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- 2021-04-14 发布
专题5：三角函数的图象与性质(两课时)
班级 姓名
一、前测训练
1．(1) 若，且为第四象限角，则的值等于_____________
答案：
解析：由，且为第四象限角，则，则
(2)已知sinα＋2cosα＝0，则2sinαcosα－cos2α的值是______________.
答案：－1
解析：由已知可得，sinα＝－2cosα，即tanα＝－2
2sinαcosα－cos2α＝
(3)已知sinα＋cosα＝，α∈(0，π)，则cosα－sinα＝ ，tanα＝ ．
答案：－；－
解析：sinα＋cosα＝，α∈(0，π)，且sinα＋cos2α＝1，得到sinα＝，cosα＝－
2． (1) 函数y＝的定义域为 ．
答案：[kπ＋ ，kπ＋]，k∈Z
解析： sin(2x－)≥0，则2kπ≤2x－≤2kπ＋π，则x∈[kπ＋ ，kπ＋]
(2) 函数y＝sin(2x＋)，x∈[0，]的值域为 ．
答案： [，1]
解析：x∈[0，]，∴2x＋∈[，]，∴sin(2x＋)∈[，1]
(3) 函数单调减区间为 ．
答案：[＋，＋]，k∈Z
解析：2kπ≤3x－≤2kπ＋π，则x∈[＋，＋]
(4)函数y＝sin(2x＋)的对称轴方程为 ；对称中心坐标为 ．
答案：x＝＋，k∈Z；(－，0) ，k∈Z
解析：对成轴：2x＋＝＋2kπ即x＝＋
对称中心的横坐标满足2x＋＝kπ，则对称中心坐标为 (－，0) ，k∈Z
3．(1)函数的值域是 ．
答案： [，]
解析：§科§网Z§X§X§K]
，所以f(x)∈. [，]
(2)函数y＝4sin2x－12cosx－1，x Î[－，]的值域为 ．
答案：[－13，8]
解析：y＝4(1－cos2x)－12cosx－1，令cosx＝t，则t∈[－，1]
y＝－4t－12t＋3在t∈[－，1]上单调递减，
∴y∈[－13，8]
(3)函数y＝sinx＋cosx＋2sinxcosx＋2(x∈[0，π])的值域为 ．
答案：[，3＋]
解析：令sinx＋cosx＝t，t＝sin（x＋），则t∈[－1，]
sinx＋cosx＝t两边平方，得到2sinxcosx＝t－1，
∴y＝t＋t－1，则t＝－时，y取得最小值；t＝时，y取得最大值3＋
(4)函数y＝的值域为 ．
答案： (－∞，0]
提示：方法一：看作斜率，数形结合处理；
方法二：导数法处理．
解析：点A（cosx，sinx）在以原点为圆心、1为半径的圆上，B（1，－1）
则的几何意义是直线AB的斜率，通过作图观察，可以得到y＝的值域为(－∞，0]
4．(1)已知函数y＝Asin(2x＋φ)的对称轴为x＝，则φ的值为 ．
答案：kπ＋，k∈Z
解析：2×＋φ＝＋kπ，得到φ＝＋kπ
(2)已知函数y＝cos(2x＋φ)为奇函数，求φ的值为 ．
答案：kπ＋，k∈Z
5．已知函数f(x)＝Asin(wx＋φ)，x∈R (其中A＞0，w＞0，0＜φ＜)的图象与x轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为，且图象上一个最低点为M(,－2)，则f(x)的解析式为 ．
答案：f(x)＝2sin(2x＋)
解析： ＝，得到ω＝2；ω×＋φ＝＋2kπ，得到φ＝
二、方法联想
1．三角函数求值
(1) 知一求其余三角函数值；
(2)关于sinα与cosα的齐次式，同除cosa或cos2a，如果不是齐次，借助1＝sin2α＋cos2α构造齐次．
(3)sinα＋cosα，sinα－cosα，sinαcosα间关系式
sinα＋cosα
sinα－cosα
sinαcosα
sinα和cosα
tanα
sin2α
注意
根据角的范围确定三角函数值正负．无法确定正负时可根据三角函数值的正负(或与特殊角的三角函数值)缩小角的范围．
变式1、已知θ是第三象限角，且sinθ－2cosθ＝－，则sinθ＋cosθ＝ ．
答案：－
解析：构造方程组，求解sinθ，cosθ
(构造方程组求解sinθ，cosθ)
变式2、若tanα＝ ，则cosα＋2sin2α＝________
答案：
解析：根据正切，求正余弦；或者添分母1＝sin2α＋cos2α构造齐次分式．
（已知三角函数正切值，求二次齐次式值）
变式3、定义在区间[0,3π]上的函数y＝sin2x的图象与y＝cosx的图象的交点个数是 .
