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- 2021-04-14 发布
仁寿二中高中2021届第四学期第二次月考
数学试题卷（理科）
注意事项：
1．答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号．
2．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上．
3．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效．
4．考试结束后，将答题卡交回．
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．若复数z满足，则z的实部等于
A．﹣3 B．0 C．1 D．2
2．某校高二（4）班有男生28人，女生21人，用分层抽样的方法从全体学生中抽取一个调查小组，调查该班学生对新交规的知晓情况，已知某男生被抽中的概率为，则抽取的女生人数为
A．1 B．3 C．4 D．7
3．10进位制的数13转换成3进位制数应为
A．101 B．110 C．111 D．121
4．已知命题p:对任意x∈R,总有2x>x2;q:“ab>4”是“a>2,b>2”的充分不必要条件,则下列命题为真命题的是
(A)p∧q (B)p∧q (C)p∧q (D)p∧q
8
38
5．如图为某市国庆节7天假期的楼房认购量与成交量的折线图，李明同学根据折线图对这7天的认购量（单位：套）与成交量（单位：套）作出如下判断：①日成交量的中位数是16；②日成交量超过日平均成交量的有2天；③认购量与日期正相关；④10月7日认购量的增幅大于10月7日成交量的增幅．
则上述判断正确的个数为
A．0 B．1 C．2 D．3
6．从5名志愿者中选出4人分别到A、B、C、D四个部门工作，其中甲、乙两名志愿者不能到A、B两个部门工作，其他三人能到四个部门工作，则选派方案共有
（第7题图）
A．120种 B．24种 C．18种 D．36种
7．执行如右图所示的程序框图，输出的结果是31，
则判断框中应填入
A．A＜4？
B．A＞4？
C．A＜5？
D．A＞5？
8．我国古代数学名著《九章算术》中割圆术有“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣.”其体现的是一种无限与有限的转化过程，比如在中“…”即代表无限次重复，但原式却是个定值，这可以通过方程确定，则等于
A． B． C． D．
9．若(-)n(n∈N+)展开式的二项式系数和为32,则其展开式的常数项为
A．80 B.-80 C.160 D.-160
10.甲、乙两人约定某天晚上6：00～7：00之间在某处会面，并约定甲早到应等乙半小时，
而乙早到无需等待即可离去，那么两人能会面的概率是
A． B． C． D．
11.已知定义在上的函数的导函数为，且对于任意的，都有，则
A. B.
C. D.
12. 已知函数，，若函数在上有两个零点，则实数的取值范围为
A. B． C． D．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 请将答案填写在答题卡相应的位置上．
13．已知复数＝﹣2+i，＝a+2i（i为虚数单位，a∈R）．若为实数，则a的值为 ．
（第15题图）
14. 某外商计划在4个候选城市中投资3个不同的项目,且在同一个城市投资的项目不超过2个,则该外商不同的投资方案有 种.
15. 将某选手的9个得分去掉1个最高分，去掉1个最低分，7个剩余
分数的平均分为91.现场作的9个分数的茎叶图后来有1个数据模
糊，无法辨认，在图中以表示，则7个剩余分数的方差为 ．
16. 设函数，其中，若存在唯一的整数，使得，则的取值范围是__ __．
三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤．
17．（本小题共10分）
质量指标值
频数
[190，195）
9
[195，200）
10
[200，205）
17
[205，210]
8
[210，215]
6
某企业生产的A产品被检测出其中一项质量指标存在问题，该企业为了检查生产A产品的甲、乙两条流水线的生产情况，随机地从这两条流水线上生产的大量产品中各抽取50件产品作为样本，测出它们的这一项质量指标值．若该项质量指标值落在[195，210）内，则为合格品，否则为不合格品，表格是甲流水线样本的频数分布表，图形是乙流水线样本的频率分布直方图．
（Ⅰ）根据图形，估计乙流水线生产的A产品的该质量指标值的中位数；
（Ⅱ）设某个月内甲、乙两条流水线均生产了3000件产品，若将频率视为概率，则甲、乙两条流水线生产出的合格产品分别约为多少件？
18．（本小题共12分）
在二项式的展开式中，前三项系数的绝对值成等差数列．
（Ⅰ）求展开式的第四项；
（Ⅱ）求展开式的常数项；
（III）求展开式中各项的系数和．
19．（本小题共12分）
某单位响应党中央“精准扶贫”号召，对某村6户贫困户中的甲户进行定点帮扶，每年跟踪调查统计一次，从2015年1月1日至2018年12月底统计数据如下（人均年纯收入）：
年份
2015年
2016年
2017年
2018年
年份代码x
1
2
3
4
收入y（百元）
25
28
32
35
（Ⅰ）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程，并估计甲户在2019年能否脱贫；（国家规定2019年脱贫标准：人均年纯收入为3747元）
（Ⅱ）2019年初，根据扶贫办的统计知，该村剩余5户贫困户中还有2户没有脱贫，现从这5户中抽取2户，求至少有一户没有脱贫的概率．
参考公式：，，其中，为数据x，y的平均数．
20．（本小题共12分）
在某项大型活动中,甲、乙等五名志愿者被随机地分到A,B,C,D四个不同的岗位服务,每个岗位至少有一名志愿者.
