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- 2021-04-14 发布
高三理数第一次月考
一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）
1.已知集合
A. {l} B. {l，2} C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
先求集合B，再求两个集合的交集.
【详解】因为，所以，因为，所以,所以,故选B.
【点睛】本题主要考查集合的交集运算，侧重考查数学运算的核心素养.
2.已知复数，其中为虚数单位.则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
先利用复数的除法法则将复数表示为一般形式，然后利用复数求模公式可求出的值.
【详解】，则，故选B .
【点睛】本题考查复数的除法法则以及复数模的计算，解题的关键就是利用复数的四则运算法则将复数表示为一般形式，考查计算能力，属于基础题.
3.下图是国家统计局今年4月11日发布的2018年3月到2019年3月全国居民消费价格的涨跌幅情况折线图．(注：2019年2月与2018年2月相比较称同比，2019年2月与2019
年1月相比较称环比)，根据该折线图，下列结论错误的是
A. 2018年3月至2019年3月全国居民消费价格同比均上涨
B. 2018年3月至2019年3月全国居民消费价格环比有涨有跌
C. 2019年3月全国居民消费价格同比涨幅最大
D. 2019年3月全国居民消费价格环比变化最快
【答案】C
【解析】
【分析】
根据折线图提供的信息逐个选项验证可得.
【详解】对于选项A，从图可以看出同比涨跌幅均为正数，故A正确；
对于选项B，从图可以看出环比涨跌幅有正数有负数，故B正确；
对于选项C，从图可以看出同比涨幅最大的是2018年9月份和2018年10月份，故C错误；
对于选项D，从图可以看出2019年3月全国居民消费价格环比变化最快，故D正确.
【点睛】本题主要考查统计图表的识别，根据折线图研究统计结论，侧重考查数据分析的核心素养.
4.数列中，已知且则
A. 19 B. 21 C. 99 D. 101
【答案】D
【解析】
分析】
利用累加法及等差数列的求和公式可求.
【详解】因为，所以，，.
上面各式相加可得，故选D.
【点睛】本题主要考查数列通项公式的求解，利用累加法求解数列通项公式时注意数列项数的变化.
5.已知双曲线的离心率为，点(4，1)在双曲线上，则该双曲线的方程为
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据离心率可得一个方程，结合双曲线过点(4，1)得另一个方程，联立可得.
【详解】因为离心率为，所以①；因为点(4，1)在双曲线上，所以②；
因为③；联立①②③可得，故选C.
【点睛】本题主要考查双曲线方程的求解，根据已知条件建立方程组是求解的关键，注意隐含关系的挖掘使用.
6.执行如图所示的程序框图，输出的结果为
A. 3，5 B. 8，13
C. 12，17 D. 21，34
【答案】B
【解析】
【分析】
结合框图的循环条件，逐步运算可得结果.
【详解】第一次运算：；第二次运算：；第三次运算：；此时结束循环，输出结果，故选B.
【点睛】本题主要考查程序框图的识别，侧重考查数学运算的核心素养.
7.已知定义在R上的奇函数满足，当时，，则
A. B. 2 C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
先根据可得函数周期，结合奇函数及解析式可得.
【详解】因为，所以周期为4，所以；因为为奇函数，所以.因为当时，，所以
，即，故选A.
【点睛】本题主要考查函数性质的应用，侧重考查数学抽象和数学运算的核心素养.
8.已知向量，若，则的最小值为（ ）
A. 12 B. C. 15 D.
【答案】B
【解析】
【分析】
因为，所以对向量坐标运算，得到，根据=可构造出基本不等式的形式，利用基本不等式求出结果.
【详解】共线，，即，
所以=，当且仅当时等号成立.
【点睛】本题考查平面向量平行的坐标运算，均值定理求最小值，考查数学的转化能力，属于基础题.
9.将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，则函数的一个单调减区间为
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
先根据平移变换求出，然后再根据正弦函数的单调区间.
【详解】把的图象向右平移个单位长度后得到，所以，所以.
令，解得，令可得一个减区间为，故选A.
【点睛】本题主要考查三角函数的单调区间求解，平移图象时，注意x的系数对解析式的影响.
10.如图，网格纸上的小正方形的边长为1，粗线条画出的图形为某几何体的三视图，则该几何体的外接球表面积为
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据三视图还原出几何体，结合几何体的特征求出其外接球的表面积.
