【数学】2018届一轮复习苏教版（理）矩阵与变换教案（江苏专用） 12页

第五章　矩阵与变换 第 71 课 矩阵与变换 [最新考纲] 要求 内容 A B C 矩阵的概念 √ 二阶矩阵与平面向量 √ 常见的平面变换 √ 变换的复合与矩阵的乘法 √ 二阶逆矩阵 √ 二阶矩阵的特征值与特征向量 √ 二阶矩阵的简单应用 √ 1．乘法规则 (1)行矩阵[a11　a12]与列矩阵[b11 b21 ]的乘法规则： [a11　a12][b11 b21 ]＝a11×b11＋a12×b21. (2)二阶矩阵[a11　a12 a21　a22]与列向量[x0 y0 ]的乘法规则： [a11　a12 a21　a22][x0 y0 ]＝[a11 × x0＋a12 × y0 a21 × x0＋a22 × y0]. (3)两个二阶矩阵相乘的结果仍然是一个矩阵，其乘法法则如下： [a11　a12 a21　a22][b11　b12 b21　b22] ＝[a11 × b11＋a12 × b21　a11 × b12＋a12 × b22 a21 × b11＋a22 × b21　a21 × b12＋a22 × b22]. (4)两个二阶矩阵的乘法满足结合律，但不满足交换律和消去律． 即(AB)C＝A(BC)， AB≠BA， 由 AB＝AC 不一定能推出 B＝C. 一般地，两个矩阵只有当前一个矩阵的列数与后一个矩阵的行数相等时才能 进行乘法运算． 2．常见的平面变换 (1)恒等变换：如[1　0 0　1 ]； (2)伸压变换：如[1　0 0　1 2 ]； (3)反射变换：如[1　　0 0　－1]； (4)旋转变换：如[cos θ　－sin θ sin θ　　cos θ ]，其中 θ 为旋转角度； (5)投影变换：如[1　0 0　0 ]，[1　0 1　0 ]； (6)切变变换：如[1　k 0　1 ](k∈R，且 k≠0)． 3．逆变换与逆矩阵 (1)对于二阶矩阵 A、B，若有 AB＝BA＝E，则称 A 是可逆的，B 称为 A 的 逆矩阵； (2)若二阶矩阵 A、B 均存在逆矩阵，则 AB 也存在逆矩阵，且(AB)－1＝B－1A －1. 4．特征值与特征向量 设 A 是一个二阶矩阵，如果对于实数 λ，存在一个非零向量 α，使 Aα＝λα， 那么 λ 称为 A 的一个特征值，而 α 称为 A 的属于特征值 λ 的一个特征向量． 5．特征多项式 设 A＝[a　b c　d ]是一个二阶矩阵，λ∈R，我们把行列式 f(λ)＝|λ－a　－b －c　λ－d|＝λ2－(a ＋d)λ＋ad－bc，称为 A 的特征多项式． 1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)每一个二阶矩阵都可逆．(　　) (2)每一个二阶矩阵都有特征值及特征向量．(　　) (3)把每个点的纵坐标变为原来的 2 倍，横坐标不变的线性变换对应的二阶 矩阵为[2　0 0　1 ].(　　) (4)对于矩阵 A，B 来说 AB＝BA.(　　) [答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)× 2．函数 y＝x2 在矩阵 M＝[1　0 0　1 4 ]变换作用下的解析式为________． y＝1 4x2　[∵[1　0 0　1 4 ][x y ]＝[x 1 4y ]＝[x′ y′ ]， ∴Error!代入 y＝x2 得 y′＝1 4x′2，即 y＝1 4x2.] 3．(教材改编)二阶矩阵 A＝[1　a 3　4 ]对应的变换将点(－2,1)变换成(0，b)，则 a＝________，b＝________. 2　－2　[由[1　a 3　4 ][－2 1 ]＝[0 b ]，得Error!即Error!] 4．设矩阵 A＝[1 2 　　3 2 3 2 　－1 2]，则矩阵 A 的特征向量为________． [ 3 1 ]，[1 － 3]　[f(λ)＝|λ－1 2 　－ 3 2 － 3 2 　λ＋1 2|＝λ2－1＝0，得 λ1＝1，λ2＝－1. 