( ) (1) 2 2 2 2g x g m m= = − − + = − ⇒ = 1 2 2 1m m< − ≤ ⇒ − ≤ < − 2 2 2 max 1 3 1 1( ) ( ) 22 2 2 2g x g m m m m= − = − + + = − ⇒ = − 2 2m m− > ⇒ < − max 1 3 1 2( ) ( 2) 2 22 2 2 2g x g m m= = − × − + = − ⇒ = 3 2m = sin cos ,sin cos ,sin cosx x x x x x+ − sin cosx x sin cos ,sin cosx x x x+ −