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- 2021-04-14 发布
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19年秋季南侨中学高一年段第一阶段考试数学科
一、单项选择题（本题共10个小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.下列元素与集合的关系表示正确的是( )
①N*；②∉Z；③∈Q；④π∈Q
A. ①② B. ②③ C. ①③ D. ③④
【答案】B
【解析】
【分析】
根据正整数集、整数集以及有理数集的含义判断数与集合关系.
【详解】①不是正整数，∴N*错误；②是无理数，∴正确；
③是有理数，∴正确；④π是无理数，∴π∈Q错误；∴表示正确的为②③．
故选:B．
【点睛】本题考查正整数集、整数集、有理数集的含义以及数与集合关系判断，考查基本分析判断能力，属基础题.
2.若集合,集合,则图中阴影部分表示
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
将阴影部分对应的集合的运算表示出来，然后根据集合表示元素的范围计算结果.
【详解】因为阴影部分是：；
又因为，所以或，所以或，所以，又因为，所以，
故选：A.
【点睛】本题考查根据已知集合计算图所表示的集合，难度较易.对于图中的阴影部分首先要将其翻译成集合间运算，然后再去求解相应值.
3.函数的定义域为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
利用二次根式不小于0，分母不为0，列不等式求解即可．
【详解】解：由已知得，解得且．
故选：D．
【点睛】本题考查定义域的求法，是基础题．
4.已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
利用一元二次不等式解出集合，利用补集的运算即可求出。
【详解】由集合，解得：
，
故答案选C。
【点睛】本题考查一元二次不等式的求解以及集合补集的运算，属于基础题。
5.设函数，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
令，代入计算即可．
【详解】解：当时，．
故选：B．
【点睛】本题考查已知型函数的解析式，求，是基础题．
6.全称命题“”的否定是( )
A. B.
C D.
【答案】A
【解析】
【分析】
将全称改为特称，并否定结论即可．
【详解】全称命题“”的否定是“” ．
故选：A．
【点睛】本题考查全称命题的否定，注意书写的时候不仅要改为特称，而且还要否定结论，是基础题．
7.下列四个函数中，在上为增函数的是( )
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
依次分析每个函数的单调性即可．
【详解】A是在上单调递减的一次函数，不符；
B是在上单调递增，上单调递减的二次函数，不符；
C是在上单调递减，上单调递减的分段函数，不符；
D是在上为增函数的反比例函数，符合．
故选：D．
【点睛】本题考查基本初等函数的单调性，直接利用函数的性质即可判断，是基础题．
8.已知，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】
根据充分性和必要性的判断方法来判断即可．
【详解】当时，若，不能推出，不满足充分性；
当，则，有，满足必要性；
所以“”是“”的必要不充分条件．
故选：B．
【点睛】本题考查充分性和必要性的判断，是基础题．
9.已知实数满足，，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
当取最大，取最小时，取最大值；当取最小，取最大时，取最小值；分别求出最大最小值即可得出结果．
【详解】当取最大值5，取最小-4时，取最大值60；
当取最小值-1，取最大值-1时，取最小值-3．
故选：A．
【点睛】本题考查不等式的性质，可以通过求出最值来得答案，是基础题．
10.手机屏幕面积与整机面积的比值叫手机的“屏占比”，它是手机外观设计中一个重要参数，其值通常在（0，1）间，设计师将某手机的屏幕面积和整机面积同时增加相同的数量，升级为一款新手机的外观，则该手机“屏占比”和升级前比有什么变化？
A. “屏占比”不变 B. “屏占比”变小
C. “屏占比”变大 D. 变化不确定
【答案】C
【解析】
分析：先根据条件转化为比较 大小，再根据比较法得结果.
详解：设升级前“屏占比”为升级后“屏占比”为，
因为，所以手机“屏占比”和升级前比“屏占比”变大，
选C.
点睛：本题考查实际应用能力，考查利用比较法判断两数大小.
二、多项选择题（本题共3个小题，每小题4分，共12分。在每小题给出的四个选项中，至少有两个选项符合题目要求．作出的选择中，不选或含有错误选项的得0分，只选出部分正确选项的得2分，正确选项全部选出的得4分．）
11.若集合，，则满足条件的实数为
A. 0 B. 1 C. D.
【答案】CD
【解析】
【分析】
由说明是的子集，然后利用子集的概念分类讨论的取值．
【详解】解：由，所以．
又，，
所以，或，或．
时，集合A违背集合元素的互异性，所以．
时，或．符合题意．
时，得或，集合均违背集合元素互异性，所以．
所以满足条件的实数的个数有2个．
故选：CD．
【点睛】本题考查了并集及其运算，考查了子集概念，考查了集合中元素的特性，解答的关键是要考虑集合中元素的互异性，是基本的概念题，也是易错题．
12.若，且，则下列不等式中，恒成立的是
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
试题分析：，所以A错；，只能说明两实数同号，同为正数，或同为负数，所以当时，B错；同时C错；或都是正数，根据基本不等式求最值，，故D正确．
考点：不等式的性质
13.已知，则下列推证中不正确的是
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】
利用不等式的基本性质即可判断出结论．
详解】解：A．时不成立．
B．时不成立．
C．，两边同除以，可得，正确．
D．由，，取，可得，不成立．
故选：ABD．
【点睛】本题考查了不等式的基本性质，属于基础题．
二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）
14.若集合，，则集合______．
【答案】
【解析】
【分析】
求出集合的等价集合，然后求出即可．
【详解】，
，
故．
故答案为：．
【点睛】本题考查集合的并集的运算，是基础题．
15.若函数，在处取最小值，则=
【答案】3
【解析】
分析：把函数的解析式整理成基本不等式的形式，求得函数的最小值，此时可得的值.