(1)求甲、乙两人同时参加A岗位服务的概率;
(2)求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率;
(3)求五名志愿者中仅有一人参加A岗位服务的概率.
21．（本小题共12分）
已知函数，其图象在点 处的切线方程为.
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）若函数在区间上单调递增,求实数的取值范围．
22．（本小题共12分）
已知函数，其中a＞0．
（Ⅰ）当a＞2时，求函数的单调性；
（Ⅱ）若函数有两个极值点x1，x2，且x1＜x2，求证：．
仁寿二中高中2021届第四学期第二次月考
数学（理科）参考答案
一、选择题：DBCDA DCABD AC
二、填空题：
13. 4 14.60 15. 16.
三、解答题：
17．解：（Ⅰ）∵前三组的频率之和为（0.012+0.032+0.048）×5＝0.46 ………2分
∴中位数位于第四组，设中位数为a，
则（a﹣205）×0.08＝0.04，解得中位数a＝205.5． 5分
（Ⅱ）由题意知甲流水线随机抽取的50件产品中
合格品有：10+17+8＝35件，
则甲流水线生产的A产品为合格品的概率是P1＝＝ ， 7分
乙流水线生产的A产品为合格品的概率是P2＝（0.032+0.048+0.080）×5＝，
某个月内甲、乙两条流水线均生产的3000件A产品中合格品件数分别约为：
3000×＝2100，3000×＝2400． 10分
18．解：（1）由题意可得，展开式的通项为Tr+1＝••，r＝0，1，2，…，n，…2分
由已知：前三项系数的绝对值成等差数列，
∴2•＝1+，求得n＝8，或n＝1（舍去）． 4分
令r＝3，可得第四项为 ． 6分
（2）令＝0，得r＝4，故展开式的常数项为•＝． 9分
（3）令x＝1，各项系数和为 ＝． 2分
19．解：（Ⅰ）根据表格中数据可得，
，， 2分
由＝，＝，可得，． 6分
∴y关于x的线性回归方程＝3.4x+21.5， 7分
当x＝5时，（百元），
∵3850＞3747，∴甲户在2019年能够脱贫； 8分
（Ⅱ）设没有脱贫的2户为A，B，另3户为C，D，E，
所有可能的情况为：AB，AC，AD，AE，BC，BD，BE，CD，CE，DE共有10种可能．
其中至少有一户没有脱贫的可能情况有7种． 10分
∴至少有一户没有脱贫的概率为． 12分
20．解：解:(1)记“甲、乙两人同时参加A岗位服务”为事件EA,
那么P(EA)==,即甲、乙两人同时参加A岗位服务的概率是.-------------4分
(2)记“甲、乙两人同时参加同一岗位服务”为事件E,那么P(E)==,所以甲、乙两人不在同一岗位服务的概率是P()=1-P(E)=.------------------------------8分
(3)有两人同时参加A岗位服务的概率P2==,
所以仅有一人参加A岗位服务的概率P1=1-P2=.---------------------------12分
21．解：⑴ …………………………………2分
由得即 …………………………………5分
⑵由⑴得, ……………6分
依题意,任意使不等式恒成立
即任意时,恒成立 ………………………8分
记,,
时,, 时,
在上递减,在上递增, ………………10分
…………………12分
22．解：（1）∵f（x）=lnx+ax2﹣2ax+a，
∴＝+2ax﹣2a＝（x＞0） 1分
当a＞2时，△＝4a2﹣8a＝4a（a﹣2）＞0，即时，令f′（x）＝0，得：
x1＝，x2＝ 2分
∴f（x）的单调递增区间（x2，+∞）和（0，x1），单调递减区间（x1，x2）
5分
（2）证明：∵f（x）在（x2，+∞）单调递增，且x2＜1，
∴f（x2）＜f（1）＝0， 6分
∵f（x）有两个极值点x1，x2，
∴a＞2．∴＜x2＜1 7分
f（x2）＝lnx2+a＞lnx2+2，
令g（x）＝lnx+2（x﹣1）2，（＜x＜1）， 8分
＝+4（x﹣1）＝＞0 9分
∴g（x）在（，1）单调递增， 10分
∴g（x）＞g（）＝﹣ln2， 11分
∴f（x2）＞﹣ln2
综上可知： 12分