【详解】根据三视图还原成几何体如图，
它是从一个四棱锥截下的部分,四棱锥如图，
四棱锥又可以看作是从边长为3的正方体中截取出来的，所以三棱锥的外接球就是截取它的正方体的外接球，正方体的对角线的长就是外接球的直径，所以其外接球半径为,故外接球的表面积为,故选D.
【点睛】本题主要考查三视图的识别，利用三视图还原几何体时，要注意数据的对号入座.侧重考查直观想象的核心素养.
11.已知数列：，按照从小到大的顺序排列在一起，构成一个新的数列：首次出现时为数列的
A. 第44项 B. 第76项 C. 第128项 D. 第144项
【答案】C
【解析】
【分析】
从分子分母的特点入手，找到出现前的所有项，然后确定的项数.
【详解】观察分子分母的和出现的规律：，
把数列重新分组：，
可看出第一次出现在第16组，因为，所以前15组一共有120项；
第16组的项为，所以是这一组中的第8项，故第一次出现在数列的第128项，故选C.
【点睛】本题主要考查数列的通项公式，结合数列的特征来确定，侧重考查数学建模的核心素养.
12.已知函数，在其图象上任取两个不同的点，总能使得，则实数的取值范围为
A. B. C. (1，2) D.
【答案】B
【解析】
分析】
根据可知的图象上任意两个点连线的斜率大于2，结合导数的几何意义可求.
【详解】，因为，所以；
易知当时，不符合题意；当时，，由于，所以，所以，即，故选B.
【点睛】本题主要考查导数的几何意义，曲线上任意两点的斜率问题转化为导数的几何意义，侧重考查数学建模的核心素养.
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13.杨辉三角形，又称贾宪三角形、帕斯卡三角形，是二项式系数在三角形中的一种几何排列．在我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》(1261年)
一书中用三角形解释二项和的乘方规律，称之为“杨辉三角”，由杨辉三角可以得到展开式的二项式系数．根据相关知识可求得展开式中的的系数为
【答案】
【解析】
【分析】
利用二项式定理展开式的通项公式求解.
【详解】的展开式的通项公式为，令，可得系数为.
【点睛】本题主要考查二项式定理应用，求解二项式展开式特定项时，一般是利用通项公式求解.
14.若满足约束条件则的最小值为
【答案】
【解析】
【分析】
作出可行域，平移目标式，确定最值点，求出最值.
【详解】作出可行域如图，
平移直线可得目标函数在点A处取到最小值，联立可得,代入可得的最小值.
【点睛】
本题主要考查线性规划，利用线性规划知识求解线性目标函数的最值问题，侧重考查直观想象的核心素养.
15.已知一正四棱柱(底面为正方形的直四棱柱)内接于底面半径为1，高为2的圆锥，当正四棱柱体积最大时，该正四棱柱的底面边长为
【答案】
【解析】
【分析】
根据内接关系作出截面图，建立正四棱柱和圆锥之间的关系，从而可求.
【详解】设正四棱柱的底面边长为，高为，如图
由题意可得解得，
正四棱柱的体积为，
，当时，，为增函数；当时，，为减函数；所以当时，正四棱柱体积最大，此时正四棱柱的底面边长为.
【点睛】本题主要考查组合体的内接问题，体积最大值的确定要根据目标式的特征来选择合适的方法，侧重考查直观想象的核心素养.
16.已知抛物线的焦点为F，准线为，过焦点F的直线交抛物线于A，B两点，且，若点A，B在上的投影分别为M，N，则△MFN的内切圆半径为
【答案】
【解析】
【分析】
先根据可得，直线垂直于x轴，确定△MFN的形状，然后可求其内切圆半径.
【详解】抛物线的焦点为,因为，所以直线垂直于x轴，所以,所以，,因为，所以△MFN为直角三角形，且，设其内切圆半径为，则有，解得.
【点睛】本题主要考查直线和抛物线的位置关系，内切圆的问题一般是通过面积相等来求解，侧重考查直观想象和数学运算的核心素养.
三、解答题（本大题共7小题，共70.0分）
17.已知函数正周期为.
