2018届二轮复习等差数列及其前n项和课件理（全国通用） 70页

第二节 等差数列及其前 n 项和 【 知识梳理 】 1. 等差数列的有关概念 (1) 定义 : ① 文字语言 : 从 ______ 起 , 每一项与它的前一项的 ___ 都等于 ___ 一个常数 . ② 符号语言 :________( n∈N * ,d 为常数 ). 第 2 项 差 同 a n+1 -a n =d (2) 等差中项 : 数列 a,A,b 成等差数列的充要条件是 A= 其中 __ 叫做 a,b 的等差中项 . 2. 等差数列的有关公式 (1) 通项公式 :a n =_________. (2) 前 n 项和公式 : S n =______________________. A a 1 +(n-1)d 3. 等差数列的性质 (1) 通项公式的推广 :a n = a m +_______(n,m∈N * ). (2) 若 {a n } 为等差数列 , 且 k+ l = m+n(k, l ,m,n∈N * ), 则 __________. ( n-m)d a k +a l =a m +a n (3) 若 {a n } 是等差数列 , 公差为 d, 则 a k ,a k+m ,a k+2m ,… (k,m∈N * ) 是公差为 ___ 的等差数列 . (4) 若 S n 为等差数列 {a n } 的前 n 项和 , 则数列 S m ,S 2m -S m , S 3m -S 2m ,… 也是等差数列 . md 【 特别提醒 】 等差数列与函数的关系 (1) 通项公式 : 当公差 d≠0 时 , 等差数列的通项公式 a n =a 1 +(n-1)d=dn+a 1 -d 是关于 n 的一次函数 , 且斜率为公差 d. 若公差 d>0, 则为递增数列 , 若公差 d<0, 则为递减数列 . (2) 前 n 项和 : 当公差 d≠0 时 ,S n = 是关于 n 的二次函数且常数项为 0. 【 小题快练 】 链接教材　练一练 1.( 必修 5P38 例 1(1) 改编 ) 已知等差数列 -8,-3,2,7,…, 则该数列的第 100 项为 ________. 【 解析 】 依题意得 , 该数列的首项为 -8, 公差为 5, 所以 a 100 =-8+99 × 5=487. 答案 : 487 2.( 必修 5P46 习题 2.3A 组 T5 改编 ) 在 100 以内的正整数中有 ______ 个能被 6 整除的数 . 【 解析 】 由题意知 , 能被 6 整除的数构成一个等差数 列 {a n }, 则 a 1 =6,d=6, 得 a n =6+(n-1)6=6n. 由 a n =6n≤100, 即 n≤ 则在 100 以内有 16 个能被 6 整除的数 . 答案 : 16 感悟考题　试一试 3.(2015· 全国卷 Ⅱ) 设 S n 是等差数列 {a n } 的前 n 项和 , 若 a 1 +a 3 +a 5 =3, 则 S 5 = 　 ( 　　 ) A.5 B.7 C.9 D.11 【 解析 】 选 A.a 1 +a 3 +a 5 =3a 3 =3⇒a 3 =1,S 5 = =5a 3 =5. 4.(2015· 广东高考 ) 在等差数列 {a n } 中 , 若 a 3 +a 4 +a 5 +a 6 +a 7 =25, 则 a 2 +a 8 =____________. 【 解析 】 因为 {a n } 是等差数列 , 所以 a 3 +a 7 =a 4 +a 6 =a 2 +a 8 =2a 5 ,a 3 +a 4 +a 5 +a 6 +a 7 =5a 5 =25, 解得 a 5 =5, 所以 a 2 +a 8 =2a 5 =10. 答案 : 10 5.(2015· 安徽高考 ) 已知数列 {a n } 中 ,a 1 =1,a n =a n-1 + (n≥2), 则数列 {a n } 的前 9 项和等于 ________. 【 解析 】 当 n ≥ 2 时 ,a n =a n-1 + , 所以 {a n } 是首项为 1, 公差为 的等差数列 , 所以 S 9 =9×1+ =9+18=27. 