甘肃省西北师范大学附属中学2019-2020学年高一上学期中考试数学试题 10页

西北师范大学附属中学2019-2020学年高一上学期中数学考试题 一、选择题（本大题共12小题）‎ 1. 已知全集U={1，2，3，4，5，6}，集合A={1，3，4}，集合B={1，3，5}，则（∁UA）∩B=（　　）‎ A. B. C. 3,4, D. ‎ 2. 下列函数中，在区间（0，+∞）上为增函数的是（　　）‎ A. B. C. D. ‎ 3. 下列四组函数中，表示同一函数的是（　　）‎ A. , B. , C. , D. ,‎ 4. 下列函数中，其定义域和值域分别与函数的定义域和值域相同的是（    ）‎ A. B. C. D. ‎ 5. 已知f（x）在R上是偶函数，且满足f（x+3）=f（x），当时，f（x）=2x2，则f（5）=（　　）‎ A. 8 B. ‎2 ‎C. D. 50‎ 6. 若x0是方程2x=x2的一个解，则x0所在的区间为（　　）‎ A. B. C. D. ‎ 7. 已知幂函数f（x）=kxα（k∈R，α∈R）的图象过点（，），则k+α=（　　）‎ A. B. ‎1 ‎C. D. 2‎ 8. 若函数f（x）=log2（x2-ax‎-3a）在区间（-∞，-2]上是减函数，则实数a的取值范围是（　　）‎ A. B. C. , D. ‎ 9. 已知函数f（x）=，则函数y=f（1-x）的图象是（　　）‎ A. B. C. D. ‎ 1. 若函数(a＞0，且a≠1)是R上的单调函数，则实数a的取值范围是（     ）‎ A. B. C. D. ‎ 2. 已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间[0，+∞）上单调递增，若实数a满足f（log‎2a）+f（-log‎2a）＜‎2f（1），则a的取值范围是（　　）‎ A. B. C. D. ‎ 3. 对任意实数a、b定义运算⊗：a⊗b=，设f（x）=（x2-1）⊗（4+x），若函数y=f（x）+k有三个零点，则实数k的取值范围是（　　）‎ A. B. C. D. ‎ 二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）‎ 4. 函数的定义域为______．‎ 5. 方程2x+3x=k的解都在[1，2）内，则k的取值范围为______．‎ 6. f（x）=lg（4-k•2x）在（-∞，2]上有意义，则实数k的取值范围是______．‎ 7. 已知函数f（x）=x2-4x+3，g（x）=mx+3‎-2m，若对任意x1∈[0，4]，总存在x2∈[0，4]，使f（x1）=g（x2）成立，则实数m的取值范围为______．‎ 三、解答题（本大题共5小题，共70.0分）‎ 8. 已知集合A={x|x2-2x-8≤0}，B={x|x2-（‎2m-3）x+m2‎-3m≤0，m∈R}． （1）若A∩B=[2，4]，求实数m的值； （2）设全集为R，若A⊆∁RB，求实数m的取值范围． ‎ 9. 已知函数f（x）=ax+ka-x（a＞0且a≠1）是奇函数． （1）求k的值； （2）当x∈（-1，1）时，求不等式f（1-m）+f（1‎-2m）＜0成立，求m的取值范围； ‎ 1. 某公司将进货单价为8元一个的商品按10元一个出售，每天可以卖出100个，若这种商品的售价每个上涨1元，则销售量就减少10个． （1）求售价为13元时每天的销售利润； （2）求售价定为多少元时，每天的销售利润最大，并求最大利润． ‎ 2. 已知函数f（3x-2）=x-1（x∈[0，2]），函数g（x）=f（x-2）+3． （1）求函数y=f（x）与y=g（x）的解析式，并求出f（x），g（x）的定义域； （2）设h（x）=[g（x）]2+g（x2），试求函数y=h（x）的定义域，及最值． ‎ 3. 