(1)当时，求函数的最大值与最小值：
(2)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为，若，求sinC．
【答案】（1）最大值为，最小值为.（2）
【解析】
【分析】
（1）先化简函数为标准型，结合周期可得，从而可求最值；
（2）先根据求出A，结合条件及余弦定理可得关系，利用正弦定理可求sinC.
【详解】解：（1）
因为的最小正周期为，所以，可得，
故，
当时，，
所以当时，最大值为，
当时，最小值为.
（2）由可得，，
因为，所以，,
由余弦定理知，，又，
可得，解得，，
由正弦定理知，，.
【点睛】本题主要考查三角函数的性质及解三角形问题，三角函数性质问题的关键是化简，注意公式的使用，侧重考查数学运算的核心素养.
18.如图，在四棱锥中，底面ABCD为梯形，AB//CD，，AB=AD=2CD=2，△ADP为等边三角形．
(1)当PB长为多少时，平面平面ABCD?并说明理由；
(2)若二面角大小为150°，求直线AB与平面PBC所成角的正弦值．
【答案】（1）当时，平面平面，详见解析（2）
【解析】
【分析】
(1)根据平面和平面垂直可得线面垂直，从而可得,利用直角三角形知识可得的长；
(2)构建空间直角坐标系，利用法向量求解直线AB与平面PBC所成角的正弦值.
【详解】解：（1）当时，平面平面，
证明如下：在中，因为，所以，
又，，所以平面，
又平面，所以平面平面；
（2）分别取线段的中点，连接，因为为等边三角形，为的中点，所以，为的中点，所以,
又，所以，故为二面角的平面角，所以，
如图，分别以的方向以及垂直于平面向上的方向作为轴的正方向，建立空间直角坐标系，
因为，，所以，，，.
可得，，
设为平面的一个法向量，则有，
即，令，
可得，
设与平面所成角为，则有
所以直线与平面所成角的正弦值为.
【点睛】本题主要考查平面和平面垂直的性质及线面角的求解，侧重考查逻辑推理，直观想象和数学运算的核心素养.
19.手机支付也称为移动支付，是指允许用户使用其移动终端（通常是手机）对所消费的商品或服务进行账务支付的一种服务方式．随着信息技术的发展，手机支付越来越成为人们喜欢的支付方式．某机构对某地区年龄在15到75岁的人群“是否使用手机支付”的情况进行了调查，随机抽取了100人，其年龄频率分布表和使用手机支付的人数如下所示：（年龄单位：岁）
年龄段
[15，25）
[25，35）
[35，45）
[45，55）
[55，65）
[65，75]
频率
0.1
0.32
0.28
0.22
0.05
0.03
使用人数
8
28
24
12
2
1
（1）若以45岁为分界点，根据以上统计数据填写下面的2×2列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为“使用手机支付”与年龄有关？
年龄低于45岁
年龄不低于45岁
使用手机支付
不使用手机支付
（2）若从年龄在[55，65），[65，75]的样本中各随机选取2人进行座谈，记选中的4人中“使用手机支付”的人数为X，求随机变量X的分布列和数学期望．
参考数据：
P（K2≥k0）
0.025
0.010
0.005
0.001
k0
3.841
6.635
7.879
10.828
参考公式：．
【答案】（1）填表见解析，可以在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为“使用手机支付”与年龄有关（2）详见解析
【解析】
【分析】
（1）利用已知条件，求解联列表中的数值，求出K2的观测值k，即可判断结果．
（2）X的所有可能取值为0，1，2，3，求出相应的概率，得到分布列，然后求解期望即可．
【详解】解：（1）由统计表可得，低于45岁人数为70人，不低于45岁人数为30人，
可得列联表如下：
年龄低于45岁
年龄不低于45岁
使用手机支付
60
15
不使用手机支付
10
15
于是有K2的观测值．
故可以在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为“使用手机支付”与年龄有关．
（2）由题意可知，X的所有可能取值为0，1，2，3，相应的概率为：，
，
，
，
于是X的分布列为：
X
0
1
2
3
P
所以．
【点睛】本题考查离散型随机变量的分布列以及期望的求法，独立检验的应用，考查计算能力，难度一般．
20.已知椭圆的四个顶点围成的菱形的面积为，椭圆的一个焦点为圆的圆心．
(1)求椭圆的方程；
(2)若M，N为椭圆上的两个动点，直线OM，ON的斜率分别为，当时，△MON的面积是否为定值?若为定值，求出此定值；若不为定值，说明理由．
【答案】（1）（2）为定值，详见解析
【解析】
【分析】
(1)根据菱形的面积和焦点建立方程组，解方程组可得；
(2)先求弦长和三角形的高，再求面积的表达式，求出定值.