答案 : 27 考向一 　等差数列的性质及基本量的计算 【 典例 1】 (1)(2015· 全国卷 Ⅰ) 已知 {a n } 是公差为 1 的等差数列 ,S n 为 {a n } 的前 n 项和 , 若 S 8 =4S 4 , 则 a 10 =( 　　 ) A. B. C.10 D.12 (2)(2016· 沧州七校联考 ) 等差数列 {a n } 的前 n 项和为 S n , 已知 a 5 =8,S 3 =6, 则 S 10 -S 7 的值是　 ( 　　 ) A.24 B.48 C.60 D.72 【 解题导引 】 (1) 由 S 8 =4S 4 求出首项 , 再由 a 10 =a 1 + (10-1)d 求出 a 10 的值 . (2) 列出关于 a 1 ,d 的方程组求解 . 【 规范解答 】 (1) 选 B. 设等差数列的首项为 a 1 , 则 S 8 =8a 1 + =8a 1 +28, S 4 =4a 1 + =4a 1 +6, 因为 S 8 =4S 4 , 即 8a 1 +28=16a 1 +24, 所以 a 1 = , 则 a 10 =a 1 +(10-1)d= (2) 选 B. 设等差数列 {a n } 的公差为 d, 由题意可得 解得 则 S 10 -S 7 =a 8 +a 9 +a 10 =3a 1 +24d=48. 【 规律方法 】 等差数列运算的思想方法 (1) 方程思想 : 设出首项 a 1 和公差 d, 然后将通项公式或前 n 项和公式转化为方程 ( 组 ) 求解 . (2) 整体思想 : 当所给条件只有一个时 , 可将已知和所求结果都用 a 1 ,d 表示 , 寻求两者联系 , 整体代换即可求解 . (3) 利用性质 : 运用等差数列性质 , 可以化繁为简、优化解题过程 . 易错提醒 : 要注意性质运用的条件 , 如 m+n=p+q , 则 a m +a n =a p +a q (m,n,p,q∈N * ), 只有当序号之和相等、项数相同时才成立 . 【 变式训练 】 (2016· 成都模拟 ) 等差数列 {a n } 的前 n 项和为 S n , 若 S 15 为一确定常数 , 下列各式也为确定常数的是　 ( 　　 ) A.a 2 +a 13 　 B.a 2 a 13 C.a 1 +a 8 +a 15 　 D.a 1 a 8 a 15 【 解析 】 选 C. 等差数列中 ,S 15 =15 ， a 8 =15(a 1 +7d), a 2 +a 13 =2a 1 +13d,a 2 a 13 =(a 1 +d)(a 1 +12d),a 1 +a 8 +a 15 = 3(a 1 +7d),a 1 a 8 a 15 =a 1 (a 1 +7d)(a 1 +14d), 其中只有 a 1 +a 8 +a 15 = 为定值 . 【 加固训练 】 1. 若一个等差数列前 3 项的和为 34, 最后 3 项的和为 146, 且所有项的和为 390, 则这个数列的项数为　 ( 　　 ) A.13 　　 B.12 　 C.11 　 D.10 【 解析 】 选 A. 因为 a 1 +a 2 +a 3 =34,a n-2 +a n-1 +a n =146, a 1 +a 2 +a 3 +a n-2 +a n-1 +a n =34+146=180, 又因为 a 1 +a n =a 2 +a n-1 =a 3 +a n-2 , 所以 3(a 1 +a n )=180, 从而 a 1 +a n =60. S n = =390, 即 =390, 解得 n=13. 2. 设等差数列 {a n } 的前 n 项和为 S n , 若 S m-1 =-2,S m =0, S m+1 =3, 则 m= 　 ( 　　 ) A.3 B.4 C.5 D.6 【 解析 】 选 C. 方法一 : 由已知得 ,a m =S m -S m-1 =2,a m+1 = S m+1 -S m =3, 因为数列 {a n } 为等差数列 , 所以 d=a m+1 -a m =1, 又因为 S m = =0, 所以 m(a 1 +2)=0, 因为 m≠0, 所 以 a 1 =-2, 又 a m =a 1 +(m-1)d=2, 解得 m=5. 