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- 2021-04-14 发布
海安高级中学2019-2020学年高二上学期期中考试数学试题
一、选择题（本大题共12小题）
1. 已知全集U={0，1，2，3，4，5}，集合A={x|1≤x≤4，x∈N}，B={x|5＜2x＜33，x∈N}，则（∁UA）∩B=（ ）
A. 5, B. C. D.
2. 已知向量=（λ+1，1），=（λ+2，2），若（2+）∥（-2），则λ=（ ）
A. B. 0 C. 1 D. 2
3. 若椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率为，则双曲线-=1的渐近线方程为（ ）
A. B. C. D.
4. 函数的图象可能是（ ）
A. B.
C. D.
5. 已知，则a，b，c的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
6. 若正数a，b满足，的最小值为（ ）
A. 1 B. 6 C. 9 D. 16
7. “a＜-2”是“∃x0∈R，asinx0+2＜0”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
8. 数列{Fn}：1，1，2，3，5，8，13，21，34，…，称为斐波那契数列，是由十三世纪意大利数学家列昂纳多•斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”．该数列从第三项开始，每项等于其前相邻两项之和．记该数列{Fn}的前n项和为Sn，则下列结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
9. 设椭圆与双曲线在第一象限的交点为T,,为其共同的左右的焦点,且,若椭圆和双曲线的离心率分别为,,则的取值范围为( )
A. B. C. D.
10. 设集合A={（x，y）|（x-4）2+y2=1}，B={（x，y）|（x-t）2+（y-at+2）2=1}，如果命题“∃t∈R，A∩B≠∅”是真命题，则实数a的取值范围是（ ）
A. B.
C. D. ,
11. 给出下列四个说法：
①命题“∀x＞0，都有”的否定是“∃x0≤0，使得”；
②已知a、b＞0，命题“若，则a＞b”的逆命题是真命题；
③x＞1是x2＞1的必要不充分条件；
④若x=x0为函数f（x）=x2+x+2lnx-e-x的零点，则x0+2lnx0=0
其中正确的个数为（ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
1. 设首项为1的数列{an}的前n项和为Sn，且an=，若Sm＞999，则正整数m的最小值为（ ）
A. 15 B. 16 C. 17 D. 14
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
2. 设x＞0，y＞0，x+2y=7，则的最小值为______．
3. 已知等差数列{an}中，前m（m为奇数）项的和为77，其中偶数项之和为33，且a1-am=18，则数列{an}的通项公式为an= ______ ．
4. 若抛物线x2=4y的顶点是抛物线上到点A（0，a）的距离最近的点，则实数a的取值范围是______．
5. 不等式x6-（x+2）3+2x2-2x-4≤0的解集为______．
三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）
6. 如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=BC，点M为棱A1B1的中点．
求证：（1）AB∥平面A1B1C；
（2）平面C1CM⊥平面A1B1C．
7. 在△ABC中，角C为钝角，b=5，，．
（1）求sinB的值；
（2）求边c的长
8. 习近平总书记指出：“我们既要绿水青山，也要金山银山．”新能源汽车环保、节能，以电代油，减少排放，既符合我国的国情，也代表了世界汽车产业发展的方向．工业部表示，到2025年中国的汽车总销量将达到3500万辆，并希望新能源汽车至少占总销量的五分之一．江苏某新能源公司年初购入一批新能源汽车充电桩，每台16200元，第一年每台设备的维修保养费用为1100元，以后每年增加400元，每台充电桩每年可给公司收益8100元．
（1）每台充电桩第几年开始获利？
（2）每台充电桩在第几年时，年平均利润最大．
1. 已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，点B（m，2）在抛物线C上，A（0，），且|BF|=2|AF|．
（1）求抛物线C的标准方程；
（2）过点P（1，2）作直线PM，PN分别交抛物线C于M，N两点，若直线PM，PN的倾斜角互补，求直线MN的斜率．
2. 已知正项数列{an}的前n项和Sn满足2Sn=an2+an-2．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）若bn=（n∈N*），求数列{bn}的前n项和Tn．
（3）是否存在实数λ使得Tn+2＞λ•Sn对n∈N+恒成立，若存在，求实数λ的取值范围，若不存在说明理由．
3.