答案：7
解析：由，
因为，所以共7个
（已知三角函数值求角）
2．y＝Asin(ωx＋φ)的性质
对于y＝Asin(ωx＋φ)，将ωx＋φ看成整体，转化为y＝sinx，解决其定义域、值域、对称轴、中心对称点问题．
形如y＝asin2ωx＋bsinωxcosωx＋ccos2ωx的形式
方法 先利用降幂公式化为一次形式，将用辅助角公式化为y＝Asin(2ωx＋φ)形式求值域．
形如①含有sin2x，cosx(或sinx)和cos2x，sinx(或cosx)形式；②含有sinx±cosx，sinxcosx
方法 利用换元法转化为二次函数值域问题．
形如分子、分母含有sinx，cosx的一次形式
方法1 化为sin(ωx＋φ)＝M形式，再得用三角函数的有界性(|sinx|≤1，|cosx|≤1)求值域．
方法2 导数法
变式1、为得到函数的图像,只需将函数的图像向左平移 个单位. 答案：
(先平移后伸缩)
变式2、已知函数f(x)＝cosωx＋sinωxcosωx（ω＞0）的周期为π. 当x∈[0，]时，求函数f(x)的值域.
答案：[0，＋1]
（化为一个三角函数，求解函数的值域）
3．求f(x)＝Asin(wx＋j)＋B(A＞0)的解析式
方法 (1)由周期T＝得w；
(2)由得
(3)将点代入求j(尽量代入最高点或最低点)．
变式1、设函数,若存在实数,使得对任意,都有成立,则的最小值为 .
答案：2
(最值与周期)
4．三角函数对称问题
方法 对于函数y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)
①若x＝x0为对称轴Ûf(x0)＝±A．
②若(x0，0)为中心对称点Ûf(x0)＝0．
推论：对于函数y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)
①若函数y＝f(x)为偶函数Ûf(0)＝±A．
②若函数y＝f(x)为奇函数Ûf(0)＝0．
变式1、已知函数,若是偶函数,则 .
答案：
(函数名的转换)
变式2、已知函数f(x)＝sin(2x＋)(0≤x＜π)，且f(α)＝f(β)＝(α≠β)，则α＋β＝ [来源:学#科#网]
答案：
解析：直接求角或者利用三角函数的对称性
（已知三角函数值求角）
变式3、已知函数f(x)＝sin(wx＋j)(ω＞0,－≤φ≤),x＝－ 为f(x)的零点，x＝为y＝f(x)图像的对称轴,且f(x)在(,)单调,则ω的最大值为________
答案：9
(已知三角函数对称轴和单调性等性质，求参数范围)
三、例题分析
例1 已知函数f(x)＝2sinx－2cosx．
(1)若x∈[0，π]，求f(x)的最大值和最小值；
(2)若f(x)＝0，求的值．[来源:学科网ZXXK]
解 (1) ．
(2)2－．
解析：（1）＝4sin(x－)
x∈[0,π]，则x－∈[－，]，∴
（2），∴sin(x－)＝0,∴x－＝kπ,∴x＝＋kπ，∴tanx＝
又
＝＝＝2－
〖教学建议〗
(1)主要问题归类与方法：
求三角函数周期、单调区间、最值等性质的问题
化为y＝Asin(ωx＋φ)形式，使得函数式中只含有一个一次的三角函数．
方法选择与优化建议：
采用辅助角的方法“化一”，在求最值得时候特别要注意角的范围，要防止学生只是将两个端点代入计算．
(2)主要问题归类与方法：
三角函数求值
①知一求其余三角函数值；
②关于sinα与cosα的齐次式，同除cosa或cos2a，如果不是齐次，借助1＝sin2α＋cos2α构造齐次．
方法选择与优化建议：
对于方法①，从已知的tanx值可以求得sinx、cosx的值，但是由于题目没有给定角x的范围，所以采用这个方法的话，就需要分类讨论，解决起来比较麻烦，不宜采用．
由于可以化为sinα与cosα的齐次式，所以选择②方便．
例2．已知函数f(x)＝sin2x－cosx.
