2017-2018学年山东省潍坊市第七中学高二上学期期中考试数学试题 解析版 13页

2017-2018 学年山东省潍坊市第七中学高二上学期期中考试 数学试题 解析版 第Ⅰ卷（共 60 分） 一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5分,共 60 分.在每小题给出的四个选 项中，只有一项是符合题目要求的. 1.， ，下列命题正确的是（ ） A. 若 ，则 B. 若 ，则 C. 若 ，则 D. 若 ，则 【答案】B 【解析】当 ，则 ，则 ，故 错误；当 时，必有 ，则可 得 ，故 正确；令 ，则 ，满足 ，但 ，故 错误；令 ， 则 ，但 ，故 错误，故选 B. 2. 点（3,1）和点（-4,6）在直线 两侧，则的范围是（ ） A. 或 B. C. 或 D. 【答案】B 【解析】试题分析：因为点（3，1）和点（-4，6）在直线 3x-2y+a=0 的两侧， 所以，（3×3-2×1+a）[3×（-4）-2×6+a]＜0， 即：（a+7）（a-24）＜0， 解得-7＜a＜24 故选 B． 考点：本题主要考查了二元一次不等式所表示的区域的运用。 点评：准确把握点与直线的位置关系，找到图中的“界”，是解决此类问题的关键。规律是： 点在直线的同侧，代入后函数值同号，点在直线的一侧，代入后函数值异号。 3. 在等差数列 中， ，公差 ，若 ，则 的值为（ ） A. 37 B. 38 C. 19 D. 36 【答案】A 【解析】 为等差数列，首项 ， ，又公 差 ，故选 A. 4. 《几何原本》卷 2 的几何代数法（用几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理 问题的重要依据，通过这一原理，很多代数公理、定理都能够通过图形实现证明，并称之为 “无字证明”.现有如下图形： 是半圆 的直径，点 在半圆周上， 于点 ，设 ， ，直接通过比较线段 与线段 的长度可以完成的“无字证明”为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 是半圆的半径， 为圆的直径， ，由射影定理可知， ，在 中， ， ，当 与 重合时， ，所以 ，故选 D. 5. 的内角 ， ， 的对边分别为， ，.若， ，成等比数列，且 ，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】试题分析：由题意 ，即 ，所以 ． 考点：等比数列的性质，余弦定理． 6. 若实数 ， 满足 ，则 的最小值为（ ） A. -7 B. -3 C. 1 D. 9 【答案】A 【解析】 由约束条件作出可行域,如图，联立 ，解得 ，化目标函数 为 ， 由图可知，当直线 过 时，直线在 轴上的截距最大，有最小值为 ，故选 A. 7. 已知各项为正的等比数列 中， 与 的等比中项为 ，则 的最小值为（ ） A. 1 B. 8 C. D. 4 【答案】B 【解析】∵ 与 的等比中项为 ，∴ ， ∴ ，∴ 的最小值为 8. 选 B. 8. 在 中，内角 ， ， 的对边分别为， ，，若 ， ，则 的面积 为（ ） A. 3 B. C. D. 【答案】C 【解析】由余弦定理可知： ， ，即 ， ， ，故选 C. 9. 若关于 的不等式 在区间（1,4）内有解，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】试题分析：不等式 在区间 内有解等价于 ， 令 ， ，所以 ，所以 . 考点：1.二次函数求最值；2.含参一元二次不等式的解法. 10. 在 中，角 ， ， 的对边分别为， ，， 表示 的面积，若 ， ，则 =（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】由正弦定理可知 ， ， ，即 ， ， ， ， ， ， 为等腰直角三 角形， ，故选 C. 【方法点睛】本题主要考查利用正弦定理、两角和的正弦公式及三角形面积公式判断三角形 形状，属于中档题.判断三角形状的常见方法是：（1）通过正弦定理和余弦定理，化边为角， 利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断；(2)利用正弦定理、余弦定理，化角为 边，通过代数恒等变换，求出边与边之间的关系进行判断；（3）根据余弦定理确定一个内角 为钝角进而知其为钝角三角形. 11. 定义 为 个正数 ， ，··· 的“均倒数”，若已知数列 的前 项 的“均倒数”为 ，又 ，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】由已知定义，得到 ， ，即 ，当 时， ，当 时， ， 当 时也成立， ， ， ， ，故选 C. 12. 已知 ，则 的最小值为（ ） A. B. 4 C. D. 【答案】D 【解析】因 ，故 ，又因为 ，所以 ，当且仅当 ， 即 取等号，应选答案 D。 点睛：解答本题的关键是变形 ，也是解答这个问题的难点所在。通过这 一巧妙变形从而将原式化为 ，然后巧妙运用分组 组合，借助基本不等式求出其最小值为 。 第Ⅱ卷（共 90 分） 二、填空题（每题 5分，满分 20 分，将答案填在答题纸上） 13. 在 中，内角 ， ， 的对边分别为，，， ， ， ,则角 的值是_______． 【答案】 【解析】 由正弦定理可得： ， ， 由大边对大角可得： 解得 ，故答案为 . 14. 已知在等比数列 中，各项均为正数，且 ， ，则 __________．（填 数值） 【答案】1023 【解析】∵等比数列 中 ∴ ， ∴ ， ∴ +q−6=0， ∴q=2，q=−3(舍去). ∴ . 点睛：求解等比数列通项公式时，一般方法是确定首项和公比，通过题中所给条件利用基本 量列方程求解即可，等比数列的通项公式. ,公比不为 1时， , 公比为 1时，数列为常数列. 