数学理卷·2018届河北省邢台一中高二上学期第三次月考（2016-12） 10页

河北省邢台市第一中学 2016-2017 学年高二上学期第三次月考 数学理 第Ⅰ卷（共 60 分） 一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项 中，只有一项 是符合题目要求的. 1.“ 0m  ， 0n  ”是“方程 2 2 1mx ny  表示椭圆”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2.方程 2 2( 1) ( 1)( )mx m y m m m R     表示的曲线不可能是（ ） A． 直线 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 3.有下列四个命题：①若“ 1xy  ，则 ,x y 互为倒数”的逆命题；②“面积相等的三角形全 等”的否命题；③若“ 1m  ，则 2 2 0x x m   有实数解”的逆否命题；④“若 A B B∩ ， 则 A B ”的逆否命题.其中真命题为（ ） A．①② B．②③ C．①④ D．①②③ 4.设 a b c、 、 表示三条直线， 、 表示两个平面，则下列命题中逆命题不成立的是（ ） A．已知 c  ，若 c  ，则 / /  B．已知b  ， c 是 a 在  内的射影，若 b c ，则b a C. 已知b  ，若b  ，则   D．已知b  ，c  ，若 / /c  ，则 / /c b 5.若双曲线 2 2 2 1( 0)3 x y bb    的一个焦点到一条渐近线的距离等于焦距的 1 4 ，则该双曲线 的虚轴长是（ ） A．2 B．1 C. 5 5 D． 2 5 5 6.已知抛物线 2 1 : 2 ( 0)C x py p  的准线与抛物线 2 2 : 2 ( 0)C x py p   交于 A B、 两 点， 1C 的焦点为 F ，若 FAB 的面积等于 1，则 1C 的方程是（ ） A． 2 2x y B． 2 2x y C. 2x y D． 2 2 2x y 7.已知 F 是抛物线 21 8y x 的焦点， P 是该抛物线上的动点，则 PF 中点的轨迹方程是 （ ） A． 2 4 2 0x y   B． 22 8 1 0x y   C. 2 4 4 0x y   D． 22 8 6 0x y   8.直线 2y kx  与抛物线 2 8y x 只有一个公共点，则 k 的值为（ ） A．1 B．0 C.1 或 0 D．1 或 3 9.已知抛物线 2 2 ( 0)y px p  的焦点 F 恰好是双曲线 2 2 2 2 1( 0, 0)x y a ba b     的一个焦 点，两条曲线的交点的连线经过点 F ，则双曲线的离心率为（ ） A． 2 B． 3 C.1 2 D．1 3 10.已知双曲线 2 2 2 1( 0)4 x y bb    ，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径的圆与双曲线 的两条渐近线相交于 , , ,A B C D 四点，四边形 ABCD 的面积为 2b ，则双曲线的方程为（ ） A． 2 23 14 4 x y  B． 2 24 14 3 x y  C. 2 2 14 3 x y  D． 2 2 14 12 x y  11.已知直线 1 : 4 3 6 0l x y   和直线 2 : 1l x   ，抛物线 2 4y x 上一动点 P 到直线 1l 和 直线 2l 的距离之和的最小值是（ ） A．2 B．3 C. 11 5 D． 37 16 12.椭圆 2 2 2 2: 1( 0)x yC a ba b     的左右焦点分别为 1 2F F、 ，若椭圆C 上恰好有 6 个不同 的点 P ，使得 2 1F PF 为等腰三角形，则椭圆C 的离心率的取值范围是（ ） A． 1 2( , )3 3 B． 1( ,1)2 C. 2( ,1)3 D． 1 1 1( , ) ( ,1)3 2 2  第Ⅱ卷（共 90 分） 二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上） 13.抛物线 22y x  的准线方程是__________. 14.设中心在原点的椭圆与双曲线 2 22 2 1x y  有公共的焦点，且它们的离心率互为倒数， 则该椭圆的方程为_____________. 15.如图，在三棱柱 1 1 1ABC A B C 中，侧棱 1AA  底面 ABC ， AB BC ， AB BC ， 2AC a ， 1 3BB a ，D 是 1 1AC 的中点，点 F 在线段 1AA 上，当 AF =________时，CF  平面 1B DF . 16.直线 3y x  与曲线 2 | | 19 4 y x x  的公共点的个数为___________个. 三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤.） 17.（本小题满分 12 分） 设命题 0:p x R  ，使得 2 0 02 0x ax a   ；命题 :q x R  ， 2 24 2 1ax x a x     ； 如果命题“ p q ”为真命题，“ p q ”为假命题，求实数 a 的取值范围. 