当 λ＝1 时，得特征向量 a1＝[ 3 1 ]； 当 λ＝－1 时，得特征向量 a2＝[1 － 3].] 5．已知矩阵 A＝[1　　－2 －2　－1]，B＝[5 －15]，若 AX＝B，则矩阵 X＝________. [7 1 ]　[设 X＝[a b ]，由[1　　－2 －2　－1][a b ]＝[5 －15]，得Error! 解得Error!∴X＝[7 1 ].] 二阶矩阵与线性变换 　二阶矩阵 M 对应的变换将点(1，－1)与(－2,1)分别变成点(－1，－1) 与(0，－2)． (1)求矩阵 M； (2)设直线 l 在变换 M 作用下得到了直线 m：x－y＝4.求直线 l 的方程. 【导学号：62172370】 [解]　(1)设二阶矩阵 M＝[a　b c　d ]. 依题意[a　b c　d ][1 －1 ]＝[－1 －1 ]，[a　b c　d ][－2 1 ]＝[0 －2 ]， 也就是[a－b c－d]＝[－1 －1 ]，[－2a＋b －2c＋d]＝[0 －2 ]， ∴Error!且Error! 解得 a＝1，b＝2，c＝3，d＝4，因此所求矩阵 M＝[1　2 3　4 ]. (2)∵M＝[1　2 3　4 ]，∴坐标变换公式为Error! ∵(x′，y′)是直线 m：x－y＝4 上的点． ∴(x＋2y)－(3x＋4y)＝4， 即 x＋y＋2＝0，∴直线 l 的方程为 x＋y＋2＝0. [规律方法]　1.二阶矩阵与线性变换的题目往往和矩阵的基本运算相结合命 题．包括二阶矩阵的乘法，矩阵与向量的乘法等． 2．(1)二阶矩阵与线性变换涉及变换矩阵、变换前的曲线方程、变换后的曲 线方程三个要素．知其二可求第三个．(2)在解决通过矩阵进行平面曲线的变换 问题时，要把变换前后的变量区别清楚，防止混淆． [变式训练 1]　(2017·南通二调)在平面直角坐标系 xOy 中，设点 A(－1,2)在 矩阵 M＝[－1　0 0　1 ]对应的变换作用下得到点 A′，将点 B(3,4)绕点 A′逆时针旋转 90°得到点 B′，求点 B′的坐标． [解]　设 B′(x，y)， 依题意，由[－1　0 0　1 ][－1 2 ]＝[1 2 ]，得 A′(1,2)． 则A′B → ＝(2,2)，A′B′→ ＝(x－1，y－2)． 记旋转矩阵 N＝[0　－1 1　　0 ]， 则[0　－1 1　　0 ][2 2 ]＝[x－1 y－2]，即[－2 2 ]＝[x－1 y－2]，解得Error!所以点 B′的坐标 为(－1,4). 求逆矩阵 　已知矩阵 A＝[1　－2 3　－7]. (1)求逆矩阵 A－1； (2)若二阶矩阵 X 满足 AX＝[3　0 1　5 ]，试求矩阵 X. [解]　(1)∵det(A)＝|1　－2 3　－7|＝－1≠0. ∴矩阵 A 是可逆的， ∴A－1＝[－7 －1 　2 －1 －3 －1 　1 －1]＝[7　－2 3　－1]. (2)∵AX＝[3　0 1　5 ]，∴A－1AX＝A－1[3　0 1　5 ]， ∴X＝[7　－2 3　－1][3　0 1　5 ]＝[19　－10 8　　－5 ]. [规律方法]　求逆矩阵的方法： (1)待定系数法 设 A 是一个二阶可逆矩阵[a　b c　d ]，AB＝BA＝E； (2)公式法 A＝|a　b c　d |＝ad－bc≠0，有 A－1＝[d A 　－b A －c A 　a A]. [变式训练 2]　已知矩阵 A＝[－1　0 0　2 ]，B＝[1　2 0　6 ]，求矩阵 A－1B. [解]　设矩阵 A 的逆矩阵为[a　b c　d ]， 则[－1　0 0　2 ][a　b c　d ]＝[1　0 0　1 ]， 即[－a　－b 2c　 2d ]＝[1　0 0　1 ]， 故 a＝－1，b＝0，c＝0，d＝1 2 ， 从而 A 的逆矩阵为 A－1＝[－1　0 0　1 2 ]， 所以 A－1B＝[－1　0 0　1 2 ][1　2 0　6 ]＝[－1　－2 0　　3 ]. 特征值与特征向量 　(2017·苏州模拟)求矩阵 M＝[－1　4 2　6 ]的特征值和特征向量. 