(Ⅰ)求f(x)的最小周期和最小值，
(Ⅱ)将函数f(x)的图像上每一点的横坐标伸长到原来的两倍，纵坐标不变，得到函数g(x)的图像.当x[，π]时，求g(x)的值域.
答案：（Ⅰ）的最小正周期为π，最小值为，（Ⅱ）.
解析：(1) ＝sin（2x－）－
因此的最小正周期为π，最小值为.
(2)由条件可知：g(x)＝sin（x－）－.
当x∈[，π]时，有x－∈[，]，
从而sin（x－）的值域为，
那么sin（x－）－的值域为.
故在区间[，π]上的值域是.
〖教学建议〗
(1)主要问题归类与方法：
求三角函数周期、单调区间、最值等性质的问题
化为y＝Asin(ωx＋φ)形式，使得函数式中只含有一个一次的三角函数．
方法选择与优化建议：
采用展开、降幂等方法“化一”．
(2)主要问题归类与方法：
求三角函数的最值问题
常用的方法有①化为只含有一个一次的三角函数y＝Asin(ωx＋φ)形式；②通过换元等办法将函数化为二次函数处理．
方法选择与优化建议：
由第一问知道，本题可以化为只含有一个一次的三角函数y＝Asin(ωx＋φ)形式，所以选择①方便．
例3 已知向量a＝(3sinα，cosα)，b＝(2sinα， 5sinα－4cosα)，α∈(，2π)，且a⊥b．
(1)求tanα的值；
(2)求cos(＋)的值．
解 (1) tanα＝－．
(2) ．
解析：∵a⊥b，∴a·b＝0．而a＝（3sinα，cosα），b＝(2sinα, 5sinα－4cosα)，
故a·b＝6sin2α＋5sinαcosα－4cos2α＝0．
由于cosα≠0，∴6tan2α＋5tanα－4 ＝0．解之，得tanα＝－，或tanα＝．
∵α∈（），tanα＜0，故tanα＝（舍去）．∴tanα＝－．
（2）∵α∈（），∴．由tanα＝－，求得，＝2（舍去）．
∴
cos()＝＝ ＝．
〖教学建议〗
(1)主要问题归类与方法：
三角函数求值
①知一求其余三角函数值；
②关于sinα与cosα的齐次式，同除cosa或cos2a，如果不是齐次，借助1＝sin2α＋cos2α构造齐次．
方法选择与优化建议：
a⊥b化简后得到sinα与cosα的齐次式，同除以cos2a求得tanα值，所以选择方法②方便．
(2)主要问题归类与方法：
三角变换问题
方法选择与优化建议：
注意条件已知角与未知角之间的联系，从α化到
例4 已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω＞0，0≤φ≤π)是R上的偶函数，其图象关于点M对称，且在区间上是单调函数．
(1)求φ的值；
(2)求ω的值．
解（1）φ＝；
（2）ω＝或2.
解析：由f（x）是偶函数，得f（-x）=f（x），即sin（-ωx+∅）=sin（ωx+∅），
所以-cosφsinωx=cosφsinωx，
对任意x都成立，且ω＞0，所以得cosφ=0．
依题设0＜φ＜π，所以解得φ=，
由f（x）的图象关于点M对称，得f（-x）=-f（+x），
取x=0，得f（）=sin（+）=cos，∴cos＝0，
又ω＞0，得＝+kπ，k=1，2，3，∴ω=（2k+1），k=0，1，2，
当k=0时，ω=，f（x）=sin（x+）在[0，]上是减函数，满足题意；
当k=1时，ω=2，f（x）=sin（2x+）在[0，]上是减函数；
当k=2时，ω=，f（x）=sin（x+）在[0，]上不是单调函数；
所以，综合得ω＝或2.
