2017-2018学年河北省邢台市第一中学高二上学期第二次月考数学（理）试题 15页

邢台一中2017-2018学年上学期第二次月考 高二年级数学试题（理科）‎ 第Ⅰ卷（选择题 共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知、，则直线的倾斜角为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2.下列关于命题的说法错误的是（ ）‎ A．命题“若，则”的逆否命题为“若，则” B．‎ C．若命题，，则，‎ D．命题“，”是真命题 ‎3.“直线与互相垂直”是“”的（ ）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D． 既不充分也不必要条件 ‎4.点满足，则点在（ ）‎ A．以点为圆心，以2为半径的圆上 ‎ B．以点为中心，以2为棱长的正主体上 ‎ C. 以点为球心，以2为半径的球面上 ‎ D．无法确定 ‎5.某几何体的三视图如图所示，则它的体积为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎6.“（）”是“”的（ ）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D． 既不充分也不必要条件 ‎7.若圆的面积被直线（）平分，则的最大值是（ ）‎ A． B． C.4 D．16‎ ‎8.棱长为的正方体，过上底面两邻边中点和下底面中心作截面，则截面图形的周长是（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎9.已知三棱锥的各棱长均相等，是的中心，是的中点，则直线与直线所成角的余弦值为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎10.若直线与曲线有交点，则（ ）‎ A．有最大值，最小值 B．有最大值，最小值 ‎ C. 有最大值0，最小值 D．有最大值0，最小值 ‎11.在三棱锥中，与都是边长为6的正三角形，平面平面，则该三棱锥的外接球的体积为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎12.在正方体中，是棱的中点，是侧面内的动点，且平面，记与平面所成的角为，下列说法错误的是（ ）‎ A．点的轨迹是一条线段 B．与不可能平行 ‎ C. 与是异面直线 D．‎ 第Ⅱ卷（非选择题 共90分）‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13.已知直线，互相平行，则 ．‎ ‎14.已知直线的倾斜角，且直线过点，则此直线的方程为 ．‎ ‎15.已知点，，点在圆上，则使的点的个数为 ．‎ ‎16.在四棱锥中，平面平面，侧面是边长为的等边三角形，底面是距形，且，则该四棱锥外接球的表面积等于 ．‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17. 设条件，条件，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围.‎ ‎18. 如图，是正方形，是正方形的中心，底面，是的中点，求证：‎ ‎（1）平面；‎ ‎（2）平面 ‎19. 已知圆心为的圆过点和，且圆心在直线上.‎ ‎（1）求圆心为的圆的标准方程；‎ ‎（2）过点作圆的切线，求切线方程.‎ ‎20. 已知坐标平面上点与两个定点，的距离之比等于5.‎ ‎（1）求点的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形；‎ ‎（2）记（1）中的轨迹为，过点的直线被所截得的线段的长为8，求直线的方程.‎ ‎21. 