【详解】解：（1）由题意可知，，
圆的圆心为，所以，
因此，联立，解之，
故椭圆的方程为.
（2）设，当直线的斜率存在时，设方程为，
由，消可得，
则有，即，
，
所以
.
点到直线的距离，
所以.
又因为，
所以，
化简可得，满足，
代入，
当直线的斜率不存在时，由于，考虑到关于轴对称，不妨设，则点的坐标分别为,
此时，
综上，的面积为定值.
法二：设，
由题意，可得，
所以，
而
因为，所以，故为定值.
【点睛】本题主要考查椭圆方程的求解和定值问题，侧重考查数学运算的核心素养.
21.已知函数，函数图象在处的切线与x轴平行.
(1)讨论方程根的个数；
(2)设，若对于任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）见解析（2）
【解析】
【分析】
(1)先根据函数图象在处的切线与x轴平行可求的值，然后求出函数的极值，从而可得根的个数；
(2) 对于任意的，总存在，使得成立，可以转化为，进而分别求解最值即可.
【详解】解：（1），
由题意知，，即，解得，
故，此时，
则有：
x
+
0
-
0
+
单调递增
极大值
单调递减
极小值
单调递增
且当时，，当时，.
所以，当时，方程无根，当或时，方程有一根，
当或时，方程有两个根，当时，方程有三个根；
（2）由题意可知，只需，
由（1）知，当时，，
而，当时，，
当时，，在单调递减，，
所以，因为，无解，
，，无解，
，，在单调递增，，
此时，，
综上所述，实数的取值范围为.
【点睛】本题主要考查利用导数解决切线问题，方程根的问题及最值问题，侧重考查数学建模，数学运算和数学抽象的核心素养.
22.[选修4—4：坐标系与参数方程]:在直角坐标系中，直线的参数方程为（t为参数，），以坐标原点为极点，以x轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为，已知直线与曲线C交于不同的两点A，B．
(1)求直线的普通方程和曲线C的直角坐标方程；
(2)设P(1，2)，求的取值范围．
【答案】（1）直线的普通方程为. 曲线的直角坐标方程为（2）
【解析】
【分析】
(1)消去参数可得直线的普通方程，利用可以化成直角坐标方程；
(2)联立直线和曲线方程，结合参数的几何意义可求..
【详解】解：（1）因，所以，两式相减可得
直线的普通方程为.
因为，，，
所以曲线的直角坐标方程.
（2）将直线参数方程代入曲线的直角坐标方程，
整理得关于的方程： .
因为直线与曲线有两个不同的交点，所以上述方程有两个不同的解，设为，
则 ，.
并且，
注意到 ，解得.
因为直线的参数方程为标准形式，所以根据参数的几何意义，
有
，
因为，所以，.
因此的取值范围是.
【点睛】本题主要考查参数方程与普通方程的转化及极坐标方程与直角坐标方程的转化，利用参数的几何意义求解范围等，侧重考查了数学建模和数学运算的核心素养.
23.[选修4—5：不等式选讲]:已知函数．
(1)当m=2时，求不等式的解集；
(2)若的解集包含区间，求m的取值范围。
【答案】（1）（2）
【解析】
【分析】
(1)把m=2代入，利用零点分段讨论法去掉绝对值，然后求出解集；
(2) 的解集包含区间转化为恒成立问题，求出最值可得m的取值范围.
【详解】解：（1）当时，只需解不等式.
当时，不等式化为，解得；
当时，不等式化为，解得；
当时，不等式等价于，解得
综上，不等式的解集为.
（2）因为的解集包含区间，
所以当时，成立，也就是
，即成立.
解上述不等式得 ，即.
由已知条件，
所以，
解得.
所以的取值范围是.
【点睛】本题主要考查含有绝对值不等式的解法，通常是利用零点分段讨论法求解，侧重考查数学运算的核心素养.