【数学】2020届一轮复习人教A版第十六章选修4第18课　抛物线的标准方程与几何性质作业（江苏专用） 5页

随堂巩固训练(18)‎ ‎ 1. 已知抛物线C：y2＝8x的准线过双曲线－＝1(a>0，b>0)的一个焦点，且双曲线的离心率为2，则该双曲线的方程为__________．‎ ‎ 2. 设P是抛物线y2＝4x上的一个动点，则点P到点A(－1，1)的距离与点P到点(1，0)的距离之和的最小值为________．‎ ‎ 3. 已知F是抛物线y2＝x的焦点，点A，B在该抛物线上且位于x轴的两侧，·＝2，则△ABO与△AFO面积之和的最小值是__________．‎ ‎ 4. 过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，则＋＝________．‎ ‎ 5. 已知抛物线C：y2＝2px(p>0)焦点为F，过点F的直线l与抛物线C及其准线分别交于P，Q两点，＝3，则直线l的斜率为________．‎ ‎ 6. 已知抛物线C：y2＝2px(p>0)焦点为F，准线l：x＝－，点M在抛物线C上，点A在准线l上，若MA⊥l，且直线AF的斜率kAF＝－，则△AFM的面积为________．‎ ‎ 7. 已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，过点F且倾斜角为60°的直线l与抛物线C在第一、四象限分别交于A，B两点，与它的准线交于点P，则＝ ________．‎ ‎ 8. 过抛物线y＝x2的焦点F作一条倾斜角为30°的直线交抛物线于A，B两点，则AB＝________．‎ ‎ 9. 已知P，Q是抛物线x2＝y(a>0)上的两点，过P，Q两点的不同切线交于点M，若△MPQ是等边三角形，则△MPQ的面积为________．‎ ‎10. 过抛物线y2＝4x的焦点且倾斜角为30°的直线交抛物线于A，B两点，则AB＝ ________．‎ ‎11. 已知抛物线C的顶点为O(0，0)，焦点为F(0，1)．‎ ‎(1) 求抛物线的方程；‎ ‎(2) 过点F作直线交抛物线C于A，B两点，若直线AO，BO分别交直线l：y＝x－2于M，N两点，求MN的最小值．‎ ‎12. 已知过点Q的直线与抛物线C：y2＝4x交于两点A(x1，y1)，B(x2，y2)．‎ ‎(1) 求证：y1·y2为定值；‎ ‎(2) 若△AOB的面积为，O为坐标原点，求直线AB的方程．‎ ‎13. 已知抛物线C的顶点为原点，焦点F(0，c)(c>0)到直线l：x－y－2＝0的距离为.设P为直线l上的点，过点P作抛物线C的两条切线PA，PB，其中A，B为切点．‎ ‎(1) 求抛物线C的方程；‎ ‎(2) 当点P(x0，y0)为直线l上的定点时，求直线AB的方程．‎ 答案与解析 随堂巩固训练(18)‎ ‎1. x2－＝1　解析：由题意得，抛物线的准线为x＝－2，所以双曲线的一个焦点为(－2，0)，又因为e＝＝2，所以a＝1，b2＝c2－a2＝4－1＝3，故该双曲线的方程为x2－＝1.‎ ‎2. 　解析：由题意得抛物线y2＝4x的焦点F(1，0)，即点(1，0)为焦点F，故点P到点A(－1，1)的距离与点P到点(1，0)的距离之和最小时，P，A，F三点共线，d min＝AF＝＝.‎ ‎3. 3　解析：由题意得F，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＝y，x2＝y，yy＋y1y2＝2，y1‎ y2＝－2或y1y2＝1.因为A，B位于x轴两侧，所以y1y2＝－2.故S△ABO＋S△AFO＝|x1y2－x2y1|＋××|y1|＝|＋y1|＋×|y1|＝|＋y1|≥3，当且仅当＝y1时，取等号，此时△ABO与△AFO面积之和最小值3.‎ ‎4. 1　解析：由题意得抛物线的焦点为F(1，0)，准线为x＝－1.设过点F的直线方程为y＝k(x－1)，代入抛物线方程，得k2(x－1)2＝4x，化简得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，则x1x2＝1，x1＋x2＝.