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- 2021-04-14 发布
专题20 三角形中的不等和最值问题
新课标下高考数学题中以三角形中的不等和最值问题为载体，不仅仅需要用到三角变换、正余弦定理，往往还需要涉及基本不等式以及求函数值域；纵观近几年高考对三角形的考查，三角形中的不等和最值问题已成为高考命题的一个热点.重点放在正余弦定理与三角函数性质、基本不等式和向量知识的结合上；要求学生有较强的逻辑思维能力、三角恒等变形能力以及准确的计算能力，才能顺利解答.从实际教学来看，这部分知识综合性大，涉及知识面广，学生解决感觉较困难，分析原因，除了这类题目本身有一定难度，主要是学生的三角恒等变形能力普遍较弱，还有就是没有形成解题的模式和套路，以至于遇到类似的题目便产生畏惧心理.本文就高中阶段出现这类问题加以类型的总结和方法的探讨.
1 三角形中利用边角关系求范围
三角形中的不等关系主要有：1.任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边；2.任一角都大于00而小于1800,任意两角之和也是大于00而小于1800;3.设角A是一三角形的内角,则;4.在锐角三角形中, 任意两角之和也是大于900而小于1800;5.在同一三角形中大边对大角,大角对大边等等.运用好这些不等关系,是解决与三角形有关问题的关键.
例、钝角三角形的三边为， ， ，其最大角不超过，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】钝角三角形的三边分别是a，a+1，a+2，其最大内角不超过120°，
∴，解得，故选B．
例．已知锐角三角形的三边长分别为1,3，a，那么a的取值范围( )
A．(8,10) B.(2，)
C．(2，10) D．(，8)
【答案】B
【解析】设1,3，a所对的角分别为∠C、∠B、∠A，由余弦定理知a2＝12＋32－2×3cos A＜12＋32＝10，
32＝1＋a2－2×acos B＜1＋a2，∴2＜a＜.
例．在△ABC中，B＝60°，最大边与最小边之比为(＋1)∶2，则最大角为( )
A．45° B.60°
C．75° D．90°
【答案】C
【解析】由题意可知c＜b＜a，或a＜b＜c，不妨设c＝2x，则a＝(＋1)x，
∴cos B＝.即＝∴b2＝6x2.
∴cos C＝＝＝，∴C＝45°，∴A＝180°－60°－45°＝75°.
2三角形中利用辅助角公式求范围
例、在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足cos 2C－cos 2A＝2sin·sin.
(1)求角A的值； (2)若a＝且b≥a，求2b－c的取值范围．
【解析】(1)由已知得2sin2A－2sin2C＝2cos2C－sin2C，化简得sin A＝，故A＝或.
(2)由题知，若b≥a，则A＝，又a＝，所以由正弦定理可得＝＝＝2，
得b＝2sin B，c＝2sin C，故2b－c＝4sin B－2sin C＝4sin B－2sin
＝3sin B－cos B＝2sin.
因为b≥a，所以≤B＜，≤B－＜，
所以2sin∈[，2)．即2b－c的取值范围为[，2).
3、三角形中利用基本不等式求范围
例、△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，asin Asin B＋bcos2A＝2a，则角A的取值范围是________．
【答案】.
解析：由已知及正弦定理得sin2Asin B＋sin Bcos2A＝2sin A，即sin B(sin2A＋cos2A)＝2sin A，∴sin B＝2sin A，∴b＝2a，由余弦定理得cos A＝＝＝≥＝，当且仅当c＝a时取等号，∵A为三角形的内角，且y＝cos x在(0，π)上是减函数，∴0b，所以a＋c＋b<4，所以△ABC周长的取值范围是[3,4)。
4三角形中利用辅助角公式求最值
例、在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，设S为△ABC的面积，满足S＝(a2＋b2－c2)．
(1)求角C的大小；
(2)求sinA＋sinB的最大值．
【解析】(1)由题意可知absin C＝·2abcos C，所以tan C＝，因为0＜C＜π，所以C＝.
(2)由已知sin A＋sin B＝sin A＋sin(π－C－A)＝sin A＋sin(－A)
＝sin A＋cos A＋sin A＝sin(A＋)≤.当△ABC为正三角形时取等号，
所以sin A＋sin B的最大值是.
例、【四川省绵阳市2020届高三诊断】△ABC的内角A．B．C的对边分别为a，b，c，
己知＝b(c－asinC).
(1)求角A的大小；
(2)设b=c，N是△ABC所在平面上一点，且与A点分别位于直线BC的两侧，
如图，若BN=4，CN=2，求四边形ABNC面积的最大值．
【答案】(1) ；(2) .
【解析】(1)∵ ，∴ cbcosA=b(c-asinC)，即ccosA=c-asinC．
由正弦定理得sinCcosA=sinC-sinAsinC，∵ sinC0，∴ cosA=1-sinA，即sinA+cosA=1．
∴ sinA+cosA=，即sin(A+)=．∵ 0