2019届高三上学期期中考试数学（理）试题答案 4页

理科数学高三年级期中考试试题参考答案 ‎1-4、BDAD；5-8、CBAC；9-12、DCBC；13、；14、；15、；16、；‎ ‎17．⑴ 易知：由题设可知 ………6分 ‎ ‎⑵ 由（I）知，‎ ‎∴‎ ‎ ………12分 ‎ ‎18.⑴； ‎ ‎∴的最小正周期； ‎ 由；解得 ‎∴的单调递减区间为。 ………6分 ‎ ⑵由，，得 ‎ 又，∴‎ ‎ 又成等差数列，∴‎ ‎ 由余弦定理得，解得 ‎ 周长为 ………12分 ‎19.⑴由列联表可知，‎ ‎ .‎ ‎ ∵，‎ ‎ ∴能在犯错误的概率不超过0.15的前提下认为市使用共享单车情况与年龄有关. …………4分 ‎ ⑵①依题意，可知所抽取的10名30岁以上网民中，经常使用共享单车的有（人），‎ ‎ 偶尔或不用共享单车的有（人）.‎ ‎ 则选出的3人中至少2人经常使用共享单车的概率为. …………8分 ‎ ②由列联表，可知抽到经常使用共享单位的频率为，‎ ‎ 将频率视为概率，即从市市民中任意抽取1人，‎ ‎ 恰好抽到经常使用共享单车的市民的概率为.‎ ‎ 由题意得，∴；. …………12分 ‎20.⑴在直三棱柱中，‎ ‎ 又，平面，，‎ ‎ ∴平面，‎ ‎ 又∵平面，∴平面平面．· ……………………5分 ‎⑵由（1）可知，‎ ‎ 以点为坐标原点，为轴正方向，为轴正方向，为轴正方向，建立坐标系．设 ‎ ‎ ，，，，，，，‎ ‎ ，，· ……………………6分 ‎ 直线的方向向量，平面的法向量，‎ ‎ 可知，∴，· ……………………·8分 ‎ ，，，‎ ‎ 设平面的法向量，‎ ‎ ∴，∴，· ……………………10分 ‎ 设平面的法向量，‎ ‎ ∴，∴， ……………………11分 ‎ 记二面角的平面角为，，‎ ‎ ∴，‎ ‎ ∴二面角的平面角的正弦值为． ……………………12分 ‎21.⑴函数的定义域为，‎ ‎ ， ·········1分 ‎ ①当时，令，解得．‎ ‎ ∴的单调递减区间是，单调递增区间是； ·········2分 ‎ ②当时，令，解得或．‎ ‎ ∴在和上单调递增，在上单调递减； ·········3分 ‎ ③当时，，在上单调递增；· ········4分 ‎ ④当时，令，解得或，所以在和上单调递增，在 ‎ ‎ 上单调递减． ·········5分 ‎⑵，‎ ‎ ①当时，‎ ‎ 由（1）知，当时，‎ ‎ ，‎ ‎ 此时无零点， ·········6分 ‎ 当时，．‎ 又∵在上单调递增，∴在上有唯一的零点，‎ ‎∴函数在定义域上有唯一的零点；· ········7分 ‎②当时，‎ 由（1）知，当时，‎ ‎，此时无零点；· ········8分 当时，，‎ ‎．‎ 令，，则，，‎ ‎∵，，在上单调递增，，‎ ‎ ∴在上单调递增，得，即．‎ ‎ ∴在上有唯一的零点，故函数在定义域上有唯一的零点．·········11分 ‎ 综合①②知，当时函数在定义域上有且只有一个零点． ……………·12分 ‎22.⑴由得，化为直角坐标方程为，‎ 所以圆的直角坐标系方程为．‎ 由消得，所以直线的普通方程为．…………5分 ‎⑵显然直线过点，‎ 将代入圆的直角坐标方程得，‎ 根据直线参数方程中参数的几何意义知：． ……………………10分 ‎23.⑴若不等式有解，只需的最大值即可．‎ ‎ 因为，所以，解得，‎ ‎ 所以实数的最大值． ……………………5分 ‎（2）根据（1）知正实数，满足，‎ ‎ 由柯西不等式可知，‎ ‎ 所以，，因为，均为正实数，‎ ‎ 所以(当且仅当时取“=”)． ……………………10分