在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，焦距为2，一条准线方程为x=2．P为椭圆C上一点，直线PF1交椭圆C于另一点Q．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若点P的坐标为（0，b），求过点P，Q，F2三点的圆的方程；
（3）若=，且λ∈[]，求的最大值．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：∵U={0，1，2，3，4，5}，A={1，2，3，4}，B={3，4，5}，
∴∁UA={0，5}，（∁UA）∩B={5}．
故选：D．
可以求出集合A，B，然后进行补集、交集的运算即可．
本题考查了列举法、描述法的定义，交集和补集的运算，考查了计算能力，属于基础题．
2.【答案】B
【解析】解：，
∵，
∴-3（3λ+4）+4（λ+3）=0，解得λ=0．
故选：B．
可以求出，根据即可得出-3（3λ+4）+4（λ+3）=0，解出λ即可．
考查向量坐标的加法、减法和数乘运算，以及平行向量的坐标关系．
3.【答案】A
【解析】解：椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率为，
则=，
即有=，
则双曲线-=1的渐近线方程为y=x，
即有y=±x．
故选：A．
运用椭圆的离心率公式可得a，b的关系，再由双曲线的渐近线方程，即可得到．
本题考查椭圆和双曲线的方程和性质，考查渐近线方程和离心率公式的运用，考查运算能力，属于基础题．
4.【答案】C
【解析】解：函数是奇函数，所以排除选项B，
当x=2时，y=＞1，排除选项D．
当x=1时，y=＜1，排除A．
故选：C．
判断函数的奇偶性，排除选项，利用特殊值对应点的坐标的位置判断选项即可．
本题考查函数的图象的判断与应用，函数的奇偶性以及特殊函数值，是解题的关键，是中档题．
5.【答案】B
【解析】解：∵，
∴a=log52＜==0.5＜c=0.50.3＜0.50=1，
b=log0.50.3=log＞log=log23＞log22=1，
∴a＜c＜b．
故选：B
．
利用指数函数、对数函数的单调性直接求解．
本题考查三个数的大小的求法，考查指数函数、对数函数的单调性等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
6.【答案】B
【解析】解：∵正数a，b满足，∴a＞1，且b＞1；
变形为=1，∴ab=a+b，∴ab-a-b=0，∴（a-1）（b-1）=1，∴a-1=；
∴a-1＞0，∴=+9（a-1）≥2=6，
当且仅当=9（a-1），即a=1±时取“=”（由于a＞1，故取a=），
∴的最小值为6；
故选：B．
正数a，b满足，可得a＞1，且b＞1；即a-1＞0，且b-1＞0；由变形为a-1=；化为+9（a-1）应用基本不等式可求最小值．
本题考查了基本不等式的灵活应用问题，应用基本不等式a+b≥2时，要注意条件a＞0，且b＞0，在a=b时取“=”．
7.【答案】A
【解析】解：必要性：设f（x）=asinx+2，当a＞0时，f（x）∈[2-a，2+a]，∴2-a＜0，即a＞2；
当a＜0时，f（x）∈[2+a，2-a]，∴2+a＜0，即a＜-2．
故a＞2或a＜-2；
充分性：，当a＜-2时，asinx0+2＜0成立．
∴“a＜-2”是“∃x0∈R，asinx0+2＜0”的充分不必要条件．
故选：A．
设f（x）=asinx+2，分类求得函数的值域，由∃x0∈R，asinx0+2＜0求得a的范围，可知“a＜-2”是“∃x0∈R，asinx0+2＜0”的不必要条件；取，当a＜-2时，asinx0+2＜0成立，说明“a＜-2”是“∃x0∈R，asinx0+2＜0”的充分条件．
本题考查充分必要条件的判定，考查三角函数的有界性，体现了数学转化思想方法，是中档题．
8.【答案】B
【解析】解：数列为：1，1，2，3，5，8…，即从该数列的第三项数字开始，每个数字等于前两个相邻数字之和．