已知函数f（x）=1-在R上是奇函数． （1）求a； （2）对x∈（0，1]，不等式s•f（x）≥2x-1恒成立，求实数s的取值范围； （3）令g（x）=，若关于x的方程g（2x）-mg（x+1）=0有唯一实数解，求实数m的取值范围． ‎ 答案和解析 ‎1.【答案】A ‎ ‎【解析】解：∵U={1，2，3，4，5，6}，A={1，3，4}，B={1，3，5}， ∴∁UA={2，5，6}， ∴（∁UA）∩B={5}． 故选：A． 进行交集、补集的运算即可． 考查列举法的定义，以及交集和补集的运算． 2.【答案】A ‎ ‎【解析】解：对于A，函数y=在定义域[0，+∞）上为单调增函数，满足题意； 对于B，函数y=（x-1）2在区间（-∞，1）上是单调减函数，（1，+∞）上是单调增函数，不满足题意；　 对于C，函数y=2-x在定义域R上为单调减函数，不满足题意； 对于D，函数y=log0.5x在定义域（0，+∞）上为单调减函数，不满足题意．　　 故选：A． 根据基本初等函数的图象与性质，即可判断函数的单调性，从而得出结论． 本题考查了基本初等函数的图象与性质的应用问题，是基础题目． 3.【答案】B ‎ ‎【解析】解：A，f（x）=lgx2=2lg|x|，（x≠0），g（x）=2lgx（x＞0），定义域不同，对应法则也不同，故不为同一函数； B，f（x）=|x|与g（x）==|x|，定义域和对应法则相同，故为同一函数； C，f（x）==x+1（x≠1），g（x）=x+1（x∈R），故不为同一函数； D，f（x）=（x≥1），g（x）=（x≥1或x≤-1），定义域不同，故不为同一函数． 故选：B． 运用只有定义域和对应法则完全相同，才是同一函数，对选项一一判断，即可得到结论． 本题考查同一函数的判断，只有定义域和对应法则完全相同，才是同一函数，考查运算能力，属于基础题． 4.【答案】D ‎ ‎【解析】【分析】 本题考查函数的定义域和值域，熟练掌握各种基本初等函数的定义域和值域，是解答的关键．分别求出各个函数的定义域和值域，比较后可得答案． 【解答】 函数y=10lgx的定义域和值域均为（0，+∞）. A.函数y=x的定义域和值域均为R，不满足要求； B.函数y=lgx的定义域为（0，+∞），值域为R，不满足要求； C.函数y=2x的定义域为R，值域为（0，+∞），不满足要求； D.函数y=的定义域和值域均为（0，+∞），满足要求； 故选D． 5.【答案】B ‎ ‎【解析】解：f（x）在R上是偶函数，且满足f（x+3）=f（x）， 当时，f（x）=2x2， 则f（5）=f（2）=f（-1）=f（1）=2． 故选：B． 利用函数的周期性以及函数的解析式，转化求解即可． 本题考查函数的周期性以及函数的奇偶性的应用，函数的解析式求解函数值的求法，考查计算能力． 6.【答案】C ‎ ‎【解析】解：由题意， 当x=0时，20=1＞02=0， 当x=-1时，2-1=＜（-1）2=1． 再根据两个函数图象： 则两个函数的交点，即方程的解必在区间（-1，0）内． 故选：C． 本题先代入特殊值0，-1进行比较，然后画出两个函数图象，根据图象交点和计算可得零点所在的区间． 本题主要考查函数画图能力，代入特殊值方法的应用，以及零点判定定理的应用．本题属中档题． 7.【答案】A ‎ ‎【解析】【分析】 本题考查了幂函数的定义与性质的应用问题，是基础题． 根据幂函数f（x）的定义与性质，求出k与α的值即可．‎ 解：∵幂函数f（x）=kxα（k∈R，α∈R）的图象过点（，）， ∴k=1，=，∴α=-； ∴k+α=1-=． 