18. （本小题满分 12 分） 中心在坐标原点，对称轴为坐标轴的双曲线C 过点 (3, 5)P ，离心率为 2 . （1）求双曲线C 的方程； （2）过C 的左顶点 A 引C 的一条渐近线的平行线 l ，求直线l 与另一条渐近线及 x 轴围成 的三角形的面积. 19. （本小题满分 12 分） 如图，四边形 PCBM 是直角梯形， 90PCB   ， / /PM BC ， 1PM AC  ， 2BC  ， 120ACB  ° ， AB PC ，直线 AM 与直线 PC 所成的角为 60 . （1）求证：平面 PAC  平面 ABC ； （2）求锐二面角 M AC B  的余弦值. 20. （本小题满分 12 分） 在平面直角坐标系 xoy 中，直线l 与抛物线 2 2y x 相交于 A B、 两点. （1）求证：“如果直线l 过点 (3,0)T ，那么 3OA OB  • ”是真命题； （2）写出（1）中命题的逆命题，判断它是真命题还是假命题，并说明理由. 21. （本小题满分 12 分） 已知定点 (0,1)F 和直线 1 : 1l y   ，过定点 F 且与直线 1l 相切的动圆的圆心为点C . （1）求动点C 的轨迹方程； （2）过点 F 的直线 2l 交动点C 的轨迹于两点 P Q、 ，交直线 1l 于点 R ，求 RP RQ  • 的最小 值. 22.（本小题满分 12 分） 已知椭圆 2 2 2 2: 1( 0)x yC a ba b     ，过点 3(1, )3P 作圆 2 2 1x y  的切线，切点分别为 A B、 ，直线 AB 恰好经过椭圆C 的右焦点和上顶点. （1）求直线 AB 及椭圆C 的方程； （2）若直线 :l y kx m  与椭圆C 相交于 ,M N 两点（ ,M N 不是左右顶点），椭圆的右顶 点为 D ，且满足 0DM DN  • ，试判断直线l 是否过定点，若过定点，求出该定点的坐标； 若不过定点，请说明理由. 高二年级数学试题（理科）参考答案 一、 选择题 BDDCA ACCCD AD 二、 填空题 13. 1 8y  ; 14. 2 2 12 x y  ; 15. a 或 2a ; 16.3 三、解答题 17 解：当命题 p 为真时，Δ＝4a2＋4a≥0 得 a≥0 或 a≤－1，----2 分 当命题 q 为真时，(a＋2)x2＋4x＋a－1≥0 恒成立， ∴a＋2＞0 且 16－4(a＋2)(a－1)≤0，即 a≥2.(6 分) ------4 分 由题意得，命题 p 和命题 q 一真一假． 当命题 p 为真，命题 q 为假时，得 a≤－1 或 0 2a  ；--------6 分 当命题 p 为假，命题 q 为真时，得 a  ； ----------8 分 ∴实数 a 的取值范围为 ( , 1] [0,2)   ．------------10 分 18 解：（Ⅰ）设双曲线的实轴长为 2a ，虚轴长为 2b ，则 2 2 2 1 1b c a ea a     --2 分 a b  ，故双曲线的渐近线方程为 y x  ，----------4 分 将 3x  代入 y x 得 3 5y   ， 故双曲线的焦点在 x 轴上， --------6 分 设其方程为 2 2 2x y a  ，代入 (3, 5)P 得 2 4a  ， 故所求双曲线方程为 2 2 4x y  。----------8 分 注：也可分焦点在 x 轴和 y 轴两种情况讨论 （II）双曲线 2 2 4x y  的左顶点 ( 2,0)A  ，渐近线方程为 y x  过点 A 与渐近线 y x 平行的直线方程为 2y x  ， --------10 分 它与双曲线的另一渐近线 y x  交于 ( 1,1)M  ∴所求三角形的面积为. 1 1 2 1 12 2MS OA y     ---------------12 分 19．解：（Ⅰ）因为 , ,PC AB PC BC AB BC B  I ； 所以 PC ABC 平面 ． ………………………………………2 分 又因为 PC  平面 PAC ,所以 PAC ABC平面 平面 …………………4 分 （Ⅱ）在平面 ABC 内，过C 作Cx CB ， 建立空间直角坐标系C xyz （如图）…………5 分 由题意有 (0,0,0)C , 3 1( , ,0)2 2A  ， 设 0(0,0, )P z 0( 0)z  ，则 0(0,1, )M z ， 0 3 3( , , )2 2AM z  uuur ， 0(0,0, )CP z uur ． ………………………7 分 由直线 AM 与直线 PC 所成的解为 60 得 cos60 ,AM CP AM CP     uuur uur uuur uur 2 2 0 0 0 13 2z z z    , 解得 0 1z  ………9 分 所以 (0,1,1)CM  uuur , 3 1( , ,0)2 2CA   uur 设平面 MAC 的一个法向量为 1 1 1( , , )n x y z r ，则 0 0 n CM n CA      r uuur r uur ，即 1 1 1 1 0 3 1 02 2 y z x y     ． 