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- 2021-04-14 发布
河北省武邑中学2018届高三上学期第五次调研考试
数学（理）试题
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知为虚数单位，为复数的共轭复数，若，则复数在复平面内对应的点位于（ ）
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
3.《张丘建算经》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女不善织，日减功迟，初日织五尺，末日织一尺，今共织九十尺，问织几日？”，已知“日减功迟”的具体含义是每天比前一天少织同样多的布，则此问题的答案是（ ）
A.10 日 B. 20 日 C.30 日 D.40 日
4.格纸上的小正方形边长为1，粗实线画出的是最某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）
A． B． C． D．
5.已知函数，规定区间，对任意，当时，总有，则下列区间可作为的是（ ）
A． B． C． D．
6.下列选项中，说法正确的是（ ）
A.命题 “”的否定是“”
B.命题“为真”是命题“为真”的充分不必要条件
C.命题“若，则”是假命题
D.命题“在中，若，则”的逆否命题为真命题
7. 3个单位从4名大学毕业生中选聘工作人员，若每个单位至少选聘1人（4名大学毕业生不一定都能选聘上），则不同的选聘方法种数为（ ）
A．60 B．36 C．24 D．42
8.若实数满足不等式组，若目标函数的最大值为1，则实数的值是（ ）
A． B．3 C． D．1
9.执行如图所示的程序框图，若输入，输出的，则空白判断框内应填的条件是（ ）
A． B． C． D．
10.已知函数，，的部分图像如图所示，分别为该图像的最高点和最低点，点垂轴于，的坐标为，若，则（ ）
A． B． C． D．
11.是双曲线的左、右焦点，过的直线与的左、右两支分别交于点，
若为等边三角形，则双曲线的离心率为（ ）
A．4 B． C． D．
12.函数是定义在上的奇函数，且为偶函数，当时，，若有三个零点，则实数的取值集合是（ ）
A． B．
C． D．
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.若等比数列的前5项的乘积为1，，则数列的公比为 ．
14.若，则的值 ．
15.欧阳修《卖油翁》中写到：（翁）乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿.可见“行行出状元”，卖油翁的技艺让人叹为观止.若铜钱是直径为的圆面，中间有边长为的正方形孔,若随机向铜钱上滴一滴油，则油滴整体(油滴是直径为0.2的球）正好落入孔中的概率是 ．
16.四棱锥中，底面是边长为2的正方形，侧面是以为斜边的等腰直角三角形，若，则四棱锥的体积取值范围为 ．
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17. 设向量，其中，且函数.
（1）求的最小正周期；
（2） 设函数，求在上的零点.
18.等差数列的前项和为，数列是等比数列，满足，.
（1）求数列和的通项公式；
（2）令 设数列的前项和，求.
19.甲、乙、丙三人参加微信群抢红包游戏，规则如下：每轮游戏发50个红包， 每个红包金额为元，.已知在每轮游戏中所产生的50个红包金额的频率分布直方图如图所示.
（1）求的值，并根据频率分布直方图，估计红包金额的众数；
（2）以频率分布直方图中的频率作为概率，若甲、乙、丙三人从中各抢到一个红包，其中金额在的红包个数为，求的分布列和数学期望.
20.如图，四棱锥中，底面为矩形，侧面为正三角形，且平面平面，为中点，.
（1）求证:平面平面；
（2） 若二面角的平面角大小满足，求四棱锥的体积.
21.椭圆的离心率为，过其右焦点与长轴垂直的直线与椭圆在第一象限相交于点，.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设椭圆的左顶点为，右顶点为，点是椭圆上的动点，且点与点不重合，直线与直线相交于点，直线与直线相交于点，求证：以线段
为直径的圆恒过定点.
22.设函数，其中为自然对数的底数.
（1）若曲线在轴上的截距为，且在点处的切线垂直于直线，求实数的值；
（2）记的导函数为，在区间上的最小值为，求的最大值.
试卷答案
一、选择题
1-5: BACAD 6-10: CADBB 11、12：DC
二、填空题
13. 2 14. 15. 16.
三、解答题
17.解：（1）
，
∴函数的最小正周期为.
（2）
，
由得，，
当时，，
∴或，
即或.
∴函数在上的零点是和.
18.解：（1）设数列的公差为，数列的公比为，
由，
得解得
∴，.
（2）由，得，
则为奇数时，，为偶数时，，
∴
.
19.解：（1）由题可得，∴，众数为2.5.
（2）由频率分布直方图可得，红包金额在的概率为，则，
∴的取值为0，1，2，3，
,,
,,
∴的分布列为：
∴（或）.
20.解：（1）取中点为，中点为，
由侧面为正三角形，且平面平面知平面，故，
又，则平面，所以，
又,则,又是中点，
则，由线面垂直的判定定理知平面,
又平面,故平面平面.
（2）如图所示，建立坐标系，令，
则.
由（1）知为平面的法向量，
令为平面的法向量，由于均与垂直，
故即解得
故，由，解得.
故四棱锥的体积.
21.解：（1）因为，又，联立解得：，
所以椭圆的标准方程为.
（2）证明：设直线的斜率为，则直线的方程为，
联立得.
设，代入椭圆的方程有：，
整理得：，故，
又，（分别为直线的斜率），
所以，
所以直线的方程为:，
联立得；
所以以线段为直径的圆的方程为：，
令，解得：，
所以以线段为直径的圆恒过定点.
22.解：（1）曲线在轴上的截距为，则过点，代入，
则，则，求导，
由，即，则，
∴实数的值分别为1，；
（2），，，
①当时，∵，∴恒成立，
即，在上单调递增，
∴.
②当时，∵，∴恒成立，
即，在单调递减，
∴.
③当时，，得，在上单调递减，在上单调递增，
所以，
∴，
∴当时，，
当时，，求导，，
由时，，
∴单调通减，，
当时，，单调递减，，
∴的最大值.