详解：由题意，函数，
当且仅当，即时等号成立，
因处取得最小值，所以.
点睛：本题主要考查了基本不等式的应用，其中根据题意构造基本不等式的形式是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力.
16.已知函数的图象如图所示，则不等式的解集为______．
【答案】
【解析】
【分析】
根据函数图象以及不等式的等价关系即可．
【详解】解：不等式等价为或，
则，或，
故不等式的解集是．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查不等式的求解，根据不等式的等价性结合图象之间的关系是解决本题的关键．
17.若全称命题：“，成立”是真命题，则实数的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】
分和两种情况讨论，利用二次函数的性质即可解决问题．
【详解】当时，原不等式化为“”对显然成立．
当时，只需,即
解得．
综合①②，得．
故答案为：．
【点睛】本题属于比较简单的恒成立问题，求解时不要遗漏了“”这种情况．
三、解答题（本题共6小题，共82分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
18.已知集合A＝{x|ax2－3x＋2＝0，a∈R}．
(1) 若A是空集，求a的取值范围；
(2) 若A中只有一个元素，求a的值，并将这个元素写出来；
(3) 若A中至多有一个元素，求a的取值范围．
【答案】（1）（2）（3）a≥或a＝0.
【解析】
(1)若A是空集，则Δ＝9－8a＜0，解得a＞.
(2) 若A中只有一个元素，则Δ＝9－8a＝0或a＝0，解得a＝或a＝0；当a＝时这个元素是；当a＝0时，这个元素是.
(3) 由(1)(2)知，当A中至多有一个元素时，a的取值范围是a≥或a＝0.
19.已知不等式的解集是．
（1）若，求的取值范围；
（2）若，求不等式的解集．
【答案】（1）；（2）。
【解析】
试题分析：（1）由2是解集中的元素可知其满足不等式，代入可得的取值范围；（2）结合三个二次关系可得到值，代入不等式可求解其解集
试题解析：（1）∵，∴，∴
（2）∵，∴是方程的两个根，
∴由韦达定理得解得
∴不等式即为：
其解集为．
考点：一元二次不等式解法
20.已知函数
求；
在所给的坐标系中画出的图象，根据图像，写出的单调区间和值域；
若，求的值；
(4)写出不等式的解集．
【答案】（1）10；（2）见解析；（3）或5；（4）
【解析】
【分析】
（1）将代入即可；
（2）根据解析式画出图像；
（3）分类讨论求的值；
（4）分类讨论解．
【详解】解：（1）；
(2) 如图；
单调减区间为，单调增区间为， 值域为
（3）当时，（舍去）或
当时，
综上，的值为或5.
(4)当时，或
当时，
综上，不等式的解集为
【点睛】本题考查分段函数的单调性，求函数值，以及作图能力，是基础题。
21.已知集合A=，B=，
（Ⅰ）当时，求.
（Ⅱ）若：，：，且是的必要不充分条件，求实数的取值范围。
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）或
【解析】
试题分析：(1)当m=0时，求解集合B中一元二次不等式的解集，然后利用集合的交集运算得到结论。
(2)因为根据是的必要不充分条件，则说明p,q命题表示的集合A,B之间有包含关系，且前者包含于后者。
（Ⅰ）：，
（Ⅱ）为：
而为：，
又是的必要不充分条件， 即
所以或或
考点：本试题主要考查了一元二次不等式的解集和充分条件的判定的综合运用。
点评：解决该试题的关键是对于是的必要不充分条件，那么对应到集合关系上，即为p时q的充分不必要，那么说明了pq
22.设函数，且
(1)求的值；
(2)试判断在上的单调性，并用定义加以证明；
(3)若求值域；
【答案】(1)m=1;（2）单调递减，证明见解析；（3）.
【解析】
【分析】
（1）由由（1）即可解得；（2）利用减函数的定义可以判断、证明；（3）利用函数的
单调性求函数的值域.
【详解】（1）由（1），得，．
（2）在上单调递减．
证明：由（1）知，，
设，则．
因为，所以，，
所以，即，
所以函数在上单调递减．
（3）由于函数在上单调递减．
所以.
所以函数的值域为.
【点睛】本题考查函数的单调性及其应用，定义证明函数单调性的常用方法，意在考查学生对这些知
识的理解掌握水平，属于基础题.
23.已知函数有如下性质：如果常数，那么该函数在上是减函数，在是增函数，其图像如图所示．
(1)已知，，利用上述性质，求函数的单调区间和值域；
(2)对于(1)中的函数和函数，若对任意，总存在，使得成立，求实数的值．
【答案】（1）的单调递减区间为，单调递增区间为，值域为；（2）
【解析】
【分析】
（1），结合条件所给的函数的单调性即可求解；
（2）对任意，总存在，使得成立，等价于的值域是值域的子集，求出和的值域，根据包含关系即可求出实数的值
【详解】解：（1），
根据条件所给出的性质得，的单调递减区间为，单调递增区间为，
的最小值为，的最大值为，
所以的值域为；
（2）由已知对于函数，，
得,
对于函数，，
得
由已知对任意，总存在，使得成立，等价于的值域是值域的子集，
，解得，即
【点睛】本题主要考查了函数恒成立问题的求解，以及转化思想的应用，对勾函数的最值以及单调性的应用．