取 1 1x  ，得 (1, 3, 3)n   r ． ……………………10 分 平面 ABC 的法向量取为 (0,0,1)m  ur …………………………………11 分 设 m ur 与 n r 所成的角为 ，则 21cos 7 m n m n      ur r ur r 因为二面角 M AC B  的平面角为锐角， 当直线 l 的斜率存在时，设直线 l 的方程为 y＝k(x－3)，其中 k≠0. 由 y2＝2x y＝k x－3 得 ky2－2y－6k＝0，则 y1y2＝－6. -------4 分 又∵x1＝1 2 y2 1，x2＝1 2 y2 2， ∴OA → ·OB → ＝x1x2＋y1y2＝1 4 (y1y2)2＋y1y2＝3. 综上所述，命题“如果直线 l 过点 T(3,0)，那么OA → ·OB → ＝3”是真命题． -----6 分 （II）解：逆命题是：设直线 l 交抛物线 y2＝2x 于 A、B 两点，如果OA → ·OB → ＝3，那么该直 线过点 T(3,0)．该命题是假命题．-------8 分 例如：取抛物线上的点 A(2,2)，B(1 2 ，1)，此时OA → ·OB → ＝3， 直线 AB 的方程为 y＝2 3 (x－1 2 )＋1，而点 T(3,0)不在直线 AB 上． -------12 分 21、（I）由题设知点 C 到点 F 的距离等于它到 l1 的距离， ∴点 C 的轨迹是以 F 为焦点，l1 为准线的抛物线， ∴动点 C 的轨迹方程为 x2＝4y.----------4 分 （II）由题意知，直线的斜率存在且不为零，故直线 l2 的方程可设为 y＝kx＋1(k≠0)，与 抛物线方程联立消去 y，得 x2－4kx－4＝0. 设 P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则 x1＋x2＝4k，x1x2＝－4. 又易得点 R 的坐标为 2( , 1)k   ------8 分 ∴RP → ·RQ → ＝ 1 1 2 2 2 2( , 1) ( , 1)x y x yk k      ＝ 1 2 2 2( )( )x xk k   ＋(kx1＋2)(kx2＋2) ＝(1＋k2)x1x2＋ 2( 2 )kk  (x1＋x2)＋4 k2＋4＝－4(1＋k2)＋ 24 ( 2 )k kk  ＋4 k2＋4 ＝ 2 2 14( )kk  ＋8. -------10 分 ∵k2＋1 k2≥2，当且仅当 k2＝1 时取等号， ∴RP → ·RQ → ≥4×2＋8＝16，即RP → ·RQ → 的最小值为 16. ------12 分 22. （本小题满分 12 分） 解：（I）方法一 ：过点 P 作圆的切线， 由题，其中一条切线方程为：x=1 (1,0)A 由题意得，OP AB ， 3 , 33OP ABk k    ……………2 分 所以，直线 AB 的方程为： 3( 1)y x   ，即 3 3 0x y   ………3 分 直线 AB 与坐标轴交于 ∴椭圆C 右焦点为 F（1,0），上顶点为 (0, 3) …………………………4 分 即 1, 3 2c b a    ∴椭圆的方程为 134 22  yx ……………5 分[] 方法二 ： 以 OP 为直径的圆的方程为： 3( 1) ( ) 03x x y y    ，即 2 2 3 03x y x y    2 2 2 2 3 03 1 0 x y x y x y          两式相减，得到直线 AB 的方程为： 3 1 03x y   ， 即 3 3 0x y   （以下同方法一） （II）由 2 2 14 3 y kx m x y     得 2 2 2(3 4 ) 8 4( 3) 0k x mkx m     , ………6 分 2 2 2 264 16(3 4 )( 3) 0m k k m      ，即 2 23 4 0k m   . 设 1 1 2 2( , ), ( , )M x y N x y ,则 2 1 2 1 22 2 8 4( 3), .3 4 3 4 mk mx x x xk k       2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 3( 4 )( ) ( ) ( ) .3 4 m ky y kx m kx m k x x mk x x m k            ……8 分  0DM DN   ，又椭圆的右顶点 (2,0),D 1 1 2 2( 2, 2), ( 2, 2)DM x y DN x y        1 1 2 2( 2, ) ( 2, ) 0DM DN x y x y        ∴ 1 2 1 2 1 22( ) 4 0y y x x x x     , 2 2 2 2 2 2 3( 4 ) 4( 3) 16 4 03 4 3 4 3 4 m k m mk k k k        , 2 27 16 4 0m mk k   ,解得 1 2 22 , 7 km k m    ,且满足 2 23 4 0k m   . ……10 分 当 2m k  时, : ( 2)l y k x  ,直线过定点 (2,0), 与已知矛盾; 当 2 7 km   时, 2: ( )7l y k x  ,直线过定点 2( ,0).7 综上可知,直线 l 过定点,定点坐标为 2( ,0).7 …………………………12 分