2017-2018学年江西省南康中学高二下学期第二次大考数学（理）试题 Word版 11页

南康中学2017～2018学年度第二学期高二第二次大考 数学（理）试卷 ‎ ‎ 一、选择题（每小题5分，共60分）‎ ‎1.集合，集合，则（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎2. 若非零向量满足，且，则与夹角为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎3. “”是“函数有零点”的（ ）‎ A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎ ‎4. 函数在上单调递增，则的取值不可能为（ ）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎5.下面程序框图是为了求出满足的最大正整数的值，‎ 那么在 和 两个空白框中，可以分别填入( ) ‎ A． “”和“输出” ‎ B． “”和“输出”‎ C． “”和“输出” ‎ D． “”和“输出”‎ ‎6. 某四棱锥的三视图如图所示，‎ 则该四棱锥的最长棱的长度为（ ）‎ A. ‎ B. ‎ C. ‎ D. ‎ ‎7. 甲箱子里装有个白球和个红球，乙箱子里装有个白球和个红球．从这两个箱子里分别摸出一个球，设摸出的白球的个数为，摸出的红球的个数为，则（ ）‎ A. ，且 B. ，且 C. ，且 D. ，且 ‎8. 已知，其中实数满足，且的最大值是最小值的4倍，则的值 是 （ ）‎ A. B. 4 C. D. ‎ ‎9. 过双曲线的右焦点作圆的切线，切点为，交轴于点，若为线段的中点，则双曲线的离心率是（ ）‎ A. B. C. 2 D. ‎ ‎10. 若的展开式中各项的系数之和为81，则分别在区间和内任取两个实数，满足的概率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎11. 设是函数的极值点，数列满足，，，若表示不超过的最大整数，则=‎ ‎（ ）‎ A．2017 B．2018 C．2019 D．2020‎ ‎12. 在平面直角坐标系中，抛物线的焦点为，准线为，过的直线交于两点，交于点，直线交于点．若，且 ‎．则 ( )‎ A． 1 B． 9 C． 1或3 D． 1或9‎ 二、填空题（每小题5分，共20分）‎ ‎13. 已知，复数（其中为虚数单位）,若复数在复平面上对应的点位于第四象限，则实数的取值范围是________________________‎ ‎14. 灯火南山民俗文化主题活动期间，志愿者把编号为1，2，3，4的四位嘉宾分别随机引导到编号为1，2，3，4的四个展区，则至多有一位嘉宾的编号与展区的编号相同的概率为________.‎ ‎15. 在中，，，其最大边的边长为，则最小边的边长为 ．‎ ‎16. 某同学在研究函数在处的切线问题中，偶然通过观察右图中的图象发现了一个恒成立的不等式：当时，.仿照该同学的研究过程，请你研究函数的过原点的切线问题，写出一个类似的恒成立的不等式：_____________________.‎ 三、解答题（6小题，共70分）‎ ‎17. 已知数列中， ，其前项和为，满足．‎ ‎（I） 求的通项公式；‎ ‎（II）记，求数列的前项和，并证明．‎ ‎18. 在直三棱柱中，为正三角形，点在棱上，且，点 分别为棱的中点．‎ ‎（I） 证明：平面；‎ ‎（II）若，求直线与平面所成的角的正弦值．‎ ‎19. 已知函数.‎ ‎（I） 若在上递增，求的取值范围；‎ ‎（II）证明： ．‎ ‎20. 已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，左、右焦点分别为，且，点在椭圆上．‎ ‎（I） 求椭圆的方程；‎ ‎（II）过的直线与椭圆相交于两点，且的面积为，求直线的方程．‎ ‎21. 为了强化南康家具的品牌效应，质检部门对某家具企业的甲、乙两个车间生产的12个零件质量进行检测．甲、乙两个车间的零件质量(单位：克）分布的茎叶图如图所示．零件质量不超过20克的为合格．‎ ‎（I）从甲、乙两车间分别随机抽取2个零件，求甲车间至少一个零件合格且乙车间至少一个零件合格的概率；‎ ‎（II）质检部门从甲车间8个零件中随机抽取4件进行检测，若至少2件合格，检测即可通过，若至少3 件合格，检测即为良好，求甲车间在这次检测通过的条件下，获得检测良好的概率；‎ ‎（Ⅲ）若从甲、乙两车间12个零件中随机抽取2个零件，用表示乙车间的零件个数，求 的分布列与数学期望．‎ ‎22. 已知函数．‎ ‎（I） 求函数的极值；‎ ‎（II）若恒成立，求的最小值．‎ 南康中学2017～2018学年度第二学期高二第二次大考 数学（理）参考答案 一、选择题（每小题5分，共60分）‎ ‎1-4 CABD 5-8 DBCC 9-12 ABAD 二、填空题（每小题5分，共20分）‎ ‎13. 14. 15. 16. ， .‎ 三、解答题（6小题，共70分）‎ ‎17.解：（Ⅰ）由，得，‎ 后式减去前式，得，得．‎ 因为，可得，所以，‎ 即数列是首项为1，公比为2的等比数列，所以．‎ ‎（Ⅱ）因为，‎ 所以 ，‎ 所以 ，‎ 因为，所以．‎ ‎18.‎ ‎(2)由(1)知，，因为平面，所以平面，‎ 因为为正三角形，且点为棱的中点，‎ 所以，‎ 故以点为坐标原点，分别以，，的方向为轴，轴，轴的正方向，建立如图所示的 空间直角坐标系，设，，‎ 则，，，，，‎ ‎19. 解：（1），‎ 令，得， ，令，得，或，∴在， 上递增，在上递增，∴或.‎ ‎（2）证明：当时， ， 显然成立.当时， ，在上递增，且，∴，从而在上递减，‎ ‎∴，∴，即.综上， .‎ ‎20.解：(1)‎ ‎(2)设代入，得 ‎，∴，∴‎ ‎，故所求直线方程为：‎ ‎21. 解：（1）由题意得甲车间的合格零件数为4，乙车间的合格的零件数为2，‎ 故所求概率为．‎ 即甲车间至少一个零件合格且乙车间至少一个零件合格的概率为．‎ ‎（2）设事件表示 “2件合格，2件不合格”；事件表示“3件合格，1件不合格”；事件 表示“4件全合格”； 事件表示“检测通过”；事件表示“检测良好”．‎ 则，‎ ‎∴．‎ 故甲车间在这次检测通过的条件下，获得检测良好的概率为．‎ ‎（3）由题意可得的所有可能取值为0，1，2．‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎．‎ ‎∴ 随机变量的分布列为 ‎∴．‎ ‎22. 解：（I），恒成立，‎ ‎∴在上单调递增，又，∴当时，递减，‎ 当时，递增，∴的极小值为，无极大值．‎ ‎（II）即，‎ 令，即证当时，恒成立，‎ 则，当在上单调递增，当时，，与矛盾．‎ ‎②当在上单调递减，当上单调递增，‎ ‎∴，‎ 即，‎ ‎∴，令，‎ ‎∴，令得，‎ 令得，∴，‎ 即当时，的最小值为．‎