15. 对于使 成立的所以常数 中，我们把 的最小值叫做 的上确界，若正数， 且 ，则 的上确界为 ___________． 【答案】 【解析】正数 且 ，则 ，当且仅当 时，即 时取等号，故则 的上确界为 ， 故答案为 . 16. 给出下列命题： ① 中角 ， ， 的对边分别为， ，，若 ，则 ； ②， ，若 ，则 ； ③若 ，则 ； ④设等差数列 的前 项和为 ，若 ，则 . 其中正确命名的序号是____________． 【答案】①②④ 【解析】① 中， ，函数 在 上单调递减， ，所以正确；② 函数 在 上单调递增， 若 ，则 ，所以正确； ③ 符号不确定的时候， 的正负不确定，所以不正确；④等差 数列 的前 项和为 ，若 ，则 ， ，则 ， ，即 ，则 ，所以正确，故答案为①②④. 三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70分.解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤.） 17. 已知， ，分别是 中角 ， ， 的对边，且 . （1）求角 的大小； （2）若 ， ，求 的面积 . 【答案】(1) ;(2) . 【解析】试题分析：（1）根据正弦定理转化 ，得 ，求出 的值 即可得出 的值；（2）由正弦定理化简 ，得 ,再由 和 的值，利用余 弦定理得到关于 方程组，求出 的值，即可求出 的面积. 试题解析：（1）由 及正弦定理 ， 得 ，所以 ，又 ，故 . （2）由 及 ，得 . 由 及余弦定理 ， 得 .所以 ， . 故 . 18. 等差数列 的前 项和为 ，且 ， . (1)求数列 的通项公式； (2)若数列 满足 且 ，且数列 的前 项和 . 【答案】(1) ;(2) . 【解析】试题分析：(I) 设等差数列 的公差为 ，根据题意列方程求解即可； (II) ，由 ，求出 进而得 ，裂项求和即可. 试题解析： （Ⅰ）设等差数列 的公差为 ， ∵ ∴ ， 解得 ．∴ （Ⅱ）∵ ， ， 当 时， 当 时， 适合上式，所以 ． . 19. 已知函数 . (1)若对任意实数 ， 恒成立，求实数的取值范围； (2)解关于 的不等式 . 【答案】(1) ;(2)详见解析. 【解析】试题分析：（1）对讨论， 时不合题意； 合题意； ，利用判别式小于 解 不等式，求交集即可得到所求范围；（2）先将不等式 化为 ， 再对参数的取值范围进行讨论，利用一元二次不等式的解法分别解不等式即可. 试题解析：（1）当 时， 恒成立； 当 时，要使对任意实数 ， 恒成立，需满足 ， 解得 ，故实数的取值范围为 . （2）由不等式 得 ， 即 . 方程 的两根是 ， . ①当 时， ，不等式的解为 或 ； ②当 时，不等式的解为 ； ③当 时， 不等式的解为 ； ④当 时， ，不等式无解； ⑤当 时， ，不等式的解为 . 【方法点睛】本题主要考查一元二次不等式的解法、分类讨论思想，属于难题. 分类讨论思 想解决高中数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解 决含参数问题发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是将题设 条件研究透，这样才能快速找准突破点. 充分利用分类讨论思想方法能够使问题条理清晰， 进而顺利解答，希望同学们能够熟练掌握并应用与解题当中. 20. 在 中，角 ， ， 的对边分别为， ，，已知 . (1)求角 的大小； (2)若 ，求边 的取值范围. 【答案】(1) ;(2) . 【解析】试题分析：（1）由 利用正弦定理化简可得 ， 即 ，从而可求角 的大小；（2）由即 ，根据余弦定理可得 ，利用二次函数配方法求解即可. 试题解析：（1）由已知得： ，由正弦定理，得 ， ，则 ，即 ，又 ，则 . （2） ，即 ， ， 由余弦定理得： ，即 ，由 ，得 ， . 21. 某科研小组研究发现：一棵水果树的产量 (单位:百千克)与肥料费用(单位:百元)满足 如下关系: .此外，还需要投入其它成本(如施肥的人工费等) 百 元.已知这种水果的市场售价为 16 元/千克（即 16 百元/百千克），且市场需求始终供不应求. 记该棵水果树获得的利润为 （单位：百元）. (1)求 的函数关系式； (2)当投入的肥料费用为多少时，该水果树获得的利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1)详见解析;(2) 当投入肥料费用为 300 元时，种植该果树获得的最大利润为 4300 元. 试题解析：（1） （2）当 当 当且仅当 时，即 时等号成立 答：当投入的肥料费用为 300 元时，种植该果树获得的最大利润是 4300 元. 22. 已知数列 的前 项和为 ，点 在函数 图像上； (1)证明 是等差数列； (2)若函数 ，数列 满足 ，记 ，求数列 前 项和 ； (3)是否存在实数，使得当 时， 对任意 恒成立？若存在，求出最 大的实数，若不存在，说明理由. 【答案】(1)详见解析;(2) ;(3) . 【解析】试题分析：（1）由点 在函数 上可得 ，利用公式 即可得结果；（2） ，结合（1）可得 ， 利用错位相减法可得结果；（3） 对任意 恒成立， 等价于 任意 恒成立，求出 的最小项 ，令 ,解不等 式即可的结果. 试题解析：（1）由题意， ，当 时， ， 时， ， 当 时， ，也适合上式 数列 的通项公式为 ， ； 是等差数列. （2） 函数 ， 数列 满足 ， 又 ， ，···① ，···② ①-②得： ， . （3）假设存在实数，使得当 时， 对任意 恒成立， 即 任意 恒成立， ， 是递增数列， 所以只要 ，即 ，解得 或 . 所以存在最大的实数 ，使得当 时， 对任意 恒成立.