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- 2021-04-14 发布
红兴隆管理局第一高级中学
2017－2018学年度高三第一学期期中考试
数学试卷（理科）
注：卷面分值150分； 时间：120分钟。
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．集合A={x|﹣1≤x≤2}，B={x|x＜1}，则A∩（∁RB）=（ ）
A．{x|x＞1} B．{x|x≥1} C．{x|1＜x≤2} D．{x|1≤x≤2}
2．若复数z满足，其中i为虚数单位，则z=（ ）
A．1﹣i B．1+i C．﹣1﹣i D．﹣1+i
3.已知命题p：函数f (x)=|cosx|的最小正周期为2π；命题q：函数y=x3+sinx的图像关于原点中心对称，则下列命题是真命题的是（）
(A)pq (B) p q (C)(p) ( q) (D)p (q)
4．在等差数列{an}中，已知a3+a8=10，则3a5+a7=（ ）
A．10 B．18 C．20 D．28
5．如图，是某四棱锥的三视图，则该几何体的体积为（ ）
A．34 B．16 C．48 D．24
6.已知，，则（）
A. B. C. D.
7. 函数的部分
图象如图所示，则
A. B. C. D.
8.已知直线与平面满足
则下列命题一定正确的是（）
A. B.C. D.
9. 已知实数满足， 仅在处取得最大值，则的取值范围是（）
A. B. C. D.
10．将函数y=3sin（2x+）的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数（ ）
A．在区间[，]上单调递减 B．在区间[，]上单调递增
C．在区间[﹣，]上单调递减 D．在区间[﹣，]上单调递增
11.等于（ ）
A． B． C． D．
12．．已知f（x）=ln（1+x）﹣ln（1﹣x），x∈（﹣1，1）．现有下列命题：
①f（﹣x）=﹣f（x）；②f（）=2f（x）③|f（x）|≥2|x|
其中的所有正确命题的序号是（ ）
A．①②③ B．②③ C．①③ D．①②
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。
13已知等比数列{an}中，a3+a5=8，a1a5=4，则= ．
14．设函数f（x）=，若f（f（1））=2，则a的值为 ．
15．．在某次数学考试中，甲、乙、丙三名同学中只有一个人得了优秀．当他们被问到谁得到了优秀时，丙说：“甲没有得优秀”；乙说：“我得了优秀”；甲说：“丙说的是真话”．事实证明：在这三名同学中，只有一人说的是假话，那么得优秀的同学是____．
16. ．已知则的最小值是___________;
三、解答题（本题共5个小题，满分40分。请写出必要的解答过程）
17.(本小题满分12分)
已知函数
1）若点在角的终边上，求的值；
（2）若，求的最值.
18.（本小题满分12分）
如图，在直三棱柱ADF-BCE中，AB=BC=BE=2，CE=
(1)求证：AC⊥平面BDE；
(2)若EB=4EK，求直线AK与平面BDF所成角的正
19.已知数列的前项和,数列满足
（1）求证：数列是等差数列
（2）设，数列的前项和为，求满足的的最大值。
20.(本小题满分12分)
在四棱锥中，，，平面，，，为中点.
（1）证明：平面
（2）若二面角的余弦值为，
求的长.
21.已知函数
(1)若在处取得极值，求的值；
(2)讨论的单调性；
(3)证明：为自然对数的底数）.
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程.
在极坐标系中，点的坐标是，曲线的方程为.以极点为坐标原点，极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系，斜率为的直线经过点.
（1）写出直线的参数方程和曲线的直角坐标方程；
（2）若直线和曲线相交于两点，求的值.
23. （本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲.
已知函数，不等式对恒成立.
(1)求的取值范围；
(2)记的最大值为，若正实数满足，求证：.
2017-2018学年上学期期中考试理科数学试题
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．集合A={x|﹣1≤x≤2}，B={x|x＜1}，则A∩（∁RB）=（ ）
A．{x|x＞1} B．{x|x≥1} C．{x|1＜x≤2} D．{x|1≤x≤2}
【解答】解：由B={x|x＜1}，
得到CRB={x|x≥1}，
又集合A={x|﹣1≤x≤2}，
则A∩（CRB）={x|1≤x≤2}．
故选：D．
2．若复数z满足，其中i为虚数单位，则z=（ ）
A．1﹣i B．1+i C．﹣1﹣i D．﹣1+i
【解答】解：由，得z=i（1﹣i）=1+i．
故选：B．
3.已知命题p：函数f (x)=|cosx|的最小正周期为2π；命题q：函数y=x3+sinx的图像关于原点中心对称，则下列命题是真命题的是（ B ）
(A)pq (B) p q (C)(p) ( q) (D)p (q)
4．在等差数列{an}中，已知a3+a8=10，则3a5+a7=（ ）
A．10 B．18 C．20 D．28
【解答】解：由等差数列的性质得：
3a5+a7=2a5+（a5+a7）=2a5+（2a6）=2（a5+a6）=2（a3+a8）=20，
故选C．
5．如图，是某四棱锥的三视图，则该几何体的体积为（ ）
A．34 B．16 C．48 D．24
【解答】解：由图几何体是一个高为4，底面是一个长为6，宽为2的矩形的四棱锥，
故其体积为×4×2×6=16
故选B
6.已知，，则
A. B. C. D.
【试题解析】B 由可知，则. 故选B.
7. 函数的部分图象如图所示，则
A. B. C. D.
【试题解析】B 由题意可知，进而，从而. 故选B.
8.已知直线与平面满足则下列命题一定正确的是（ A ）
A. B.
C. D.
9. 已知实数满足， 仅在处取得最大值，则的取值范围是
A. B. C. D.
【试题解析】B 可行域如图所示，目标函数可化为，若目标函数仅在处取最大值，则，即. 故选B.
