2018届二轮复习极坐标参数方程的应用课件（全国通用） 22页

第十一章　圆锥曲线 第 2 节 极坐标方程的应用 【 例 1】 (2016 新课标高考 ) 在直角坐标系 xOy 中 , 曲线 C 1 的参数方程为 ( t 为参数 , a >0) . 在以坐标原点为极点 , x 轴正半轴为极轴的极坐标系中 , 曲线 C 2 : ρ= 4cos θ. (1) 说明 C 1 是哪一种曲线 , 并将 C 1 的方程化为极坐标方程 ; (2) 直线 C 3 的极坐标方程为 θ = α 0 , 其中 α 0 满足 tan α 0 =2, 若曲线 C 1 与 C 2 的公共点都在 C 3 上 , 求 a. 【 解析 】 (1) 消去 t 得到 的普通方程为 x 2 +( y- 1) 2 = a 2 . 所以 C 1 是以 (0,1) 为圆心 , a 为半径的圆 . 将 x = ρ cos θ , y = ρ sin θ 代入 C 1 的普通方程中 , 得到 C 1 的极坐标方程为 ρ 2 - 2 ρ sin θ +1 -a 2 =0 . (2) 曲线 C 1 , C 2 的公共点满足方程组 : 若 ρ ≠0, 由方程组得到 :16cos 2 θ- 8sin θ cos θ +1 -a 2 =0, 由已知 tan θ =2, 可以得到 16cos 2 θ- 8sin θ cos θ =0, 从而 1 -a 2 =0, 解得 a =1, a =-1( 舍去 ) .a= 1 时 , 极点也为 C 1 , C 2 的公共点 , 在 C 3 上 , 所以 a =1 . 专题训练 1: 直线的参数方程中 t 的几何意义题例 ( 注意 : 利用直线的参数方程时 , 必须是 ( t 为参数 ) 形式 ) 2 . 以极坐标系的极点为直角坐标系 xOy 的原点 , 极轴为 x 轴的正半轴 , 两坐标系的长度单位相同 . 已知曲线 C 的极坐标方程为 ρ =2(cos θ +sin θ ), 斜率为 的直线 l 交 y 轴于点 E (0,1) . (1) 求曲线 C 的直角坐标方程 , 直线 l 的参数方程 ; (2) 若直线 l 与曲线 C 交于 A , B 两点 , 求 | EA |+| EB | 的值 . 3 . 在直角坐标系 xOy 中 , 直线 l 的参数方程为 ( t 为参数 ), 在极坐标系 ( 与直角坐标系 xOy 取相同的长度单位 , 且以原点 O 为极点 , 以 x 轴非负半轴为极轴 ) 中 , 圆 C 的方程为 ρ= 6sin θ. (1) 求圆 C 的直角坐标方程 ; (2) 若点 P (1,2), 设圆 C 与直线 l 交于点 A , B. 求 | PA |+| PB | 的最小值 . 8 . 在直角坐标系中 , 以原点为极点 , x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系 , 已知曲线 C : ρ sin 2 θ= 2 a cos θ ( a >0), 过点 P ( - 2, - 4) 的直线 l 的参数方程为 ( t 为参数 ), l 与 C 分别交于 M , N. (1) 写出 C 的平面直角坐标系方程和 l 的普通方程 ; (2) 若 | PM |,| MN |,| PN | 成等比数列 , 求 a 的值 . 【 解析 】 (1) 曲线 C 的直角坐标方程为 y 2 =2 ax ( a >0), 直线 l 的直角坐标方程为 x-y- 2=0 . (2) 将直线 l 的参数方程与 C 的直角坐标方程联立 , 得 t 2 - (4+ a ) t +8(4+ a )=0, Δ = 8 a (4+ a )>0 . 设点 M , N 分别对应参数 t 1 , t 2 , 恰为上述方程的根 , 则 | PM |=| t 1 |,| PN |=| t 2 |, | MN |=| t 1 -t 2 |. 由题设得 ( t 1 -t 2 ) 2 =| t 1 t 2 |, 即 ( t 1 + t 2 ) 2 - 4 t 1 t 2 =| t 1 t 2 |, 可得 t 1 + t 2 = (4+ a ), t 1 t 2 =8(4+ a )>0, 则有 :(4 +a ) 2 - 5(4+ a )=0, 解得 a =1, a =-4 . 因为 a >0, 所以 a =1 . 9 . 在平面直角坐标系 xOy 中 , 直线 l 的参数方程为 ( t 为参数 ), 直线 l 与曲线 C :( y- 2) 2 -x 2 =1 交于 A , B 两点 . (1) 求 | AB | 的长 ; (2) 在以 O 为极点 , x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系 , 设点 P 的极坐标为 求点 P 到线段 AB 中点 M 的距离 . 【 解析 】 (1) 直线 l 的参数方程的标准型为 ( t 为参数 ), 代入曲线 C 得 t 2 +4 t- 10=0, 设 A , B 对应的参数为 t 1 , t 2 , 则 t 1 + t 2 =-4, t 1 t 2 =-10, 所以 | AB |=| t 1 -t 2 |= (2) 由极坐标与直角坐标互化公式得 P 直角坐标 ( - 2,2), 所以点 P 在直线 l 上 , 中点 M 对应参数为 由参数 t 几何意义 , 点 P 到线段 AB 中点 M 的距离 | PM |=2 . 专题训练 2: 极坐标方程中 ρ 的几何意义题例 ( 注意 : 利用极坐标的 ρ 时 , 直线必须过极点 ) 1 . (2015 新课标 (Ⅰ)23) 在直角坐标系 xOy 中 , 直线 C 1 : x =-2, 圆 C 2 :( x- 1) 2 +( y- 2) 2 =1, 以坐标原点为极点 , x 轴正半轴为极轴建立极坐标系 . (1) 求 C 1 , C 2 的极坐标方程 . (2) 若直线 C 3 的极坐标方程为 ( ρ ∈R), 设 C 2 , C 3 的交点为 M , N , 求△ C 2 MN 的面积 . 专题训练 3: 利用圆或椭圆的参数方程解答题例 ( 会将圆或椭圆的直角坐标方程化为参数方程 ) 1 . (2014 全国新课标 (Ⅱ)23) 在直角坐标系 xOy 中 , 以坐标原点为极点 , x 轴正半轴为极轴建立极坐标系 , 半圆 C 的极坐标方程为 ρ= 2cos θ , θ ∈[0, ] . (1) 求 C 的参数方程 ; (2) 设点 D 在 C 上 , C 在 D 处的切线与直线 l : y = x +2 垂直 , 根据 (1) 中你得到的参数方程 , 确定 D 的坐标 . 2 . (2014 全国新课标 (Ⅰ)23) 已知曲线 直线 ( t 为参数 ) . (1) 写出曲线 C 的参数方程 , 直线 l 的直角坐标方程 ; (2) 过曲线 C 上任意一点 P 作与 l 夹角为 30° 的直线 , 交 l 于点 A , 求 | PA | 的最大值与最小值 . 3 . (2012 全国新课标 (Ⅱ)23) 已知曲线 C 1 的参数方程是 ( 为参数 ), 以坐标原点为极点 , x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系 , 曲线 C 2 的极坐标方程是 ρ= 2 . 正方形 ABCD 的顶点都在 C 2 上 , 且 A 、 B 、 C 、 D 以逆时针次序排列 , 点 A 的极坐标为 (2, ) . (1) 求点 A 、 B 、 C 、 D 的直角坐标 ; (2) 设 P 为 C 1 上任意一点 , 求 | PA | 2 +| PB | 2 +| PC | 2 +| PD | 2 的取值范围 .