如图，在几何体中，平面，平面，，，又，.‎ ‎（1）求与平面所成角的正弦值；‎ ‎（2）求平面与平面所成的锐二面角的余弦值.‎ ‎22. 如图，在三棱柱中，，顶点在底面上的射影恰为点，且.‎ ‎（1）求棱与所成的角的大小；‎ ‎（2）在棱上确定一点，使，并求出二面角的平面角的余弦值.‎ 高二理数参考答案与试题解析 一、选择题 ‎1-5: ADBCA 6-10: ABCAC 11、12：DB 二、填空题 ‎13. -3 14. 15. 1 16. ‎ 三、解答题 ‎17. 解：由题意得，命题，命题q：B={x|a≤x≤a+1}，‎ ‎∵¬p是¬q的必要不充分条件，‎ ‎∴p是q的充分不必要条件，‎ 即A⊆B，‎ ‎∴，‎ ‎∴．‎ 故实数a的取值范围为[0，]．‎ ‎18. 证明（1）连接OE，‎ 在△CAP中，CO=OA，CE=EP，‎ ‎∴PA∥EO，‎ 又∵PA⊄平面BDE，EO⊂平面BDE，‎ ‎∴PA∥平面BDE．‎ ‎（2）∵PO⊥底面ABCD，BD⊂平面ABCD，‎ ‎∴BD⊥PO 又∵四边形ABCD是正方形，‎ ‎∴BD⊥AC ‎∵AC∩PO=O，AC，PO⊂平面PAC ‎∴BD⊥平面PAC ‎19. 解：（1）设所求的圆的方程为（x﹣a）2+（y﹣b）2=r2‎ 依题意得：‎ 解得：a=﹣3，b=﹣2，r2=25‎ 所以所求的圆的方程为：（x+3）2+（y+2）2=25‎ ‎（2）设所求的切线方程的斜率为k，则切线方程为y﹣8=k（x﹣2），即kx﹣y﹣2k+8=0‎ 又圆心C（﹣3，﹣2）到切线的距离 又由d=r，即，解得 ‎∴所求的切线方程为3x﹣4y+26=0‎ 若直线的斜率不存在时，即x=2也满足要求．‎ ‎∴综上所述，所求的切线方程为x=2或3x﹣4y+26=0‎ ‎20. 解：（1）由题意坐标平面上点M（x，y）与两个定点M1（26，1），M2（2，1）的距离之比等于5，‎ 得=5.，化简得x2+y2﹣2x﹣2y﹣23=0．‎ 即（x﹣1）2+（y﹣1）2=25．‎ ‎∴点M的轨迹方程是（x﹣1）2+（y﹣1）2=25，‎ 所求轨迹是以（1，1）为圆心，以5为半径的圆．‎ ‎（2）当直线l的斜率不存在时，过点A（﹣2，3）的直线l：x=﹣2，‎ 此时过点A（﹣2，3）的直线l被圆所截得的线段的长为：2=8，‎ ‎∴l：x=﹣2符合题意．‎ 当直线l的斜率存在时，设过点A（﹣2，3）的直线l的方程为y﹣3=k（x+2），即kx﹣y+2k+3=0，‎ 圆心到l的距离d=，‎ 由题意，得+42=52，解得k=．∴直线l的方程为x﹣y+=0．即5x﹣12y+46=0．‎ 综上，直线l的方程为x=﹣2，或5x﹣12y+46=0．‎ ‎21. 解：如图，过点D作DC的垂线交SC于E，以D为原点，‎ 分别以DC，DE，DA为x，y，z轴建立空间直角坐标系．‎ ‎∵∠SDC=120°，‎ ‎∴∠SDE=30°，‎ 又SD=2，则点S到y轴的距离为1，到x轴的距离为．‎ 则有D（0，0，0），，A（0，0，2），C（2，0，0），B（2，0，1）．（4分）‎ ‎（1）设平面SAB的法向量为，‎ ‎∵．‎ 则有，取，[.‎ 得，又，‎ 设SC与平面SAB所成角为θ，‎ 则，‎ 故SC与平面SAB所成角的正弦值为．（9分）‎ ‎（2）设平面SAD的法向量为，‎ ‎∵，‎ 则有，取，得．‎ ‎∴，‎ 故平面SAD与平面SAB所成的锐二面角的余弦值是．‎ ‎22. 解：（1）如图，以A为原点建立空间直角坐标系，‎ 则C（2，0，0），B（0，2，0），A1（0，2，2），‎ B1（0，4，2），，‎ ‎．，‎ 故AA1与棱BC所成的角是．‎ ‎（2）设，‎ 则P（2λ，4﹣2λ，2）．‎ 于是（舍去），‎ 则P为棱B‎1C1的中点，其坐标为P（1，3，2）．‎ 设平面P﹣AB﹣A1的法向量为=（x，y，z），‎ 则⇒⇒‎ 故=（﹣2，0，1）．