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- 2021-04-14 发布
包铁一中2016—2017学年度高二年级期末试题
理科数学
命题人：陈海新审题人：苗译文 2017. 7
第Ⅰ卷
一、选择题(本大题共12小题，共60.0分)
1.若复数（a∈R）为纯虚数，其中i为虚数单位，则a=（ ）
A.-3 B.-2 C.2 D.3
2.函数的单调递增区间是（ ）
A.（-∞，-3） B.（-∞，-1） C.（-1，+∞） D.（1，+∞）
3.函数的零点个数为（ ）
A.0 B.1 C.2 D.3
4.若幂函数y=f（x）的图象过点（5，），则为（ ）
A. B. C. D.-1
5.执行如图所示的程序框图，则输出的S的值是（ ）
A.4 B. C. D.-1
6.已知函数f（x）=log2（x+a）+log2（x-a）（a∈R）．命题p：∃a∈R，函数f（x）是偶函数；命题q：∀a∈R，函数f（x）在定义域内是增函数．那么下列命题为真命题的是（ ）
A.¬q B.p∧q
C.（¬p）∧q D.p∧（¬q）
7.盒中装有10只乒乓球，其中6只新球，4只旧球，不放回地依次摸出2个球使用，在第一次摸出新球的条件下，第二次也摸出新球的概率为（ ）
A. B. C. D.
8.有一天，某城市的珠宝店被盗走了价值数万元的钻石．报案后，经过三个月的侦察，查明作案人肯定是甲．乙．丙．丁中的一人．经过审讯，这四个人的口供如下：
甲：钻石被盗的那天，我在别的城市，所以我不是罪犯．
乙：丁是罪犯．
丙：乙是盗窃犯，三天前，我看见他在黑市上卖一块钻石．丁：乙同我有仇，有意诬陷我．因为口供不一致，无法判断谁是罪犯．经过测谎试验知道，这四人只有一个人说的是真话，那么你能判断罪犯是（ ）
A.甲 B.乙 C.丙 D.丁
9.已知函数f（x）的定义域为R．当x＜0时，f（x）=x3-1；当-1≤x≤1时，f（-x）=-f（x）；当x＞时，f（x+）=f（x-）．则f （8）=（ ）
A.-2 B.-1 C.0 D.2
10.函数f（x）=x2-bx+c满足f（1+x）=f（1-x）且f（0）=3，则f（bx）和f（cx）的大小关系是（ ）
A.f（bx）≤f（cx） B.f（bx）≥f（cx）
C.f（bx）＞f（cx） D.大小关系随x的不同而不同
11.某堂训练课上，一射击运动员对同一目标独立地进行了四次射击，已知他至少命中一次的概率为，则四次射击中，他命中2次的概率为（ ）
A. B. C. D.以上都不对
12.已知函数f（x）=lnx+（x-b）2（b∈R）在区间上存在单调递增区间，则实数b的取值范围是（ ）
A. B. C.（-∞，3） D.
二、填空题(本大题共4小题，共20.0分)
13.为调査某高校学生对“一带一路”政策的了解情况，现采用分层抽样的方法抽取一个容量为500的样本，其中大一年级抽取200人，大二年级抽取100人．若其他年级共有学生3000人，则该校学生总人数是 ______ ．
14.在某项测量结果ξ服从正态分布N（1，σ2），（σ＞0），
若ξ在（0，1）内取值的概率为0.4，则ξ在（2，+∞）上取值的概率为 ______ ．
15.
一个社会调查机构就某地居民的月收入情况调查了1000人，并根据所得数据绘制了样本频率分布直方图（如图所示），则月收入在[2000，3500）范围内的人数为 ______ ．
16.已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，若g（x）=f（x+1）+5，g′（x）为g（x）的导函数，对∀x∈R，总有g′（x）＞2x，则g（x）＜x2+4的解集为 ______
．
三、解答题(本大题共6小题，共70.0分)
17（10分）.已知集合E={x||x-1|≥m}，F=．
（1）若m=3，求E∩F；
（2）若E∩F=∅，求实数m的取值范围．
18.（12分）某校高三年级研究性学习小组共6人，计划同时参观科普展，该科普展共有甲，乙，丙三个展厅，6人各自随机地确定参观顺序，在每个展厅参观一小时后去其他展厅，所有展厅参观结束后集合返回，设事件A为：在参观的第一小时时间内，甲，乙，丙三个展厅恰好分别有该小组的2个人；事件B为：在参观的第二个小时时间内，该小组在甲展厅人数恰好为2人．
（Ⅰ）求P（A）及P（B|A）；
（Ⅱ）设在参观的第三个小时时间内，该小组在甲展厅的人数为ξ，则在事件A发生的前提下，求ξ的概率分布列及数学期望．
19.（12分）下表数据为某地区某基地某种农产品的年产量x（单位：吨）及对应销售价格y（单位：万元/吨）．
x
1
2
3
y
5
4
3
（1） 若y与x有较强的线性相关关系，请用最小二乘法求出y关与x的线性回归方程；
（2）若每吨该农产品的成本为1万元，假设该农产品可全部卖出，预测当年产量为多少吨时，年利润z最大？最大利润是多少？