〖教学建议〗
(1)主要问题归类与方法：
三角函数图象轴对称问题
函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω＞0，0≤φ≤π)是R上的偶函数，说明f(x)的图象关于y轴对称．
方法选择与优化建议：
从f(x)为偶函数很容易得到f(0)＝sinφ ＝±1，从而有φ＝kπ＋，这个结论要让学生理解并推理，不需要记忆．
(2)主要问题归类与方法：
三角函数图象中心对称问题
函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω＞0，0≤φ≤π)图象关于点M对称．
方法选择与优化建议：
从f＝0，可以得到cos＝0，于是＝kπ＋，ω＝k＋(k∈Z)．再结合函数的单调性推导出ω的值．
四、反馈练习
1．（1）已知sinα＝，并且α是第二象限角，则cosα等于 ．
答案：．
解析：sinα＋cos2α＝1
（2）设0≤x≤2π，且＝sinx－cosx，则x的取值范围是 ．
答案：[，]．
解析：由题意得sinx≥cosx，则x∈[，]．
（3）已知tanα＝3，且π＜α＜，则cosα－sinα＝ ．
答案：．
解析：＝3且 sinα＋cos2α＝1，得到sinα与cosα的值
（4）若cosα＋2sinα＝－，则tanα＝ ．
答案：2．
解析：结合sinα＋cos2α＝1，得到sinα与cosα的值
说明：考查同角三角函数的基本关系式。
2．（1）sin(－)的值是 .
答案：．
解析：＝sin（－）＝－sin（）＝
（2）化简 = ．
答案：．
解析：利用诱导公式
（3）设a＝sin，b＝cos，c＝tan，则a、b、c的大小关系是 ．
答案：．
解析：＝sin，利用单位圆中的三角函数线，判断大小
(4)设a,b∈R,c∈[0,2π)，若对任意实数x都有2sin(3x－)＝asin(bx＋c)，则满足条件的有序实数组(a,b,c)的组数为 .
答案:4
解析：因为，所以.
当确定时，唯一.[来源:学科网ZXXK]
若，，则；若，，则；
若，，则；若，，则；
故有4种组合.
3．（1）在同一平面直角坐标系中，函数y＝cos(＋)(x∈[0,2π])的图象和直线y＝的交点个数是 ．
答案：2．
解析：，得到y＝sin，做出图像
（2）已知ω＞0,在函数y＝2sinωx与y＝2cosωx的图像的交点中，距离最短的两个交点的距离为2，则ω ＝_____.
答案：
解析：由题根据三角函数图像与性质可得交点坐标为
, 距离最短的两个交点一定在同一个周期内， .
（3）函数f(x)＝sin(2x＋)－cos(2x＋)的最小正周期和最大值分别为_______和_______．
答案：π；
解析：展开后得到y＝sin2x
（4）函数f(x)＝cos(2x－)－2sinx的最小正周期为
答案：π
解析：展开并利用降幂公式，得到y＝sin（2x＋）－
（5）设，则函数的最小值为 .
答案：
解析：令t＝sinx∈（0，1]，利用y＝＋的单调性得到最小值
说明：考查正弦函数、余弦函数的图象和性质．
4．（1）如图所示，与函数y＝Asin(ωx＋φ)，A>0，ω>0，|φ|<的图象相对应的函数的解析式为________.