【导学号：62172371】 [解]　特征多项式 f(λ)＝|λ＋1　－4 －2　λ－6|＝(λ＋1)(λ－6)－8＝λ2－5λ－14＝(λ－7)(λ ＋2)，由 f(λ)＝0，解得 λ1＝7，λ2＝－2. 将 λ1＝7 代入特征方程组，得Error!即 y＝2x，可取[1 2 ]为属于特征值 λ1＝ 7 的一个特征向量， 同理，λ2＝－2 时，特征方程组是Error!即 x＝－4y，所以可取[4 －1 ]为属于 特征值 λ2＝－2 的一个特征向量． 综上所述，矩阵 M＝[－1　4 2　6 ]有两个特征值 λ1＝7，λ2＝－2； 属于 λ1＝7 的一个特征向量为[1 2 ]，属于 λ2＝－2 的一个特征向量为[4 －1 ]. [规律方法]　已知 A＝[a　b c　d ]，求特征值和特征向量的步骤： (1)令 f(λ)＝|λ－a　－b －c　λ－d|＝(λ－a)(λ－d)－bc＝0，求出特征值 λ； (2)列方程组Error! (3)赋值法求特征向量，一般取 x＝1 或者 y＝1，写出相应的向量． [变式训练 3]　(2015·江苏高考)已知 x，y∈R，向量 α＝ [1 －1 ]是矩阵 A＝ [x　1 y　0 ]的属于特征值－2 的一个特征向量，求矩阵 A 以及它的另一个特征值． [解]　由已知，得 Aα＝－2α， 即[x　1 y　0 ][1 －1 ]＝[x－1 y ]＝[－2 2 ]， 则Error!即Error! 所以矩阵 A＝[－1　1 2　　0 ]. 从而矩阵 A 的特征多项式 f(λ)＝(λ＋2)(λ－1)， 所以矩阵 A 的另一个特征值为 1. [思想与方法] 1．二阶矩阵与平面列向量乘法：[a　c b　d ][x y ]＝[ax＋cy bx＋dy]，这是所有变换的 基础． 2．证明两个矩阵互为逆矩阵时，切记从两个方向进行，即 AB＝E＝BA. 3．二元一次方程组Error!相应的矩阵方程为 AX＝B，其中 A＝[a1　b1 a2　b2]为系 数矩阵，X 为未知数向量[x y ]，B＝[c1 c2 ]为常数向量． 4．若某一向量在矩阵交换作用下的像与原像共线，则称这个向量是属于该 变换矩阵的特征向量，相应共线系数为属于该特征向量的特征值． [易错与防范] 1．两个矩阵相等，不但要求元素相同，而且要求相同元素的位置也一样． 2．对于矩阵的乘法运算不满足消去律，即由 AC＝BC 不一定得到 A＝B. 3．矩阵 A 的属于特征值 λ 的特征向量不唯一，其特征值 λ 的特征向量共 线． 课时分层训练(十五) A 组　基础达标 (建议用时：30 分钟) 1．已知矩阵 A＝[－1　2 1　x ]，B＝[1　1 2 －1]，向量 α＝[2 y ]，若 Aα＝Bα，求实 数 x，y 的值． [解]　Aα＝[2y－2 2＋xy]，Bα＝[2＋y 4－y]， 由 Aα＝Bα 得Error!解得 x＝－1 2 ，y＝4. 2．(2017·如皋中学模拟)在平面直角坐标系 xOy 中，设点 P(x,5)在矩阵 M＝ [1　2 3　4 ]对应的变换下得到点 Q(y－2，y)，求 M－1[x y ]. 【导学号：62172372】 [解]　依题意，[1　2 3　4 ][x 5 ]＝[y－2 y ]，即Error!解得Error!，由逆矩阵公式 知，矩阵 M＝[1　2 3　4 ]的逆矩阵 M－1＝[－2　　　1 3 2 　－1 2 ]， 所以 M－1[x y ]＝[－2　　1 3 2 　－1 2 ][－4 8 ]＝[16 －10]. 3．(2017·泰州二中月考)若点 A(2,2)在矩阵 M＝[cos α　－sin α sin α　　cos α ]对应变换的作 用下得到的点为 B(－2,2)，求矩阵 M 的逆矩阵． [解]　由题意，得[cos α　－sin α sin α　　cos α ][2 2 ]＝[－2 2 ]， ∴Error! ∴sin α＝1，cos α＝0， ∴M＝[0　－1 1　　0 ]. ∴|0　－1 1　　0 |＝1≠0，∴M－1＝[0　1 －1　0]. 