故选A． ‎ ‎ 8.【答案】D ‎ ‎【解析】解：令t=x2-ax‎-3a=--‎3a，则由题意可得函数f（x）=log2t， 函数t在区间（-∞，-2]上是减函数且t＞0恒成立． ∴，求得-4≤a＜4， 故选：D． 令t=x2-ax‎-3a，则得函数f（x）=log2t ‎，由条件利用复合函数的单调性、二次函数、对数函数的性质可得，由此求得a的范围． 本题主要考查复合函数的单调性、二次函数、对数函数的性质，属于中档题． 9.【答案】C ‎ ‎【解析】解：观察四个图的不同发现，B、C图中的图象过（0，2）， 而当x=0时，y=2，故排除A、D； 又当1-x＜1，即x＞0时，f（x）＞0． 由函数y=f（1-x）的性质知，在（0，+∞）上的函数值为正，排除B． 故选：C． 由题中函数知，当x=0时，y=2，图象过点（0，2），又依据指数函数的性质知，此函数在（0，+∞）上的函数值为正，根据此两点可得答案． 本题考查对数函数、指数函数的图象与性质、数形结合，解题时应充分利用函数的图象，掌握其的性质． 10.【答案】D ‎ ‎【解析】【解答】 解：∵a＞0，∴当x＜-1时，函数f（x）为增函数， ∵函数在R上的单调函数， ∴函数为单调递增函数， 则当x≥-1时，f（x）=（）x，为增函数， 则＞1，即0＜a＜1， 同时a≥‎-2a+1， 即‎3a≥1， 即a≥， 综上≤a＜1， 故选：D． 【分析】 根据分段函数单调性的关系进行求解即可． 本题主要考查函数单调性的应用，根据分段函数单调性的性质是解决本题的关键． 11.【答案】D ‎ ‎【解析】解：根据题意，函数f（x）是定义在R上的偶函数，则f（log‎2a）=f（-log‎2a）， 则f（log‎2a）+f（-log‎2a）＜‎2f（1）⇒f（log‎2a）＜f（1）⇒f（|log‎2a|）＜f（1）， 又由f（x）在区间[0，+∞）上单调递增，则有|log‎2a|＜1，即-1＜log‎2a＜1 解可得：＜a＜2，即a的取值范围为（，2）； 故选：D． 根据题意，由函数的奇偶性分析可得f（log‎2a）+f（-log‎2a）＜‎2f（1）⇒f（log‎2a）＜f（1）⇒f（|log‎2a|）＜f（1），结合函数的单调性分析可得|log‎2a|＜1，即-1＜log‎2a＜1，解可得a的取值范围，即可得答案． 本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，涉及不等式的解法，属于基础题． 12.【答案】D ‎ ‎【解析】解：解x2-1-（4+x）≥1得x≤-2或x≥3， ∴f（x）=， 做出f（x）的函数图象，如图所示： ‎ ‎ ∵y=f（x）+k有三个零点， ∴-1＜-k≤2，即-2≤k＜1． 故选：D． 利用新定义化简f（x）解析式，做出f（x）的函数图象，根据图象即可得出k的范围． 本题考查了函数零点与函数图象的关系，不等式的解法，属于中档题． 13.【答案】（-3，0）∪（2，3） ‎ ‎【解析】解：函数， 令，解得， 即-3＜x＜0或2＜x＜3； 所以函数y的定义域为（-3，0）∪（2，3）． 故答案为：（-3，0）∪（2，3）． 根据函数y的解析式，列出使解析式有意义的不等式组，求出解集即可． 本题考查了根据函数解析式求定义域的问题，是基础题． 14.【答案】[5，10） ‎ ‎【解析】解：由题意，可知： f（x）=2x+3x在[1，2）内是增函数， 又f（1）=21+3×1=5，f（2）=22+3×2=10． ∴5≤k＜10． 故答案为：[5，10）． 本题根据f（x）=2x+3x在[1，2）内是增函数，然后代入值即可得到k的取值范围． 本题主要考查利用函数单调性求具体区间值域．