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- 2021-04-14 发布
高三期末考试理科重点班
数学试题
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
2.设变量满足约束条件，则目标函数的最小值为（ ）
A． B． C．0 D．1
3.阅读下边的程序框图，运行相应的程序，则输出的值为（ ）
A．4 B． 5 C． 6 D． 7
4.已知是钝角三角形，若，且的面积为，则（ ）
A． B． C. D．3
5.设是公比为的等比数列，则“”是“为单调递增数列”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C.充要条件 D．既不充分也不必要条件
6. 已知数列 满足 ，则“ 数列为等差数列” 是“ 数列
为 等差数列” 的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．即不充分也不必要条件
7. 执行如图所示的程序框图，则输出的 （ ）
A． B． C. D．
8.在展开式中， 二项式系数的最大值为 ，含项的系数为，则（ ）
A． B． C. D．
9. 设实数满足约束条件，则的最小值为 （ ）
A． B． C. D．
10. 现有一半球形原料，若通过切削将该原料加工成一正方体工件，则所得工件体积与原料体积之比的最大值为 （ ）
A． B． C. D．
11. 已知为坐标原点，是双曲线的左焦点，分别为的左、右顶点，为上一点，且轴， 过点 的直线与线段交于点，与轴交于点，直线 与轴交于点，若，则 的离心率为 （ ）
A． B． C. D．
12. 已知函数 ，则使得 成立的的取值范围是（ ）
A． B．
C. D．
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13. 向量在向量上的投影为 .
14.函数的最小值为 .
15.设为椭圆 的左、右焦点，经过的直线交椭圆于两点，若 是面积为的等边三角形，则椭圆的方程为 ．
16. 已知是函数在内的两个零点，则 ．
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17. （本小题满分12分）在中,角、、所对的边分别为、、.已知.
（1）求；
（2）若，求.
18. （本小题满分12分）
已知函数.
（1）求的最小正周期；
（2）当时，的最小值为2，求的值.
19. （本小题满分12分）在四棱锥中，底面是边长为的菱形，.
（1）证明：平面；
（2）若，求二面角 的余弦值．
20. （本小题满分12分）已知抛物线，圆.
（1）若抛物线的焦点在圆上，且为 和圆 的一个交点，求；
（2）若直线与抛物线和圆分别相切于点，求的最小值及相应的值．
21. （本小题满分12分）已知函数.
（1）求的最大值；
（2）当时，函数有最小值． 记的最小值为，求函
数的值域．
22. （本小题满分10分）（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程．
已知在直角坐标系下的参数方程为，以坐标原点O为极点，x
轴的正半轴为极轴建立极坐标系，有曲线:.
（Ⅰ）将的方程化为普通方程，并求出的直角坐标方程；
（Ⅱ）求曲线和两交点之间的距离.
理科数学参考答案
一、 选择题：
1-5DACBD 6-10ACDBA 11-12AD
二、填空题：
13. 14. （15）＋＝1 （16）
三、解答题：
（17）解：
（Ⅰ）由正弦定理得：
2sinBcosB＝sinAcosAcosB－sinBsin2A－sinCcosA
＝sinAcos(A＋B)－sinCcosA
＝－sinAcosC－sinCcosA
＝－sin(A＋C)
＝－sinB，
∵sinB≠0，
∴cosB＝－，B＝． …6分
（Ⅱ）由b2＝a2＋c2－2accosB，b＝a，cosB＝－得
c2＋ac－6a2＝0，解得c＝2a， …10分
由S△ABC＝acsinB＝a2＝2，得a＝2． …12分
（18）（本小题满分12分）
解：（I）函数
， ……………………4分
（19）解：
（Ⅰ）证明：连接AC，则△ABC和△ACD
都是正三角形．
取BC中点E，连接AE，PE，
因为E为BC的中点，
所以在△ABC中，BC⊥AE，
因为PB＝PC，所以BC⊥PE，
又因为PE∩AE＝E，
所以BC⊥平面PAE，又PAÌ平面PAE，
所以BC⊥PA．
同理CD⊥PA，
又因为BC∩CD＝C，
所以PA⊥平面ABCD．
…6
（Ⅱ）如图，以A为原点，建立空间直角坐标系A-xyz，
则B(，－1，0)，D(0，2，0)，P(0，0，2)，
＝(0，2，－2)，＝(－，3，0)，
设平面PBD的法向量为m＝(x，y，z)，
则cosám，nñ＝＝，
所以二面角A-PD-B的余弦值是．
（20）解：
（Ⅰ）由题意得F(1，0)，从而有C：x2＝4y．
解方程组，得yA＝－2，所以|AF|＝－1．
（Ⅱ）设M(x0，y0)，则切线l：y＝(x－x0)＋y0，
整理得x0x－py－py0＝0．
由|ON|＝1得|py0|＝＝，
所以p＝且y－1＞0，
所以|MN|2＝|OM|2－1＝x＋y－1＝2py0＋y－1
＝＋y－1＝4＋＋(y－1)≥8，当且仅当y0＝时等号成立，
所以|MN|的最小值为2，此时p＝．
（21）解：
（Ⅰ）f′(x)＝（x＞0），
当x∈(0，e)时，f′(x)＞0，f(x)单调递增；
当x∈(e，＋∞)时，f′(x)＜0，f(x)单调递减，
所以当x＝e时，f(x)取得最大值f(e)＝．
（Ⅱ）g′(x)＝lnx－ax＝x(－a)，由（Ⅰ）及x∈(0，e]得：
①当a＝时，－a≤0，g′(x)≤0，g(x)单调递减，
当x＝e时，g(x)取得最小值g(e)＝h(a)＝－．
②当a∈[0，)，f(1)＝0≤a，f(e)＝＞a，
所以存在t∈[1，e)，g′(t)＝0且lnt＝at，
当x∈(0，t)时，g′(x)＜0，g(x)单调递减，
当x∈(t，e]时，g′(x)＞0，g(x)单调递增，
所以g(x)的最小值为g(t)＝h(a)．
令h(a)＝G(t)＝－t，
因为G′(t)＝＜0，所以G(t)在[1，e)单调递减，此时G(t)∈(－，－1]．
综上，h(a)∈[－，－1]．
（22）解：
22.解：（1）消参后得为.
由得
的直角坐标方程为.…………5分
（2）圆心到直线的距离
…………10分
23.解：(1)由得，
即 ………5分
（2）由(Ⅰ)知令
则
∴的最小值为4，故实数的取值范围是．………10分