4．已知矩阵 A＝[1　－1 a　　1 ]，其中 a∈R，若点 P(1,1)在矩阵 A 的变换下得到点 P′(0，－3)． (1)求实数 a 的值； (2)求矩阵 A 的特征值及特征向量. 【导学号：62172373】 [解]　(1)由[1　－1 a　　1 ][1 1 ]＝[0 －3 ]，得 a＋1＝－3，∴a＝－4. (2)由(1)知 A＝[1　－1 －4　　1]， 则矩阵 A 的特征多项式为 f(x)＝|λ－1　1 4　λ－1|＝(λ－1)2－4＝λ2－2λ－3， 令 f(λ)＝0，得矩阵 A 的特征值为－1 或 3. 当 λ＝－1 时二元一次方程Error!⇒y＝2x. ∴矩阵 A 的属于特征值－1 的一个特征向量为[1 2 ]. 当 λ＝3 时，二元一次方程Error!⇒2x＋y＝0. ∴矩阵 A 的属于特征值 3 的一个特征向量为[1 －2 ]. B 组　能力提升 (建议用时：15 分钟) 1．(2017·苏州市期中)已知二阶矩阵 M 有特征值 λ＝8 及对应的一个特征向 量 e1＝[1 1 ]，并且矩阵 M 将点(－1,3)变换为(0,8)． (1)求矩阵 M； (2)求曲线 x＋3y－2＝0 在 M 的作用下的新曲线方程． [解]　(1)设 M＝[a　b c　d ]，由[a　b c　d ][1 1 ]＝8 [1 1 ]及[a　b c　d ][－1 3 ]＝[0 8 ]， 得Error!解得Error!∴M＝[6　2 4　4 ]. (2)设原曲线上任一点 P(x，y)在 M 作用下对应点 P′(x′，y′)，则[x′ y′ ]＝ [6　2 4　4 ][x y ]，即Error!解得Error! 代入 x＋3y－2＝0 得 x′－2y′＋4＝0， 即曲线 x＋3y－2＝0 在 M 的作用下的新曲线方程为 x－2y＋4＝0. 2．(2016·南京盐城一模)设矩阵 M＝ [a　0 2　1 ]的一个特征值为 2，若曲线 C 在 矩阵 M 变换下的方程为 x2＋y2＝1，求曲线 C 的方程． [解]　由题意，矩阵 M 的特征多项式 f(λ)＝(λ－a)(λ－1)， 因矩阵 M 有一个特征值为 2，f(2)＝0，所以 a＝2. 所以 M＝[x y ]＝[2　0 2　1 ][x y ]＝[x′ y′ ]，即Error! 代入方程 x2＋y2＝1，得(2x)2＋(2x＋y)2＝1，即曲线 C 的方程为 8x2＋4xy＋y2 ＝1. 3．(2016·苏北三市三模)已知矩阵 A＝[1　2 －1　4]，向量 α＝[5 3 ]，计算 A5α. [解]　因为 f(λ)＝|λ－1　－2 1　　　λ－4|＝λ2－5λ＋6 ，由 f(λ)＝0，得 λ＝2 或 λ＝3. 当 λ＝2 时，对应的一个特征向量为 α1＝[2 1 ]； 当 λ＝3 时，对应的一个特征向量为 α2＝[1 1 ]. 设[5 3 ]＝m[2 1 ]＋n[1 1 ]，解得Error! 所以 A5α＝2×25[2 1 ]＋1×35[1 1 ]＝[371 307 ]. 4．已知矩阵 A＝[1　1 2　3 ]，B＝[1　2 2　3 ] (1)求矩阵 A 的逆矩阵； (2)求直线 x＋y－1＝0 在矩阵 A－1B 对应的线性变换作用下所得的曲线的方 程． [解]　(1)设 A－1＝[a　b c　d ]， ∵A·A－1＝[1　1 2　3 ]·[a　b c　d ]＝[1　0 0　1 ]， ∴Error! ∴Error!∴A－1＝[3　－1 －2　　1]. (2)A－1B＝[3　－1 －2　 1][1　2 2　3 ]＝[1　 3 0　－1]， 设直线 x＋y－1＝0 上任意一点 P(x，y)在矩阵 A－1B 对应的线性变换作用下 得 P′(x′，y′)， 则[1　 3 0　－1][x y ]＝[x′ y′ ]， ∴Error!即Error! 代入 x＋y－1＝0 得 x′＋3y′＋(－y′)－1＝0， 可化为：x′＋2y′－1＝0， 即 x＋2y－1＝0 为所求的曲线方程．