本题属基础题． 15.【答案】（-∞，1） ‎ ‎【解析】解：由题意函数（4-k•2x）在（-∞，2]上，恒为正值， 即：（4-k•2x）＞0恒成立，k＜，因为2x在（-∞，2]上是增函数，所以k＜1 故答案：（-∞，1） 由题意函数（4-k•2x）在（-∞，2]上，恒为正值，（4-k•2x）＞0恒成立，解答即可． 本题考查对数函数的定义域，函数恒成立问题，指数函数单调性等知识，是中档题． 16.【答案】（-∞，-2]∪[2，+∞） ‎ ‎【解析】解：∵f（x）=x2-4x+3=（x-2）2-1．g（x）=mx+3‎-2m． ∴当x∈[0，4]时，f（x）∈[-1，3]，记A=[-1，3]． 由题意，知m≠0，当m＞0时，g（x）=mx+3‎-2m在[0，4]上是增函数， ‎ ‎∴g（x）∈[3‎-2m，‎2m+3]，记B=[3‎-2m，3+‎2m]． 由题意，知A⊆B ∴， 解得：m≥2 当m＜0时，g（x）=mx+3‎-2m在[0，4]上是减函数， ∴g（x）∈[‎2m+3，3‎-2m]，记C=[‎2m+3，3‎-2m]． 由题意，知A⊆C， ∴ 此时m≤-2， 综上所述，实数m的取值范围是（-∞，-2]∪[2，+∞）． 故答案为：（-∞，-2]∪[2，+∞）． 根据对任意的x1∈[0，4]，总存在x2∈[0，4]，使f（x1）=g（x2）成立，可得两个函数值域的包含关系，进而根据关于m的不等式组，解不等式组可得答案． 本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，存在性问题，是函数图象和性质的综合应用，其中存在性问题转化为值域的包含关系难度较大 17.【答案】解：（1）A={x|x2-2x-8≤0}={x|（x+2）（x-4）≤0}={x|-2≤x≤4}=[-2，4]， B={x|（x-m）（x-m+3）≤0，m∈R}={x|m-3≤x≤m}=[m-3，m] ∵A∩B=[2，4]， ∴，解得m=5． （2）由（1）知∁RB={x|x＜m-3，或x＞m}， ∵A⊆∁RB，∴4＜m-3，或-2＞m，解得m＜-2，或m＞7． 故实数m的取值范围为（-∞，-2）∪（7，+∞）． ‎ ‎【解析】（1）求出集合A，B，由A∩B=[2，4]，能求出m的值． （2）求出∁RB={x|x＜m-3，或x＞m}，由A⊆∁RB，能求出实数m的取值范围． 本题考查实数的取值范围的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集、子集、补集定义的合理运用． 18.【答案】解：（1）∵f（x）是R上的奇函数， ∴f（0）=1+k=0， ∴k=-1； （2）f（x）=ax-a-x，f′（x）=（ax+a-x）lna， ∴①0＜a＜1时，f′（x）＜0，f（x）在（-1，1）上单调递减，且f（x）是奇函数， ∴由f（1-m）+f（1‎-2m）＜0得，f（1-m）＜f（‎2m-1）， ∴，解得； ②a＞1时，f′（x）＞0，f（x）在（-1，1）上单调递增，且f（x）是奇函数， ∴由f（1-m）+f（1‎-2m）＜0得，f（1-m）＜f（‎2m-1）， ∴，解得， ∴0＜a＜1时，m的取值范围为；a＞1时，m的取值范围为． ‎ ‎【解析】（1）可根据条件得出f（x）是R上的奇函数，从而得出f（0）=0，从而求出k=-1； （2）f（x）=ax-a-x，求导得出f′（x）=（ax-a-x）lna，可讨论a，根据导数符号判断f（x）在（-1，1）上的单调性，这样根据f（x）是奇函数以及f（x）的单调性即可由不等式f（1-m）+f（1‎-2m）＜0得出关于m的不等式组，解不等式组即可得出m的范围． 