则：Fn+2=Fn+Fn+1=Fn+Fn-1+Fn
=Fn+Fn-1+Fn-2+Fn-1
=Fn+Fn-1+Fn-2+Fn-3+Fn-2
=…
=Fn+Fn-1+Fn-2+Fn-3+…+F2+F1+1，
∴S2019=F2021-1
故选：B．
利用迭代法可得Fn+2=Fn+Fn-1+Fn-2+Fn-3+…+F2+F1+1，可得S2019=F2021-1，代值计算可得结果．
本题考查的知识要点：迭代法在数列中的应用．
9.【答案】D
【解析】【分析】
本题主要考查圆锥曲线几何性质、运算能力与逻辑思维能力，考查数学运算的核心素养，属于中档题．
依题意有m2-4=a2+4，即m2=a2+8，写出=2+，再根据|TF1|＜4，求出a
的范围，即可求出．
【解答】
解：依题意有m2-4=a2+4，即m2=a2+8，
∴，
，
解得a2＜1，
∴0＜a4+8a2＜9，
∴＞，
∴2+＞，
∴，
故选：D．
10.【答案】B
【解析】解：∵A={（x，y）|（x-4）2+y2=1}，表示平面坐标系中以M（4，0）为圆心，半径为1的圆，
B={（x，y）|（x-t）2+（y-at+2）2=1}，表示以N（t，at-2）为圆心，半径为1的圆，且其圆心N在直线ax-y-2=0上，如图．
如果命题“∃t∈R，A∩B≠∅”是真命题，即两圆有公共点，则圆心M到直线ax-y-2=0的距离不大于2，
即≤2，解得0≤a≤．
∴实数a的取值范围是[0，]；
故选：B．
首先要将条件进行转化，即命题P：A∩B≠∅为假命题，再结合集合A、B的特征利用数形结合即可获得必要的条件，解不等式组即可获得问题的解答．
本题考查的是集合运算和命题的真假判断与应用的综合类问题．在解答的过程当中充分体现了圆的知识、集合运算的知识以及命题的知识．同时问题转化的思想也在此题中得到了很好的体现．值得同学们体会和反思．
11.【答案】B
【解析】解：对于①：命题“∀x＞0，都有”的否定是“∃x0＞0，使得”；不满足命题的否定形式，所以不正确；
对于②：已知a、b＞0，命题“若，则a＞b”的逆命题是真命题；满足不等式的基本性质，正确；
对于③：x＞1可得x2＞1，反之不成立，所以x＞1是x2＞1的充分不必要条件；所以③不正确；
对于④：若x=x0为函数f（x）=x2+x+2lnx-e-x的零点，则x02+x0+2lnx0-e-x0=0，不是x0+2lnx0=0，所以不正确；
故选：B
．
利用命题的否定，四中命题的逆否关系，充要条件，函数的零点判断选项的正误即可．
本题考查命题的真假的判断，涉及命题的否定，四种命题的逆否关系，充要条件函数的零点，是基本知识的考查．
12.【答案】A
【解析】解：依题意，对于数列{an}，
①当n=2k+1时（k∈N*），a2k+1=2a2k+1=2（a2k-1+1）+1=2a2k-1+3，
∴a2k+1+3=2（a2k-1+3），即=2，
∴数列{a2k-1+3}成以4为首项，2为公比的等比数列，
a2k-1=2k+1-3，令n=2k-1，的k=，
所以an=-3，
即当n为奇数时，an=-3；
②当n=2k（k∈N*）时，a2k=a2k-1+1=-2，
所以当m为偶数时，
Sm=（a1+a3+……+am-1）+（a2+a4+……+am）
=（22-3+23-3+……+-3）+（22-2+23-2+……+-2）
=2×-
=--8，
当m为奇数时，
Sm=Sm-1+am=--8+-3=3--11，
∴S15=3×29--11=1536-35-11=1500＞999，
S14=210-25-8=992＜999，
故选：A．
分成奇数项和偶数项分别考虑，奇数项构造等比数列可以求解析式，偶数项利用奇数项可以得到解析式，从而得到前m项和，结合选项即可得到结果．
本题考查了数列的递推公式，考查了构造等比数列求数列的通项公式，考查分析解决问题的能力和计算能力，属于中档题．
13.【答案】8
【解析】解：===≥8，当且仅当xy=4时等号成立．
故答案为：8．
把展开，将x+2y=7整体带入，利用基本不等式即可解得最小值．