方法二 : 因为 S m-1 =-2,S m =0,S m+1 =3, 所以 a m =S m -S m-1 =2, a m+1 =S m+1 -S m =3, 所以公差 d=a m+1 -a m =1, 由 S n = 得 由①得 a 1 = 代入②可得 m=5. 方法三 : 因为数列 {a n } 为等差数列 , 且前 n 项和为 S n , 所以数列 也为等差数列 . 所以 即 解得 m=5. 经检验为原方程的解 . 3.(2016· 保定模拟 ) 已知等差数列 {a n } 中 ,a 1 =1,a 3 =-3. S k =-35, 则 k=________. 【 解析 】 设等差数列 {a n } 的公差为 d, 则 a n =a 1 +(n-1)d, 由于 a 1 =1,a 3 =-3, 又 a 3 =a 1 +2d, 所以 d=-2, 因此 a n =3-2n. 得 S n = =2n-n 2 , 所以 S k =2k-k 2 =-35, 即 k 2 -2k-35=0, 解得 k=7 或 k=-5, 又因为 k∈N * , 所以 k=7. 答案 : 7 考向二 　等差数列前 n 项和及性质的应用 【 典例 2】 (1)(2016· 重庆模拟 ) 已知等差数列 {a n } 中 , S 3 =8,S 6 =18, 则 a 7 +a 8 +a 9 =________. (2)(2016· 福州模拟 ) 在等差数列 {a n } 中 , 已知 a 1 =10, 前 n 项和为 S n , 若 S 9 =S 12 , 则 S n 取得最大值时 ,n=________, S n 的最大值为 ________. 【 解题导引 】 (1) 由 a 7 +a 8 +a 9 =S 9 -S 6 , 利用等差数列的前 n 项和的性质求解 . (2) 求出数列的公差 , 再根据通项公式或前 n 项和公式求解 . 【 规范解答 】 (1) 因为 {a n } 为等差数列 , 所以 S 3 ,S 6 -S 3 , S 9 -S 6 成等差数列 , 所以 2(S 6 -S 3 )=S 3 +(S 9 -S 6 ). 所以 a 7 +a 8 +a 9 =S 9 -S 6 =2(S 6 -S 3 )-S 3 =2(18-8)-8=12. 答案 : 12 (2) 方法一 : 因为 a 1 =10,S 9 =S 12 , 所以 9×10+ =12×10+ 所以 d=-1. 所以 a n =-n+11. 所以 a 11 =0, 即当 n≤10 时 ,a n >0, 当 n≥12 时 ,a n <0, 所以当 n=10 或 11 时 ,S n 取得最大值 , 且最大值为 S 10 =S 11 =10×10+ ×(-1)=55. 方法二 : 同方法一求得 d=-1. 所以 S n = 因为 n∈N * , 所以当 n=10 或 11 时 ,S n 有最大值 , 且最大值 为 S 10 =S 11 =55. 方法三 : 同方法一求得 d=-1. 又由 S 9 =S 12 得 a 10 +a 11 +a 12 =0. 所以 3a 11 =0, 即 a 11 =0. 所以当 n=10 或 11 时 ,S n 有最大值 . 且最大值为 S 10 =S 11 =55. 答案 : 10 或 11 　 55 【 母题变式 】 1. 若本例题 (2) 条件不变 , 求 a 1 +a 4 +a 7 +a 10 +…+a 268 . 【 解析 】 等差数列 {a n } 中 , 由 a 1 =10,S 9 =S 12 得 d=-1, 所以 a n =-n+11, 又 a 1 ,a 4 ,a 7 ,a 10 , … ,a 268 仍构成一个等差数列 . 且 a 268 为该数列的第 90 项 . 因此 a 1 +a 4 +a 7 +a 10 +…+a 268 = 2. 若本例题 (2) 条件不变 , 求 |a 1 |+|a 2 |+|a 3 |+…+|a n |. 