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- 2021-04-14 发布
石家庄二中2018~2019学年度高二年级第一学期
期中考试数学(理)试卷
命题人:吴建国审题人:朱秀华考试时间为120分钟总分150分
一、选择题（本题共12个小题,每小题5分,共6分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．)
1.双曲线的实轴长是( )
A.2 B. C.4 D.
2.若平面a与的法向量分别是,,则平面a与的位置关系是( )
A.平行 B.垂直 C.相交但不垂直 D.无法确定
3.已知椭圆的右焦点为,点在椭圆上,则椭圆的方程为( )
A. B. C. D.
4.双曲线的顶点到其渐近线的距离等于( )
A. B. C. D.
5.若平面的一个法向量为,A(1,0,2),B(0,-1,4), ,则点A到平面的距离为( )
A.2 B.1 C. D.
6.已知直线和直线,抛物线上一动点P到直线和直线的距离之和的最小值是( )
A. B. C. 2 D.
x2 y2
7.椭圆的左右焦点分别为,点P是椭圆上的一点,已知,则的面积为( )
A.12 B.10 C.9 D.8
8.已知直三棱柱中,∠ABC=120°,AB=2, ,则异面直线与所成角的余弦值为( )
A. B. C. D.
9.若直线l:y=ax-1与抛物线恰好有一个公共点,则实数a的值构成的集合为( )
A.{-1,0} B. C. D.
10.直线kx-y-2k+2=0恒过定点A,若点A是双曲线的一条弦的中点,则此弦所在的直线方程为( )
A.x+4y-10=0 B.2x-y-2=0 C.4x+y-10=0 D.4x-y-6=0
11.如图, 是椭圆与双曲线的公共焦点,A,B分别是,在第二、四象限的公共点若四边形为矩形,则的离心率是( )
A. B. C. D.
12.已知椭圆(a>b>0)与双曲线(m>0,n>0)有共同的焦点,且在第一象限的交点为P,满足 (其中O为原点)设,的离心率分别为当取得最小值时, 的值为( )
A. B. C. D.
二、填空题(本题共4个小题,每题5分,共20分)
13.设椭圆(a>b>0)的离心率为,长轴长为26,若曲线上的点到椭圆的两个焦点的距离的差的绝对值等于4,则曲线的标准方程为______.
14.在正方体中,M为棱的中点,则直线与平面MBC所成角的正弦值为______.
15.已知分别是椭圆 (a>b>0)的左,右焦点,现以为圆心作一个圆恰好经过椭圆中心并且交椭圆于点M,N,若过的直线是圆的切线,则椭圆的长轴长为______.
16.已知双曲线 (b>0)的左右焦点分别为,过作直线交双曲线的左支于点A,过作直线的垂线交双曲线的左支于点B,若直线AB过,则的内切圆圆心到的距离为______.
三、解答题(本题共70分,解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(10分)已知椭圆的对称轴为坐标轴且焦点在x轴上,离心率,短轴长为4.
(I)求椭圆的方程
(Ⅱ)过椭圆的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A,B两点,求AB的中点坐标及弦长.
18.(12分)如图,在三棱锥P-ABC中,PA⊥底面ABC,∠BAC=90°点D,E,N分别为棱PA,PC,BC的中点,M是线段AD的中点,PA=AC=4,AB=2.
(I)求证:MN∥平面BDE;
(Ⅱ)求二面角C-EM-N的正弦值.
19.(12分)已知抛物线与直线l:y=k(x+1)相交于A、B两点,点O为坐标原点.
(1)求的值.
(Ⅱ)若△OAB的面积等于,求直线的方程.
20.(12分)已知双曲线 (a>0,b>0)的离心率为,
(1)求双曲线C的渐近线方程.
(Ⅱ)当a=1时,直线x-y+m=0与双曲线C交于不同的两点A,B,且线段AB的中点在圆上,求m的值.
21.(12分)抛物线的焦点为F,过点F的直线交抛物线于A,B两点.
(1)若,求直线AB的斜率;
(Ⅱ)设点M在线段AB上运动,原点O关于点M的对称点为C,求四边形OACB面积的最小值.
22.(12分)已知动点M到定直线x=-4的距离是它到定点的距离的2倍.
(I)求动点M的轨迹方程.
(Ⅱ)是否存在过点P(2,1)的直线与动点M的轨迹相交于不同的两点A,B,满足?若存在,求出直线的方程;若不存在,请说明理由.
数学（理）试卷答案
一、选择
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
C
B
D
C
D
A
C
D
C
D
A
A
二、填空
13.
14.
15.
16.
三、解答题
17.解：（Ⅰ）由已知，，2b=4，∴b=2
∵
∴
∴椭圆的标准方程为： ……………………4分
（Ⅱ）椭圆的右焦点为（1，0），
∴直线AB方程为：y=2(x-1) …………………………5分
设
由
得
解得 …………………………7分
设AB中点坐标为
则
所以AB的中点为 …………………………9分
∵，
∴ …………………………10分
18.解:如图,以A为原点;分别以方向为x轴y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系依题意可得
A(0,0,0),B(2,0,0),C(0,4,0),P(0,0,4),
D(0,0,2),E(0,2,2),M(0,0,1),N(1,2,0) …………………………2
(I)证明: , .设n=(x,y,z)为平面BDE的法向量,则 ，即.不妨设z=1,可得n=(1,0,1) ……………………4分
又,可得 …………………………5分
因为平面BDE,所以MN//平面BDE. …………………………6分
(Ⅱ)易知为平面CEM的一个法向量 …………………………7分
设为平面EMN的法向量,
则，
因为, ,所以。
不妨设y=1,可得. …………………………9分
因此有,
于是. …………………………11分
所以二面角C-EM-N的正弦值为. …………………………12分
19.解:(Ⅰ)由题意可知:k≠0,
联立
整理得:
设，
显然:
∴ ………………………………14分
∴ …………………………6分
(Ⅱ)∵ ……………………9分
∴
解得: …………………………11分
∴直线的方程为:2x+3y+2=0或2x-3y+2=0 …………………………12分
20解:(Ⅰ)由题意得,∴ …………………………2分
∴,即
所以所求双曲线的渐近线方程为 …………………………5分
(Ⅱ)由(Ⅰ)得当a=1时,双曲线C的方程为 …………………………7分
设A、B两点的坐标分别为,线段AB的中点为,
由得，
△>0,且 …………………………10分
∵点在圆上,∴,:m=±1 …………………………12分
21.解:(Ⅰ)依题意知F(1,0),设直线AB的方程为x=my+1.
将直线AB的方程与抛物线的方程联立,消去x得
设，
则 …………………………2分
因为,所以.(3) …………………………4分
联立(1)(2)和(3),消去,得,所以.
所以直线AB的斜率是或 …………………………6分
(Ⅱ)由点C与原点O关于点M对称,得M是线段OC的中点,
从而点O与点C到直线AB的距离相等,
所以四边形OACB的面积等于
因为 …………………………10分
所以当m=0时,四边形OACB的面积最小,最小值是4 …………………………12分
22.解:(Ⅰ)设M(x,y)(x>-4),
由题意得 …………………………2分
即 …………………………4分
(Ⅱ)假设存在符合题意的直线,
由题意知直线斜率存在,设直线的方程为y=k(x-2)+1,
由,
消去y得
由得6k+3>0,解得1
设,
则, …………………………8分
由得
则
即
所以
整理得,解得 …………………………10分
又,所以
故存在直线满足条件,其方程为,即x-2y=0 …………………………12分