本题主要考查基本不等式及其应用，属于中档题．
14.【答案】-3n+23
【解析】解：∵等差数列{an}中，前m（m为奇数）项的和为77，
∴ma1+=77，①
∵其中偶数项之和为33，
∴设公差等于d，由题意可得偶数项共有项．
（a1+d）+×2d=33，②
∵a1-am=18，
∴a1-am=18=-（m-1）d，③
由①②③，解得m=7，d=-3，a1=20，
故an=a1+（n-1）d=20+（n-1）×（-3）=-3n+23．
数列{an}的通项公式为an=-3n+23．
故答案为：-3n+23．
设公差等于d，由题意可得偶数项共有项，从而列出方程组求出m，d，a1，由此能求出数列{an}
的通项公式．
本题考查数列的通项公式的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的通项公式的合理运用．
15.【答案】a≤2
【解析】解：设点P（x，y）为抛物线上的任意一点，则点P离点A（0，a）的距离的平方为
|AP|2=x2+（y-a）2
=x2+y2-2ay+a2
∵x2=4y
∴|AP|2=4y+y2-2ay+a2（y≥0）
=y2+2（2-a）y+a2（y≥0）
∴对称轴为y=a-2，
∵离点A（0，a）最近的点恰好是顶点，
∴a-2≤0解得a≤2，
故答案为：a≤2．
将抛物线上的点离点A的距离用两点距离的平方表示出来，再研究二次函数的最值．
本题考查二次函数在给定区间的最值的求法：弄清对称轴与区间的关系，在y=0时取到最小值，函数在定义域内递增，对称轴在区间左边．
16.【答案】[-1，2]
【解析】解：不等式x6-（x+2）3+2x2-2x-4≤0变形为
x6-x3≤4x2+14x+12，即x3（x3-1）≤（2x+4）（2x+3）
考查函数f（x）=x（x-1），图象关于x=对称，在（-∞，）上单调递减；在（，+∞）上单调递增
知f（x3）≤f（2x+4）
所以或或或；
分别解得：≤x≤2或∅或-1≤x或∅
即-1≤x≤2，所以不等式的解集为[-1，2]．
故答案为：[-1，2]．
根据题意，把不等式变形，利用函数的性质把不等式转化，从而求出解集．
本题考查类比推理，找规律，对应已知形式，即可求解，中档题．
17.【答案】证明：（1）∵AA1∥BB1，AA1=BB1，
∴四边形AA1B1B是平行四边形，
∴AB∥A1B1，
又AB⊄平面A1B1C，A1B1⊂平面A1B1C，
∴AB∥平面A1B1C．
（2）由（1）证明同理可知AC=A1C1，BC=B1C1，
∵AB=BC，∴A1B1=B1C1，
∵M是A1B1的中点，
∴C1M⊥A1B1，
∵CC1⊥平面A1B1C1，B1A1⊂平面A1B1C1，
∴CC1⊥B1A1，
又CC1∩C1M=C1，
∴B1A1⊥平面C1CM，
又B1A1⊂平面A1B1C1，
∴平面C1CM⊥平面A1B1C．
【解析】（1）证明四边形AA1B1B是平行四边形，得出AB∥A1B1，故而AB∥平面A1B1C；
（2）由C1M⊥A1B1，CC1⊥B1A1，得出B1A1⊥平面C1CM，从而平面C1CM⊥平面A1B1C．
本题考查了线面平行，线面垂直的判定，直棱柱的结构特征，属于中档题．
18.【答案】解：（1）在△ABC中，角C为钝角，
所以，，
所以，，
又，所以，
所以sinB=sin[A-（A-B）]=sinAcos（A-B）-cosAsin（A-B）=．
（2）因为，且，所以，
又，，
所以，在△ABC中，sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB==，
由正弦定理得，，又b=5，
所以．
【解析】（1）利用同角三角函数间的关系得到cosA、sin（A-B）、cos（A-B），从而利用两角和差公式得到sinB的值；
（2）利用正弦定理解三角形，从而求得边长．
本题是常考题型，考查解三角形，需对三角函数的各类公式熟练掌握．
19.【答案】解：（1）每年的维修保养费用是以1100为首项，400为公差的等差数列，
设第n年时累计利润为f（n），