【 解析 】 由 a 1 =10,S 9 =S 12 得 d=-1, 所以 a n =-n+11, 所以当 n≤11 时 ,|a 1 |+|a 2 |+|a 3 |+…+|a n |=S n = 当 n≥12 时 ,|a 1 |+|a 2 |+|a 3 |+…+|a n |=-S n +2S 11 = 综上所述 ,|a 1 |+|a 2 |+|a 3 |+…+|a n | 【 规律方法 】 1. 等差数列和的性质 在等差数列 {a n } 中 ,S n 为其前 n 项和 , 则 (1)S 2n =n(a 1 +a 2n )=…=n(a n +a n+1 ). (2)S 2n-1 =(2n-1)a n . (3) 当项数为偶数 2n 时 ,S 偶 -S 奇 =nd ; 项数为奇数 2n-1 时 ,S 奇 -S 偶 =a 中 ,S 奇 ∶ S 偶 =n∶(n-1). 2. 求等差数列前 n 项和 S n 最值的两种方法 (1) 函数法 : 利用等差数列前 n 项和的函数表达式 S n =an 2 +bn, 通过配方结合图象借助求二次函数最值的方法求解 . (2) 邻项变号法 : ①a 1 >0,d<0 时 , 满足 的项数 m 使得 S n 取得最大值 为 S m ; ② 当 a 1 <0,d>0 时 , 满足 的项数 m 使得 S n 取得最小 值为 S m . 【 变式训练 】 已知等差数列 {a n } 中 ,S n 是它的前 n 项和 , 若 S 16 >0, 且 S 17 <0, 则当 S n 最大时 n 的值为　 ( 　　 ) A.16 　 B.8 　 C.9 　 D.10 【 解析 】 选 B. 因为 S 16 = =8(a 8 +a 9 )>0, S 17 = =17a 9 <0, 所以 a 8 >0,a 9 <0, 且 d<0, 所以 S 8 最大 . 【 加固训练 】 1. 已知等差数列 {a n } 的公差为 2, 项数是偶数 , 所有奇数项之和为 15, 所有偶数项之和为 25, 则这个数列的项数为　 ( 　　 ) A.10 　 B.20 　 C.30 　 D.40 【 解析 】 选 A. 设项数为 2n, 则由 S 偶 -S 奇 =nd 得 ,25-15=2n, 解得 n=5, 故这个数列的项数为 10. 2.(2016· 抚州模拟 ) 等差数列 {a n } 和 {b n } 的前 n 项和分 别为 S n 和 T n , 且 则 = 　 ( 　　 ) 【 解析 】 选 B. 3. 在等差数列 {a n } 中 ,a 16 +a 17 +a 18 =a 9 =-36, 其前 n 项和为 S n . (1) 求 S n 的最小值 , 并求出 S n 取最小值时 n 的值 . (2) 求 T n =|a 1 |+|a 2 |+…+|a n |. 【 解析 】 (1) 设等差数列 {a n } 的首项为 a 1 , 公差为 d, 因为 a 16 +a 17 +a 18 =3a 17 =-36, 所以 a 17 =-12, 所以 d= 所以 a n =a 9 +(n-9) · d=3n-63,a n+1 =3n-60, 令 得 20≤n≤21, 所以 S 20 =S 21 = =-630, 所以当 n=20 或 21 时 ,S n 最小且最小值为 -630. (2) 由 (1) 知前 20 项小于零 , 第 21 项等于 0, 以后各项均 为正数 . 当 n≤21 时 ,T n =-S n = 当 n>21 时 ,T n =S n -2S 21 = 综上 ,T n = 考向三 　等差数列的识别与证明 【 考情快递 】 命题方向 命题视角 等差数列的识别 在具体的问题情境中 , 识别数列的等差关系 , 并解决相应的问题 等差数列的证明 主要考查等差数列的定义及递推关系的处理 【 考题例析 】 命题方向 1: 等差数列的识别 【 典例 3】 (2016· 广州模拟 ) 已知每项均大于零的数 列 {a n } 中 , 首项 a 1 =1 且前 n 项和 S n 满足 (n∈N * 且 n≥2), 则 a 61 =________. 【 解题导引 】 两边约去 再求解 . 