答案：y＝2sin
解析：由图得振幅，A＝2；周期T＝4π，则ω＝；x＝－时，函数取得最大值，则×（－）＋φ＝＋2kπ
（2）把函数的图像向右平移个单位，所得到的图像的函数解析式为 ，再将图像上的所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），则所得到的图像的函数解析式为 ．
答案：；．
解析：y＝sin[2（x－）＋]＝sin2x；y＝sin2×2x
（3）已知函数,,若函数在区间内单调递增,且函数的图像关于直线对称,则的值为 ．
答案：
解析：由在区间内单调递增,且的图像关于直线对称,可得 ,且,所以
（4）已知函数f(x)＝Acos(ωx＋φ)(A>0，ω>0，φ∈R)，则“f(x)是奇函数”是“φ＝”的___条件．
答案：必要不充分
解析：f(x)是奇函数，则φ＝＋kπ
（5）已知函数f(x)＝3sin(ωx－)(ω>0)和g(x)＝3cos(2x＋φ)的图象的对称中心完全相同，若x∈，则f(x)的取值范围是______．
答案：
解析：
由题意知，ω=2，
因为x∈[0，]，所以2x-∈[-，]，由三角函数图象知：
f（x）的最小值为3sin(-)=-，最大值为3sin=3，
所以f（x）的取值范围是[-，3]．
故答案为：
说明：考查函数的图像及参数对函数图像变化的影响和函数的图像与正弦曲线的关系．要特别关注其中角的整体代换思想，将问题转化为对或的图象的研究．
5． 函数f(x)＝3sin的部分图像如图所示．
(1)写出f(x)的最小正周期及图中x0，y0的值；
(2)求f(x)在区间上的最大值和最小值．
答案：（1）π；x0＝，y0＝3.
（2）0，－3
解析：(1)f(x)的最小正周期为π.
x0＝，y0＝3.
(2)因为x∈，所以2x＋∈.
于是，当2x＋＝0，
即x＝－时，f(x)取得最大值0；
当2x＋＝－，即x＝－时，f(x)取得最小值－3.
说明：考查正弦函数的图象和性质．
6．已知函数
（Ⅰ）求最小正周期；
（Ⅱ）求在区间上的最大值和最小值.
答案：（Ⅰ） ；（Ⅱ）最大值为，最小值为0
解析：
（Ⅰ）因为
所以函数的最小正周期为.
（Ⅱ）由（Ⅰ）得计算结果，
当 时，
由正弦函数在上的图象知，
当，即时，取最大值；
当，即时，取最小值.
综上，在上的最大值为，最小值为.
说明：考查正弦函数的图象和性质，方法为“化一”．
7．已知函数f(x)＝4cos ωx·sin(ω>0)的最小正周期为π.
(1)求ω的值； (2)讨论f(x)在区间上的单调性．
解 (1)ω＝1.
(2f(x)在区间上单调递增， 在区间上单调递减.
解析：（1）f（x）=4cosωxsin（ωx+）=2sinωx•cosωx+2cos2ωx=（sin2ωx+cos2ωx）＋=2sin（2ωx+）+，
所以T==π，∴ω=1．
（2）由（1）知，f（x）=2sin（2x+）+，
因为0≤x≤，所以≤2x+≤，
当≤2x+≤时，即0≤x≤时，f（x）是增函数，
当≤2x+≤时，即≤x≤时，f（x）是减函数，
所以f（x）在区间[0，]上单调增，在区间[，]上单调减．
说明：考查正弦函数的图象和性质，方法为“化一”．
7、（泰州市2016届高三第一次模拟）一个玩具盘由一个直径为米的半圆和一个矩形构成，米，如图所示．小球从点出发以的速度沿半圆轨道滚到某点处后，经弹射器以的速度沿与点切线垂直的方向弹射到落袋区内，落点记为．设弧度，小球从到所需时间为．
（1）试将表示为的函数，并写出定义域；
（2）求时间最短时的值．
说明：考查三角函数中的建模，综合应用三角、导数等知识解决问题．[来源:Zxxk.Com]
解析：（1）过作于，则，
，，，
所以，．
（2），
，
记，，
-
0
+
单调递减
极小值
单调递增
故当时，时间最短．
8 （2016年天津）已知函数f(x)=4tanxsin()cos()-.
(Ⅰ)求f(x)的定义域与最小正周期；
（Ⅱ）讨论f(x)在区间[]上的单调性.
解：令函数的单调递增区间是
由,得
设，易知.
所以, 当时, 在区间上单调递增, 在区间上单调递减.
(考查三角函数图像与性质).