f（n）=8100n-[1100+1500+…+（400n+700）]-16200
=8100n-n（200n+900）-16200
=-200n2+7200n-16200
=-200（n2-36n+81），
开始获利即f（n）＞0，
∴-200（n2-36n+81）＞0，即n2-36n+81＜0，
解得，
所以公司从第3年开始获利；
（2）每台充电桩年平均利润为
当且仅当，即n=9时，等号成立．
即在第9年时每台充电桩年平均利润最大3600元．
【解析】（1）判断已知条件是等差数列，然后求解利润的表达式，推出表达式求解n即可．
（2）利用基本不等式求解最大值即可．
本题考查数列与函数的实际应用，基本不等式的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．
20.【答案】解：（1）由题意得F（），
则|BF|=m+，|AF|=，
因为|BF|=2|AF|，
所以m+=，①
因为点B在抛物线C上，
所以12=2pm，即pm=6，②
联立①②得p4+8p2-48=0，
解得p=2或p=-2（舍去），
所以抛物线C的标准方程为y2=4x．
（2）由题知直线PM，PN
的斜率存在，且不为零，且两直线的斜率互为相反数．
设M（x1，y1），N（x2，y2），直线PM：y=k（x-1）+2（k≠0）．
由，得
k2x2-（2k2-4k+4）x+k2-4k+4=0，
则△=（2k2-4k+4）2-4k2（k-2）2=16（k-1）2＞0，
又点P在抛物线C上，
所以，
同理得，
则，，
y1-y2=[k（x1-1）+2]-[-k（x2-1）+2]=k（x1+x2）-2k==，
所以，
即直线MN的斜率为-1．
【解析】（1）分别根据|BF|=2|AF|和点B在抛物线上列出方程，联立求解即可得出方程；
（2）设出点M，N的坐标和直线PM的方程，和抛物线方程联立求解，结合韦达定理和△的范围可以求解．
本题考查直线与抛物线的关系，涉及解方程组和韦达定理等内容，属于综合题．
21.【答案】解：（1）当n=1时，a1=2．
当n≥2时，，
整理可得：（an+an-1）（an-an-1-1）=0，
可得an-an-1=1，
∴{an}是以a1=2为首项，d=1为公差的等差数列．
∴．
（2）由（Ⅰ）得an=n+1，
∴．
∴．
（3）假设存在实数λ，使得对一切正整数恒成立，
即对一切正整数恒成立，只需满足即可，
令，
由数列的单调性可得，所以f（1）=1，f（2）=，f（3）=，＞f（5）＞f（6）＞…
当n=3时有最小值．
所以．
【解析】（1）直接利用递推关系式的应用求出数列的通项公式．
（2）利用（1）的结论，进一步求出数列的通项公式．
（3）利用恒成立问题的应用和函数的单调性的应用求出参数的取值范围．
本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，恒成立问题的应用，数列的求和的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．
22.【答案】解：（1）由题意得，解得c=1，a2=2，所以b2=a2-c2=1．
所以椭圆的方程为．
（2）因为P（0，1），F1（-1，0），所以PF1的方程为x-y+1=0．
由解得或所以Q点的坐标为．
设过P，Q，F2三点的圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，
则
解得
所以圆的方程为．
（3）设P（x1，y1），Q（x2，y2），则．
因为，所以
所以，解得．
所以
=
=．
因为，所以，当且仅当，即λ=1时取等号，
所以．即最大值为．
【解析】（1）通过焦距以及准线方程，求出a，c，然后求解b，得到椭圆方程．
（2）求出三点坐标，设出圆的一般方程，然后求解即可．
（3）求出P的坐标，代入椭圆方程，通过向量的数量积结合基本不等式求解即可．
本题考查直线与椭圆的位置关系的应用，圆的方程的求法，向量的数量积的应用，考查转化思想以及计算能力，是难题．