参考公式：
20.（12分）已知函数f（x）=
（1）判断f（x）的奇偶性；（2）判断f（x）在R上的单调性，并用定义证明；（3）是否存在实数t，使不等式f（x-t）+f（x2-t2）≥0对一切x∈[1，2]恒成立？若存在，求出t的取值范围；若不存在，请说明理由．
21. （12分）已知函数．
（1）当a=1时，求函数在点（1，-）处的切线方程；
（2）若函数g（x）=f（x）-x有两个极值点x1，x2，求a的取值范围．
（3）在（2）的条件下，求证：+＞2
22.（12分）已知曲线C的极坐标方程为ρ=，直线l的参数方程为
（Ⅰ）把曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，并说明曲线C的形状；
（Ⅱ）若直线l经过点（1，0），求直线l被曲线C截得的线段AB的长。
包铁一中2016—2017学年度高二年级期末考试题
（理科数学）
【答案】
1.B 2.A 3.B 4.C 5.D 6.C 7.B 8.A 9.D 10.A 11.C 12.B
13.7500
14.0.1
15.700
16.（-∞，-1）
17.解：（1）由|x-1|≥3，得 x-1≥3或x-1≤-3，
解得x≥4或x≤-2，
所以 E=（-∞，-2]∪[4，+∞）；
由-1＞0，得＞0；
即（x-4）（x+6）＜0，
解得-6＜x＜4；
所以F=（-6，4）；
所以E∩F=（-6，-2]；
（2）E∩F=∅，
则有m＞0，E=（-∞，1-m]∪[1+m，+∞），
即，
解得，
所以实数m的取值范围是m≥7．
18.解：（I）P（A）==．P（B|A）==．
（II）在事件A发生的前提下，可知已经有2人参观过甲展厅，该小组在甲展厅的人数ξ=0，1，2，3，4．
P（ξ=0）=P（参观的第二个小时时间内该小组在甲展厅的人数ξ=4）==；
P（ξ=1）=P（参观的第二个小时时间内该小组在甲展厅的人数ξ=3）==；
P（ξ=2）=P（参观的第二个小时时间内该小组在甲展厅的人数ξ=2）==；
P（ξ=3）=P（参观的第二个小时时间内该小组在甲展厅的人数ξ=1）==；
P（ξ=4）=P（参观的第二个小时时间内该小组在甲展厅的人数ξ=0）==．
X
0
1
2
3
4
p（X）
E（X）=0×+1×+2×+3×+4×=2．
19.解：（1）由表格得，，，…（2分），，…（4分）
故所求的线性回归方程为．…（6分）
（2）由题意得，年利润，…（10分）
所以，预测当年产量为2.5吨时，年利润最大，最大利润为6.25万元．…（12分）
20.解：（1）函数的定义域为（-∞，+∞），
则f（-x）===-=-f（x），
则f（x）为奇函数．
（2）f（x）===1-，
则f（x）在R上的单调性递增，
证明：设x1＜x2
，
则f（x1）-f（x2）=1--（1-）=（-）=，
∵x1＜x2，
∴＜，
∴-＜0，
即f（x1）-f（x2）＜0，
即f（x1）＜f（x2），即函数为增函数．
（3）若存在实数t，使不等式f（x-t）+f（x2-t2）≥0对一切x∈[1，2]恒成立，
则f（x2-t2）≥-f（x-t）=f（t-x）．
即x2-t2≥t-x．
即x2+x≥t2+t恒成立，
设y=x2+x=（x+）2-，
∵x∈[1，2]，
∴y∈[2，6]，
即t2+t≤2，
即t2+t-2≤0．
解得-2≤t≤1，
即存在实数t，当-2≤t≤1时使不等式f（x-t）+f（x2-t2）≥0对一切x∈[1，2]恒成立．
21.解：（1）a=1时，f（x）=xlnx-x2，
则f′（x）=lnx+1-x，
则f′（1）=0，
故切线方程是：y+=0（x-1），
即y=-；
（2）函数g（x）=f（x）-x有两个相异的极值点x1，x2，
即g′（x）=lnx-ax=0有两个不同的实数根，
①当a≤0时，g′（x）单调递增，
g′（x）=0不可能有两个不同的实根；
②当a＞0时，设h（x）=lnx-ax，，
当时，h′（x）＞0，h（x）单调递增；
当时，h′（x）＜0，h（x）单调递减；
∴，∴，
（3）不妨设x2＞x1＞0，∵
，
∴lnx2-ax2=0，lnx1-ax1=0，lnx2-lnx1=a（x2-x1），
要证，即证，
即证，
令，即证，设，
则，
函数φ（t）在（1，+∞）单调递减，
∴φ（t）＜φ（1）=0，
∴．
22.解：（1）曲线C的极坐标方程ρ=化为ρ2sin2θ=4ρcosθ，
得到曲线C的直角坐标方程为y2=4x，
故曲线C是顶点为O（0，0），焦点为F（1，0）的抛物线；
（2）直线l的参数方程为（ t为参数，0≤α＜π）．
故l经过点（0，1）；
若直线l经过点（1，0），则，
∴直线l的参数方程为（t为参数）．
代入y2=4x，得t+2=0
设A、B对应的参数分别为t1，t2，则t1+t2=-6，t1t2=2．
|AB|=|t1-t2|===8．