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- 2021-04-14 发布
绝密★启用前 试卷类型：A
厦门外国语学校2017-2018学年第二学期月考
高二理科数学试题
1. 本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，试卷满分为100分，考试时间90分钟。
2. 请将答案填写到答题卡上。
注意事项：1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和准考证号填写在答题卡和答卷密封线内相应的位置上，用2B铅笔将自己的准考证号填涂在答题卡上。
2.选择题每小题选出答案后，有2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；不能答在试卷上。
3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔在答卷纸上作答，答案必须写在答卷纸各题目指定区域内的相应位置上，超出指定区域的答案无效；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。
4.考生必须保持答题卡的整洁和平整。
第Ⅰ卷（选择题共60分）
一、选择题
1．已知为虚数单位，复数，则=（ ）
（A） （B） （C） （D）
2． 设椭圆（，）的右焦点与抛物线的焦点相同，离心率为，则
此椭圆的方程为（ ）
（A） （B） （C） （D）
3．通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，算得，χ2≈7.8.附表：
P(χ2≥k)
0.050
0. 010
0.001
k
3.841
6.635
10.828
参照附表，得到的正确结论是( )
（A）有99.9%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”
（B）有99.9%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”
(C)有99%以上的把握认为“爱好该项运动和性别有关”
(D)有99%以上的把握认为“爱好该项运动和性别无关”
4．如图所示，阴影部分的面积为（ ）
（A） （B） （C） （D）
5．已知空间四面体的每条棱长都等于1，点分别是的中点，则等于（ ）
（A） （B） （C） （D）
6．我国古代有着辉煌的数学研究成果．《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《孙子算经》、……《缉古算经》等10部专著，有着十分丰富多彩的内容，是了解我国古代数学的重要文献．这10部专著中有7部产生于魏晋南北朝时期．某中学拟从这10部专著中选择2部作为“数学文化”校本课程学习内容，则所选2部专著中至少有一部是魏晋南北朝时期专著的概率为（ ）
（A） （B） （C） （D）
7．甲命题：若随机变量，若，则.乙命题：随机变量，且，，则，则正确的是 （ ）
A．甲正确乙错误 B．甲错误乙正确 C．甲错误乙也错误 D．甲正确乙也正确
8．展开式中常数项为 （ ）
（A）－252 （B）252 （C）－160 （D）160
9．把数列的各项按顺序排列成如下的三角形状，记表示第行的第个数，例如，若，则=（ ）
（A） 6 （B） 7 （C） 8 （D） 15
10．由1、2、3、4、5、6组成没有重复数字且1、3都不与5相邻的六位偶数的个数是（ ）
（A） （B） （C） （D）
11．设椭圆的左、右焦点分别为点.已知动点在椭圆上,且点不共线,若的周长的最小值为，则椭圆的离心率为（ ）
（A） （B） （C） （D）
12．已知函数与函数的图象上存在关于轴对称的点，则实数的取值范围为（ ）
（A） （B） （C） （D）
二、填空题
13．已知命题，命题，若是的必要不充分条件，则实
数的取值范围是_________
14．已知的展开式中的系数为，则 _____________
15．已知为定义在(0,+∞)上的可导函数,且恒成立,则不等式的解集为________________
16．已知点是抛物线的对称轴与准线的交点，点为抛物线的焦点，在抛物线上且满足，当取最大值时，点恰好在以，为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为__________
三、解答题
17．某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费（单位：千元）对年销售量（单位：）和年利润（单位：千元）的影响，对近13年的宣传费和年销售量数据作了初步处理，得到右图的散点图及一些统计量的值．
由散点图知，按建立关于的回归方程是合理的．令，则，经计算得如下数据：
10.15
109.94
0.16
-2.10
0.21
21.22
最小二乘法求线性回归方程系数公式
（Ⅰ）根据以上信息，建立关于的回归方程；
（Ⅱ）已知这种产品的年利润与的关系为．根据（1）的结果，求当年宣传费时，年利润的预报值是多少？
18．设函数.
（Ⅰ）若曲线在点处与直线相切，求的值；
（Ⅱ）求函数的单调区间与极值点.
19．某次数学知识比赛中共有6个不同的题目，每位同学从中随机抽取3个题目进行作答，已知这6个题目中，甲只能正确作答其中的4个，而乙正确作答每个题目的概率均为，且甲、乙两位同学对每个题目的作答都是相互独立、互不影响的.
（Ⅰ）求甲、乙两位同学总共正确作答3个题目的概率；
（Ⅱ）如果需在甲乙中选择一位代表班级去参加比赛，你认为应该派谁去？请说明理由
20．如图，多面体中，为正方形，，二面角的余弦值为，且.
（Ⅰ）证明：平面平面；
（Ⅱ）求平面与平面所成锐二面角的余弦值.
21．已知椭圆的焦点坐标分別为，为椭圆上一点，满足且
(1) 求椭圆的标准方程:
(2) 设直线与椭圆交于两点，点，若，求的取值范围.