令点A(x1，y1)，B(x2，y2)，由抛物线性质可知AF＝x1＋1，BF＝x2＋1，故＋＝＋＝＝1.‎ ‎5. ±　解析：过点P作抛物线C的准线的垂线，垂足为P1，设PF＝k，由抛物线性质可得PF＝PP1＝k，QF＝3k，QP＝4k，在Rt△PQP1中，QP1＝＝k，则tan∠QPP1＝，故直线l的斜率为±.‎ ‎6. 9　解析：由题意得抛物线C：y2＝6x，焦点F.又因为k AF＝－，MA⊥l，所以∠MAF＝60°，又由抛物线性质得AM＝FM，故△AFM为等边三角形．又AF＝＝4FO＝6，故S△AFM＝×6×6×sin60°＝9.‎ ‎7. 　解析：设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y＝2px1，y＝2px2，AB＝x1＋x2＋p＝＝p，即有x1＋x2＝p，由直线l倾斜角为60°，则直线l的方程为y－0＝，联立抛物线方程，消去y并整理得12x2－20px＋3p2＝0，则x1x2＝，可得x1＝p，x2＝p，AP＝4p，故＝.‎ ‎8. 　解析：由题意得抛物线的焦点F(0，1)，由直线的倾斜角为30°，故直线方程为y－1＝x，联立抛物线方程，消去y并整理，得x2－x－1＝0，则x1＋x2＝，x1x2＝－4，AB＝＝＝＝.‎ ‎9. 　解析：由对称性可知点M在y轴上，则此时PM，QM的斜率分别为±，y＝ax2，y′＝2ax＝±，故PQ＝，所以S△MPQ＝×××sin 60°＝.‎ ‎10. 16　解析：由抛物线过焦点弦公式得AB＝＝＝16.‎ ‎11. 解析：(1) 由已知可设抛物线的方程为x2＝2py(p>0)，且＝1，p＝2，‎ 所以抛物线的方程为x2＝4y.‎ ‎(2) 设点A，B，‎ 所以k AO＝，k BO＝，‎ 所以直线AO的方程是y＝x.‎ 由所以x M＝，‎ 同理x N＝，‎ 所以MN＝|x M－x N|‎ ‎＝ ‎＝8.‎ 设直线AB：y＝k x＋1，因为 所以x2－4kx－4＝0，‎ 所以 且|x1－x2|＝＝4，‎ 得MN＝8||＝8.‎ 设4k－3＝t，t≠0，‎ 所以k＝，‎ ‎①当t>0时，‎ MN＝8＝2>2；‎ ‎②当t<0时，‎ MN＝2＝2≥‎ ‎2×＝，‎ 所以此时MN的最小值为，此时t＝－，‎ k＝－.‎ 综上所述，MN的最小值为.‎ ‎12. 解析：(1) 当直线AB垂直于x轴时，y2＝4×＝18，得y1＝3，y2＝－3，‎ 所以y1·y2＝－18.‎ 当直线AB不与x轴垂直时，设直线方程为y＝k(k≠0)，‎ 联立得ky2－4y－18k＝0，‎ 由根与系数的关系可得y1·y2＝－18.‎ 综上，y1·y2为定值．‎ ‎(2) 由(1)得y1＋y2＝，y1y2＝－18，‎ AB＝|y1－y2|＝·＝×.‎ 点O到直线AB的距离d＝，‎ S△OAB＝×××＝.解得k＝±.‎ 直线AB的方程为y＝±，即4x＋3y－18＝0或4x－3y－18＝0.‎ ‎【注】①分直线与x轴垂直和不垂直两种情况，当直线与x轴垂直时直接求出y1y2；当不垂直时，设出直线方程，与抛物线方程联立，利用根与系数的关系可得y1y2为定值；‎ ‎②利用弦长公式求出AB的长度，再由点到直线的距离公式求出点O到直线AB的距离，代入三角形面积公式求得k值，则直线AB的方程可求．‎ ‎13. 解析：(1) 根据题意，设抛物线C的方程x2＝4cy，由＝，结合c>0，解得c＝1，所以抛物线C的方程为x2＝4y.‎ ‎(2) 抛物线C的方程为x2＝4y，即y＝x2，求导得y′＝x.‎ 设点A(x1，y1)，B(x2，y2)(其中y1＝x，y2＝x)，则切线PA，PB的斜率分别为x1，x2，所以切线PA的方程y－y1＝(x－x1)，‎ 即x1x－2y－2y1＝0.‎ 同理可得切线PB的方程为x2x－2y－2y2＝0.‎ 因为切线PA，PB均过点P(x0，y0)，‎ 所以x1x0－2y0－2y1＝0，x2x0－2y0－2y2＝0，‎ 所以(x1，y1)，(x2，y2)为方程xx0－2y0－2y＝0的两组解，‎ 所以直线AB的方程为xx0－2y0－2y＝0.‎