【 规范解答 】 由已知 可得 , =2, 所以 { } 是以 1 为首项 ,2 为公差的等 差数列 , 故 =2n-1,S n =(2n-1) 2 , 所以 a 61 =S 61 -S 60 =121 2 -119 2 =480. 答案 : 480 命题方向 2: 等差数列的证明 【 典例 4】 (2016· 兰州模拟 ) 已知数列 {a n } 中 , (n≥2,n∈N * ), 数列 {b n } 满足 b n = (n∈N * ). (1) 求证 : 数列 {b n } 是等差数列 . (2) 求数列 {a n } 中的通项公式 a n . 【 解题导引 】 (1) 根据等差数列的定义证明 .(2) 先求 b n , 然后求 a n . 【 规范解答 】 (1) 因为 a n =2- (n≥2,n∈N * ), b n = 所以 n≥2 时 ,b n -b n-1 = 又 b 1 = 所以数列 {b n } 是以 为首项 ,1 为公差的等差数列 . (2) 由 (1) 知 ,b n = 则 a n = 【 技法感悟 】 1. 等差数列的识别依据 (1) 若数列 {a n } 是等差数列 , 则数列 {λa n +b } 仍为等差数列 , 公差为 λd . (2) 若 {b n },{a n } 都是等差数列 , 则 {a n ±b n } 仍为等差数列 . (3)a n =pn+q(p,q 为常数 )⇔{a n } 是等差数列 . (4) 数列 {a n } 的前 n 项和 S n =An 2 +Bn(A,B 为常数 )⇔{a n } 是等差数列 . 2. 证明等差数列的两种基本方法 (1) 定义法 : 证明 a n -a n-1 (n≥2) 为常数 . (2) 等差中项法 : 证明 2a n =a n-1 +a n+1 (n≥2). 【 题组通关 】 1.(2016· 唐山模拟 ) 已知数列 {a n } 的前 n 项和为 S n , 且满足 a n+2 =2a n+1 -a n ,a 5 =4-a 3 , 则 S 7 = 　 ( 　　 ) A.7 　　 B.12 　 C.14 　　 D.21 【 解析 】 选 C. 由 a n+2 =2a n+1 -a n , 得 a n+2 +a n =2a n+1 , 即数列 {a n } 为等差数列 , 由 a 5 =4-a 3 , 得 a 5 +a 3 =4, 则 S 7 = 2.(2016· 孝感模拟 ) 已知数列 {a n } 中 ,a 3 =2,a 7 =1, 且数列 是等差数列 , 则 a 11 = 　 ( 　　 ) 【 解析 】 选 B. 由 得 d= 所以 3.(2016· 雅安模拟 ) 有两个等差数列 2,6,10,…,190 及 2,8,14,…,200, 由这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列 , 则这个新数列的各项之和为 __________. 【 解析 】 由已知第一个数列的通项为 4n-2(n ≤ 48), 第 二个数列的通项为 6m-4(m ≤ 34), 易得这两个数列的公 共项为 2,14,26, … ,182, 共 16 项 , 可得新数列是一个首 项为 2, 公差为 12 的等差数列 , 其通项为 12n-10(n ≤ 16), 故各项之和为 =1 472. 答案 : 1 472 4.(2016· 成都模拟 ) 已知正项数列 {a n } 的前 n 项和 S n 满足 =a n +1. 求证 :{a n } 是等差数列 , 并求 a n . 【 解析 】 因为 a n >0, 所以 a 1 =S 1 = a 1 =1. 又 =a n +1, 可整理为 S n = 则 n≥2 时 ,S n-1 = 两式相减 , 得 a n = 即 可得 (a n +a n-1 )(a n -a n-1 -2)=0,a n +a n-1 ≠0. 故 a n =a n-1 +2(n≥2). 所以 {a n } 是以 1 为首项 ,2 为公差的等差数列 . 所以 a n =2n-1.