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- 2021-04-14 发布
2018届呼和浩特市高三年级第一次质量普查调研考试
理科数学
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，则集合的元素个数为（ ）
A． B． C． D．
2.已知，则复数的虚部为（ ）
A． B． C． D．
3.下列函数中，既有偶函数又在上单调递减的函数是（ ）
A． B． C． D．
4.已知，则（ ）
A． B． C. D．
5.设直线与直线的交点为；分别为上任意两点，点为的中点，若，则的值为（ ）
A． B． C. D．
6.下面程序框图的算术思路源于《几何原本》中的“辗转相除法”（如图），若输入，则输出的为（ ）
A． B． C. D．
7.某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为，俯视图为等腰直角三角形.该多面体的各个面中，面积最大的面的面积为（ ）
A． B． C. D．
8.如图为某班名学生的投篮成绩（每人投一次）的条形统计图，其中上面部分数据破损导致数据不完全.已知该班学生投篮成绩的中位数是，则根据统计图，无法确定下列哪一选项中的数值（ ）
A．球以下（含球）的人数 B．球以下（含球）的人数
C. 球以下（含球）的人数 D．球以下（含球）的人数
9.函数的部分图象如图所示，将函数图象向右平移个单位得到函数的图象，则（ ）
A． B． C. D．
10.已知球半径为，设是球面上四个点，其中
，则棱锥的体积的最大值为（ ）
A． B． C. D．
11.已知是双曲线的上、下两个焦点，过的直线与双曲线的上下两支分别交于点，若为等边三角形，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A． B． C. D．
12.已知关于的不等式存在唯一的整数解，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C. D．
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13. ．
14. 展开式中，项的系数为 ．
15.在中，，满足的实数的取值范围是 ．
16.某煤气站对外输送煤气时，用号个阀门控制，且必须遵守以下操作规则：
（i）若开启号，则必须同时开启号并且关闭号；
（ii）若开启号或号，则关闭号；
（iii）禁止同时关闭号和号，
现要开启号，则同时开启的另外个阀门是 ．
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17. 已知等差数列和递增的等比数列满足：且，
（1）分别求数列和的通项公式；
（2）设表示数列的前项和，若对任意的恒成立，求实数的取值范围.
18. 为了了解校园噪音情况，学校环保协会对校园噪音值（单位：分贝）进行了天的监测，得到如下统计表：
噪音值（单位：分贝）
频数
（1）根据该统计表，求这天校园噪音值的样本平均数（同一组的数据用该组组间的中点值作代表）.
（2）根据国家声环境质量标准：“环境噪音值超过分贝，视为重度噪音污染；环境噪音值不超过分贝，视为轻度噪音污染.”如果把由上述统计表算得的频率视作概率，回答下列问题：
（i）求周一到周五的五天中恰有两天校园出现重度噪音污染而其余三天都是轻度噪音污染的概率.
（ii）学校要举行为期天的“汉字听写大赛”校园选拔赛，把这天校园出现的重度噪音污染天数记为，求的分布列和方差.
19. 一个多面体如图，是边长为的正方形，平面.
（1）若，设与的交点为，求证：平面；
（2）求二面角的正弦值.
20. 已知椭圆的中心在原点，其中一个焦点与抛物线的焦点重合，点在椭圆上.
（1）求椭圆的方程；
（2）设椭圆的左右焦点分别为，过的直线与椭圆相交于两点，若
的面积为，求以为圆心且与直线相切的圆的方程.
21. 已知二次函数.
（1）讨论函数的单调性；
（2）设函数，记为函数极大值点，求证：.
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22.选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系中，直线（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线.
（1）求曲线被直线截得的弦长；
（2）与直线垂直的直线与曲线相切于点，求点的直线坐标.
23.选修4-5：不等式选讲
已知函数.
（1）若不等式恒成立，求实数的取值范围；
（2）设，且，求证：.
试卷答案
一、选择题
1-5:ADBDA 6-10:DBCBA 11、12：DA
二、填空题
13. 14. 15. 16. 号和号
三、解答题
17.解：（1）由题意，设等差数列的公差为，等比数列的公比为，
由则，解得（舍去）或
所以；
代入方程组得
因此，
综上，.
（2）由题意，，
由得
设
当；
当；
由数列的单调可得，
所以.
18.解：（1）由数据可知
（2）由题意，“出现重度噪音污染”的概率为，
“出现轻度噪音污染”的概率为，
设事件为“周一至周五的五天中恰有两天校园出现重度噪音污染而其余三天都是轻度噪音污染”，则
（3）由题意，则.
故分布列为
.
19.解：（1）证明：由题意可知：面
从而，
，又为中点
在中
又
面
（2）面且，如图以为原点，方向建立空间直角坐标系
从而
由（1）可知，是面的一个法向量，且
设为面的一个法向量
由
可知
令得
设为二面角的平面角，
则
从而.
20.由题意，的焦点坐标为，
故设椭圆的方程为且，
又点在椭圆上，于是
（2）设直线的方程为，
由得
由
设，其中就是上述方程的两个根，
所以
点到直线的距离为
所以
解得
设欲求圆的半径为
所以，此圆方程为.
21.解：（1）
当时，在上恒正；
所以，在上单调递增
当时，由得，
所以当时，单调递减
当时，单调递增.
综上所述，
当时，在上单调递增；
当时，
当时，单调递减；
当时，单调递增.
（2）
则
令的
当时，为增函数；
当时，为减函数；
所以，在处取得极大值，
一定有个零点，分别是的极大值点和极小值点.
设是函数的一个极大值点，则
所以，
又
所以，
此时
所以.
22.（1）将直线（为参数）化为直角坐标方程为，经过坐标原点，所以其极坐标方程为，
将代入解得，即曲线被直线截得的弦长为
.
（2）如图所示，因为直线的倾斜角为，所以，又因为，所以，所以得直线的倾斜角为，所以其极坐标方程为，将代入计算得，设点的直角坐标为，则.
23.（1）
当且仅当，即时等号成立，
所以，解得.
（2）因为，所以，
又因为，所以.