‎ 而平面ABA1的法向量是=（1，0，0），‎ 则，‎ 故二面角P﹣AB﹣A1的平面角的余弦值是．‎ 高二理数参考答案与试题解析 ‎　一．选择题1-5 ADBCA 6-10 ABCAC 11-12 DB ‎　二．填空题13. -3 14. =0． 15. 1个 16. 32π．‎ ‎　三．解答题（共6小题）‎ ‎17．解：由题意得，命题，命题q：B={x|a≤x≤a+1}，‎ ‎∵¬p是¬q的必要不充分条件，‎ ‎∴p是q的充分不必要条件，‎ 即A⊆B，‎ ‎∴，‎ ‎∴．‎ 故实数a的取值范围为[0，]．‎ ‎　18． ‎ 证明（1）连接OE，‎ 在△CAP中，CO=OA，CE=EP，‎ ‎∴PA∥EO，‎ 又∵PA⊄平面BDE，EO⊂平面BDE，‎ ‎∴PA∥平面BDE．‎ ‎（2）∵PO⊥底面ABCD，BD⊂平面ABCD，‎ ‎∴BD⊥PO 又∵四边形ABCD是正方形，‎ ‎∴BD⊥AC ‎∵AC∩PO=O，AC，PO⊂平面PAC ‎∴BD⊥平面PAC[]‎ ‎19.解：（1）设所求的圆的方程为（x﹣a）2+（y﹣b）2=r2‎ 依题意得：…（3分）‎ 解得：a=﹣3，b=﹣2，r2=25‎ 所以所求的圆的方程为：（x+3）2+（y+2）2=25…（6分）‎ ‎（2）设所求的切线方程的斜率为k，则切线方程为y﹣8=k（x﹣2），即kx﹣y﹣2k+8=0‎ 又圆心C（﹣3，﹣2）到切线的距离 又由d=r，即，解得…（8分）‎ ‎∴所求的切线方程为3x﹣4y+26=0…（10分）‎ 若直线的斜率不存在时，即x=2也满足要求．‎ ‎∴综上所述，所求的切线方程为x=2或3x﹣4y+26=0…（12分）[]‎ ‎20．解：（1）由题意坐标平面上点M（x，y）与两个定点M1（26，1），M2（2，1）的距离之比等于5，‎ 得=5.，化简得x2+y2﹣2x﹣2y﹣23=0．‎ 即（x﹣1）2+（y﹣1）2=25．[]‎ ‎∴点M的轨迹方程是（x﹣1）2+（y﹣1）2=25，‎ 所求轨迹是以（1，1）为圆心，以5为半径的圆．‎ ‎（2）当直线l的斜率不存在时，过点A（﹣2，3）的直线l：x=﹣2，‎ 此时过点A（﹣2，3）的直线l被圆所截得的线段的长为：2=8，‎ ‎∴l：x=﹣2符合题意．‎ 当直线l的斜率存在时，设过点A（﹣2，3）的直线l的方程为y﹣3=k（x+2），即kx﹣y+2k+3=0，‎ 圆心到l的距离d=，‎ 由题意，得+42=52，解得k=．∴直线l的方程为x﹣y+=0．即5x﹣12y+46=0．‎ 综上，直线l的方程为x=﹣2，或5x﹣12y+46=0．[]‎ ‎　21． ‎ 解：如图，过点D作DC的垂线交SC于E，以D为原点，‎ 分别以DC，DE，DA为x，y，z轴建立空间直角坐标系．‎ ‎∵∠SDC=120°，‎ ‎∴∠SDE=30°，‎ 又SD=2，则点S到y轴的距离为1，到x轴的距离为．‎ 则有D（0，0，0），，A（0，0，2），C（2，0，0），B（2，0，1）．（4分）‎ ‎（1）设平面SAB的法向量为，‎ ‎∵．‎ 则有，取，[.‎ 得，又，‎ 设SC与平面SAB所成角为θ，‎ 则，‎ 故SC与平面SAB所成角的正弦值为．（9分）‎ ‎（2）设平面SAD的法向量为，‎ ‎∵，‎ 则有，取，得．‎ ‎∴，‎ 故平面SAD与平面SAB所成的锐二面角的余弦值是．（14分）‎ ‎　22． ‎ 解：（1）如图，以A为原点建立空间直角坐标系，‎ 则C（2，0，0），B（0，2，0），A1（0，2，2），‎ B1（0，4，2），，．，‎ 故AA1与棱BC所成的角是．‎ ‎（2）设，‎ 则P（2λ，4﹣2λ，2）．‎ 于是（舍去），‎ 则P为棱B‎1C1的中点，其坐标为P（1，3，2）．‎ 设平面P﹣AB﹣A1的法向量为=（x，y，z），‎ 则⇒⇒‎ 故=（﹣2，0，1）．‎ 而平面ABA1的法向量是=（1，0，0），‎ 则，‎ 故二面角P﹣AB﹣A1的平面角的余弦值是．‎