22．已知．
（Ⅰ）若时，在上为单调递增函数，求实数的取值范围
（Ⅱ）若存在两个极值点且，求实数的取值范围．
答案
第Ⅰ卷（选择题共60分）
一、 选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题所给的四个答案中有且只有一个答案是正确的．）
1．已知为虚数单位，复数，则=（B ）
（A） （B） （C） （D）
2． 设椭圆（，）的右焦点与抛物线的焦点相同，离心率为，则
此椭圆的方程为 （ B ）
（A） （B） （C） （D）
3．通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，算得，χ2≈7.8.附表：
P(χ2≥k)
0.050
0. 010
0.001
k
3.841
6.635
10.828
参照附表，得到的正确结论是( C )
（A）有99.9%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”
（B）有99.9%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”
(C)有99%以上的把握认为“爱好该项运动和性别有关”
(D)有99%以上的把握认为“爱好该项运动和性别无关”
4．如图所示，阴影部分的面积为（ B ）
（A） （B） （C） （D）
5．已知空间四面体的每条棱长都等于1，点分别是的中点，则等于（B ）
（A） （B） （C） （D）
6．我国古代有着辉煌的数学研究成果．《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《孙子算经》、……《缉古算经》等10部专著，有着十分丰富多彩的内容，是了解我国古代数学的重要文献．这10部专著中有7部产生于魏晋南北朝时期．某中学拟从这10部专著中选择2部作为“数学文化”校本课程学习内容，则所选2部专著中至少有一部是魏晋南北朝时期专著的概率为（ A ）
（A） （B） （C） （D）
7．甲命题：若随机变量，若，则.乙命题：随机变量，且，，则，则正确的是 （ D ）
A．甲正确乙错误 B．甲错误乙正确 C．甲错误乙也错误 D．甲正确乙也正确
8．展开式中常数项为 （ A ）
（A）－252 （B）252 （C）－160 （D）160
9．把数列的各项按顺序排列成如下的三角形状，记表示第行的第个数，例如，若，则=（B ）
（A） 6 （B） 7 （C） 8 （D） 15
10．由1、2、3、4、5、6组成没有重复数字且1、3都不与5相邻的六位偶数的个数是（ C ）
（A） （B） （C） （D）
11．设椭圆的左、右焦点分别为点.已知动点在椭圆上,且点不共线,若的周长的最小值为，则椭圆的离心率为（ A ）
（A） （B） （C） （D）
12．已知函数与函数的图象上存在关于轴对称的点，则实数的取值范围为（ C ）
（A） （B） （C） （D）
二、填空题
13．已知命题，命题，若是的必要不充分条件，则实
数的取值范围是_________
14．已知的展开式中的系数为，则 _____________
15．已知为定义在(0,+∞)上的可导函数,且恒成立,则不等式
的解集为________________
16．已知点是抛物线的对称轴与准线的交点，点为抛物线的焦点，在抛物线上且满足，当取最大值时，点恰好在以，为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为__________
三、解答题
17．某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费（单位：千元）对年销售量（单位：）和年利润（单位：千元）的影响，对近13年的宣传费和年销售量数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．
由散点图知，按建立关于的回归方程是合理的．令，则，经计算得如下数据：
10.15
109.94
0.16
-2.10
0.21
21.22
最小二乘法求线性回归方程系数公式
（1）根据以上信息，建立关于的回归方程；
（2）已知这种产品的年利润与的关系为．根据（1）的结果，求当年宣传费时，年利润的预报值是多少？
解：（1），，
则关于的回归方程为．
（2）依题意，
当时，， 所以年利润的预报值是1090.4.
18．设函数.
（Ⅰ）若曲线在点处与直线相切，求的值；
（Ⅱ）求函数的单调区间与极值点.
解：（Ⅰ）,∵曲线在点处与直线相切，
∴
（Ⅱ）∵,
当时，，函数在上单调递增，
此时函数没有极值点.
当时，由，
当时，，函数单调递增，
当时，，函数单调递减，
当时，，函数单调递增，
∴此时是的极大值点，是的极小值点.
19．某次数学知识比赛中共有6个不同的题目，每位同学从中随机抽取3个题目进行作答，已知这6个题目中，甲只能正确作答其中的4个，而乙正确作答每个题目的概率均为，且甲、乙两位同学对每个题目的作答都是相互独立、互不影响的.
（1）求甲、乙两位同学总共正确作答3个题目的概率；
（2）若甲、乙两位同学答对题目个数分别是，由于甲所在班级少一名学生参赛，故甲答对一题得15分，乙答对一题得10分，求甲乙两人答对的题数及两人得分之和的期望.
（1）由题意可知共答对3题可以分为3种情况：甲答对1题乙答对2题；甲答对2题乙答对1题；甲答对3题乙答对0题.故所求的概率
（2）的所有取值有1，2，3.
，，，故.
由题意可知，故.所以选乙.
20如图，多面体中，为正方形，，
,二面角的余弦值为，且.
（1）证明：平面平面；
（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值.
.解：（1）证明：∵，由勾股定理得：
又正方形中，且
∴平面，又∵面，
∴平面平面
（2）由（1）知是二面角的平面角
作于，则
且由平面平面，平面平面，面
所以，面
取中点，连结，则，如图，建立空间直角坐标系，
则
∴
又，知的一个方向向量
设面法向量，则
取，得
又面一个法向量为：∴
设平面与平面所成锐二面角为，则
21．已知椭圆的焦点坐标分別为，为椭圆上一点，满足且
(1) 求椭圆的标准方程:
(2) 设直线与椭圆交于两点，点，若，求的取值范围.
【答案】（1）；（2）
22．已知．
（Ⅰ）若时，在上为单调递增函数，求实数的取值范围
（Ⅱ）若存在两个极值点且，求实数的取值范围.解：（1）
（2）， ∴，
令,时，无极值点，
时，令得：或，
由的定义域可知且，
∴且，解得：， ∴为的两个极值点，
即 且，得：
=，
令，
①时,，∴，∴，
∴在递减，，
即时，成立，符合题意；
②时，，∴,
∴在（0，1）递减，， ∴时，，不合题意，
综上，．