10．将函数y=3sin（2x+）的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数（ ）
A．在区间[，]上单调递减 B．在区间[，]上单调递增
C．在区间[﹣，]上单调递减 D．在区间[﹣，]上单调递增
【解答】解：把函数y=3sin（2x+）的图象向右平移个单位长度，
得到的图象所对应的函数解析式为：y=3sin[2（x﹣）+]．
即y=3sin（2x﹣）．
当函数递增时，由，得．
取k=0，得．
∴所得图象对应的函数在区间[，]上单调递增．
故选：B．
11.等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
试题分析:，故选D．
12．．已知f（x）=ln（1+x）﹣ln（1﹣x），x∈（﹣1，1）．现有下列命题：
①f（﹣x）=﹣f（x）；
②f（）=2f（x）
③|f（x）|≥2|x|
其中的所有正确命题的序号是（ ）
A．①②③ B．②③ C．①③ D．①②
【解答】解：∵f（x）=ln（1+x）﹣ln（1﹣x），x∈（﹣1，1），
∴f（﹣x）=ln（1﹣x）﹣ln（1+x）=﹣f（x），即①正确；
f（）=ln（1+）﹣ln（1﹣）=ln（）﹣ln（）=ln（）=ln[（）2]=2ln（）=2[ln（1+x）﹣ln（1﹣x）]=2f（x），故②正确；
当x∈[0，1）时，|f（x）|≥2|x|⇔f（x）﹣2x≥0，令g（x）=f（x）﹣2x=ln（1+x）﹣ln（1﹣x）﹣2x（x∈[0，1））
∵g′（x）=+﹣2=≥0，∴g（x）在[0，1）单调递增，g（x）=f（x）﹣2x≥g（0）=0，
又f（x）≥2x，又f（x）与y=2x为奇函数，所以|f（x）|≥2|x|成立，故③正确；
故正确的命题有①②③，
故选：A
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。
13已知等比数列{an}中，a3+a5=8，a1a5=4，则= 9 ．
【解答】解：由等比数列的性质可得a1a5=a32=4，
解得a3=2，或a3=﹣2，
当a3=2时，可得a5=8﹣a3=6，q2==3
当a3=﹣2，可得a5=8﹣a3=10，q2==﹣5，（舍去）
∴=q4=32=9
故答案为：9
14． 设函数f（x）=，若f（f（1））=2，则a的值为 ﹣5 ．
【解答】解：∵数f（x）=，f（f（1））=2，
∴f（1）=2e1﹣1=2，
∴f（f（1））=f（2）=log3（4﹣a）=2，
∴4﹣a=9，解得a=﹣5．
故答案为：﹣5．
15．．在某次数学考试中，甲、乙、丙三名同学中只有一个人得了优秀．当他们被问到谁得到了优秀时，丙说：“甲没有得优秀”；乙说：“我得了优秀”；甲说：“丙说的是真话”．事实证明：在这三名同学中，只有一人说的是假话，那么得优秀的同学是____．丙
16. ．已知则的最小值是___________;
【答案】16
【解析】
试题解析：
当且仅当时成立，所以的最小值是16.
三、解答题（本题共5个小题，满分40分。请写出必要的解答过程）
17.(本小题满分12分)
已知函数
1）若点在角的终边上，求的值；
（2）若，求的最值.
.
18.（本小题满分12分）
如图，在直三棱柱ADF-BCE中，AB=BC=BE=2，CE=
(1)求证：AC⊥平面BDE；
(2)若EB=4EK，求直线AK与平面BDF所成角的正弦值.
19.已知数列的前项和,数列满足
（1）求证：数列是等差数列
（2）设，数列的前项和为，求满足的的最大值。
20.(本小题满分12分)
在四棱锥中，，，平面，，，为中点.
（1）证明：平面
（2）若二面角的余弦值为，求的长.
1. (本小题满分12分)
【试题解析】解：取的中点为，连结
(1) 是的中点，
，且，
，
四边形为平行四边形，，
又 平面，平面
所以平面 (6分)
(2)以为坐标原点，为轴，为轴，
为轴建立如图所示的空间直角坐标系.设
，
，由题意可求得：
.
设为平面的法向量，为平面的法向量，则有：
，所以
，所以
二面角的余弦值为，
化简得，所以，即 (12分)
21.已知函数
(1)若在处取得极值，求的值；
(2)讨论的单调性；
(3)证明：为自然对数的底数）.
解：（1）是的一个极值点，则
，验证知=0符合条件…………………….（2分）
（2）
1）若=0时，
单调递增，在单调递减；
2）若
上单调递减…………………………………（4分）
3）若
再令
在-------（6分）
综上所述，若上单调递减，
若
。
若（7分）
(3)由（2）知，当
当
22（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程.
在极坐标系中，点的坐标是，曲线的方程为.以极点为坐标原点，极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系，斜率为的直线经过点.
（1）写出直线的参数方程和曲线的直角坐标方程；
（2）若直线和曲线相交于两点，求的值.
23. （本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲.
已知函数，不等式对恒成立.
(1)求的取值范围；
(2) 记的最大值为，若正实数满足，求证：.
1. (本小题满分10分)
【试题解析】解(1)由曲线的极坐标方程可得，，因此曲线的直角坐标方程为
点的直角坐标为，直线的倾斜角为，所以直线的参数方程为
为参数. (5分)
(2) 将为参数代入，有，
设，对应参数分别为，有，根据直线参数方程的几何意义有，=. (10分)
1. (本小题满分10分)
【试题解析】(1)，所以. (5分)
(2)由(1)知所以
因为，所以，又因为，所以 （当且仅当时取“”）.