本题考查了奇函数的定义，奇函数在原点有定义时，原点处的函数值为0，根据导数符号判断函数单调性的方法，基本初等函数的求导公式，考查了计算能力，属于基础题． 19.【答案】（本小题满分12‎ 分） 解：（1）依题意，可知售价为13元时，销售量减少了：10×（13-10）=30（个） 所以，当售价为13元时每天的销售利润为：（13-8）×（100-30）=350（元）   …（4分） （2）设售价定为x元时，每天的销售利润为y元，依题意，得y=（x-8）[100-（x-10）•10]=-10x2+280x-1600=-10（x-14）2+360（10≤x≤20） ∴当x=14时，y取得最大值，且最大值为ymax=360． 即售价定为14元时，每天的销售利润最大，最大利润为360元．…（12分） ‎ ‎【解析】（1）售价为13元时，求出销售量减少的个数，然后求解当售价为13元时每天的销售利润． （2）设售价定为x元时，每天的销售利润为y元，列出函数的解析式，利用二次函数的最值求解即可． 本题考查函数与方程的应用，列出函数的解析式是解题的关键，考查计算能力． 20.【答案】解：（1）令t=3x-2，则x=log3（t+2）-1， ∵x∈[0，2]， ∴t∈[-1，8]， ∵f（3x-2）=x-1（x∈[0，2]）， ∴f（t）=log3（t+2）-1，t∈[-1，7]， ∴f（x）=log3（x+2）-1，x∈[-1，7]，即f（x）的定义域[-1，7]， ∵g（x）=f（x-2）+3=log3x+2， ∴x-2∈[-1，7]， ∴x∈[1，9]，即g（x）的定义域[1，9]． （2）∵h（x）=[g（x）]2+g（x2）=（log3x+2）2+2+， =+6log3x+6， ∵， ∴1≤x≤3， 即函数y=h（x）的定义域[1，3]， ∵0≤log3x≤1， 结合二次函数的性质可知，当log3x=0时，函数取得最小值6， 当log3x=1时，函数取得最大值13． ‎ ‎【解析】（1）令t=3x-2，则x=log3（t+2）-1，根据已知可求f（x），进而可求g（x）； （2）结合（1）可求h（x），然后结合函数的定义域的要求有，解出x的范围，结合二次函数的性质可求． 本题考查了利用了换元法求函数的解析式及函数的定义域的求解，二次函数值域的求解，属于中档试题． 21.【答案】解：（1）由题意知f（0）=0．即， 所以a=2．此时f（x）=， 而f（-x）=， 所以f（x）为奇函数，故a=2为所求． （2）由（1）知， 因为x∈（0，1]，所以2x-1＞0，2x+1＞0， 故s•f（x）≥2x-1恒成立等价于s≥2x+1恒成立， 因为2x+1∈（2，3]，所以只需s≥3即可使原不等式恒成立． 故s的取值范围是[3，+∞）． （3）因为． 所以g（2x）-mg（x+1）=． 整理得22x‎-2m•2x-m+1=0‎ ‎． 令t=2x＞0，则问题化为t2-2mt-m+1=0有一个正根或两个相等正根． 令h（t）=t2-2mt-m+1（t＞0），则函数h（t）=t2-2mt-m+1在（0，+∞）上有唯一零点． 所以h（0）≤0或， 由h（0）≤0得m≥1， 易知m=1时，h（t）=t2-2t符合题意； 由解得， 所以m=． 综上m的取值范围是． ‎ ‎【解析】（1）根据f（0）=0可求得a的值，然后验证a的取值满足函数为奇函数； （2）分离参数法，将问题转化为函数的最值问题求解； （3）可先将方程化简，然后问题转化为一元二次方程在指定区间上根的分布问题，然后再进一步求解． 本题考查了奇函数的性质，以及不等式恒成立问题的基本思路，后者一般转化为函数的最值问题来解，第三问涉及到了利用函数思想解决方程根的分布问题． ‎