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- 2021-04-14 发布
2017-2018学年江西省崇义中学高二上学期第一次月考理科数学试卷
（2017-10-6）
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1．设函数f(x)＝，且f(2)＝1，则f(1)＝( )
A．8 B．6 C．4 D．2
2.某校高三（1）班共有48人，学号依次为1，2，3，…，48，现用系统抽样的办法抽取一个容量为6的样本.已知学号为3，11，19，35，43的同学在样本中，那么还有一个同学的学号应为（ ）
A．27 B．26 C．25 D．24
3.已知: 、是不共线向量，，，且，则的值为
(A) 8 (B) 3 (C)-3 (D)-8
4.已知直线l1：2ax＋(a＋1)y＋1＝0，l2：(a＋1)x＋(a－1)y＝0，若l1⊥l2，则a＝( )
A．2或 B.或－1 C. D．－1
5. 设数列{an}是等差数列，且a2=-8，a15=5，Sn是数列{an}的前n项和，则（ ）
A.S10=S11 B.S10＞S11 C.S9=S10 D.S9＜S10
6.已知点P（x，y）在不等式组表示的平面区域上运动，则z=x﹣y的最小值是（ ）
A．﹣1 B．﹣2 C．1 D．2
7．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a2－b2＝bc，sin C＝2sin B，则A＝( )
A．30° B．60° C．120° D．150°
8.如茎叶图所示，记录了甲，乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩(单位：分)．已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则x，y的值分别为( )
A．2，5 B．5，5
C．5，8 D．8，8
9．某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积是( )
A．8 cm3 B．12 cm3 C.cm3 D.cm3
10．函数，，在上的部分图象如图所示，则)的值为( )．
A． B． C． D．
11．如图所示，平面四边形ABCD中，AB＝AD＝CD＝1，BD＝，BD⊥CD，将其沿对角线BD折成四面体ABCD，使平面ABD⊥平面BCD，若四面体ABCD的顶点在同一个球面上，则该球的体积为( )
A. B．3π C. D．2π
12．将一圆的六个等分点分成两组相间的三点﹐它们所构成的两个正三角形扣除内部六条线段后可以形成一正六角星﹐如图所示的正六角星是以原点为中心﹐其中,分别为原点到两个顶点的向量﹒若将原点到正六角星12个顶点的向量都写成为的形式﹐则的最大值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13.一所中学共有4 000名学生，为了引导学生树立正确的消费观，需抽样调查学生每天使用零花钱的数量(取整数元)情况，分层抽取容量为300的样本，作出频率分布直方图如图所示，请估计在全校所有学生中，一天使用零花钱在6元～14元的学生大约有 人．
14. 长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB=2，BC=3，AA1=5，则一只小虫从A点沿长方体的表面爬到C1点的最短距离是 ．
15．若点P(1，1)为圆(x－3)2＋y2＝9的弦MN的中点，则弦MN所在直线方程为________．
16．已知函数是上的偶函数，满足，且当时， ，令函数，若在区间上有个零点，分别记为，则_______．
三、解答题(本大题共6小题，共70分)
17．（10分）. (12分)设向量.
（1）若，求的值;
(2)设函数，求的最大值及的单调递增区间.
18．(12分)已知等差数列{an}的公差d＞0.设{an}的前n项和为Sn，a1＝1，S2·S3＝36.
(1)求d及Sn；
(2)求m，k(m，k∈N*)的值，使得am＋am＋1＋am＋2＋…＋am＋k＝65.
19．(12分)已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0(k∈R)．
(1)证明：直线l过定点；
(2) 若直线l交x轴负半轴于A，交y轴正半轴于B，△AOB的面积为S(O为坐标原点)，求S的最小值并求此时直线l的方程．
20．(12分)某书店销售刚刚上市的某知名品牌的高三数学单元卷，按事先拟定的价格进行5天试销，每种单价试销1天，得到如表数据：
单价x（元）
18
19
20
21
22
销量y（册）
61
56
50[]
48
45]
（1）求试销5天的销量的方差和y对x的回归直线方程；
（2）预计今后的销售中，销量与单价服从（1）中的回归方程，已知每册单元卷的成本是14元，
为了获得最大利润，该单元卷的单价应定为多少元？
附：b=，a=﹣b．
21．(12分)如图，在三棱锥P－ABC中，D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点，已知
PA⊥AC，PA＝6，BC＝8，DF＝5.
求证：(1)直线PA∥平面DEF；(2)平面BDE⊥平面ABC.
22.(12分)
在平面直角坐标系xOy中，已知定点A(－4，0)、C(4，0)，半径为r的圆M的圆心M在线段AC的垂直平分线上，且在y轴右侧，圆M被y轴截得的弦长为r.
(1)求圆M的方程；
（2)当r变化时，是否存在定直线l与动圆M均相切？如果存在，求出定直线l的方程；如果不存在，说明理由．
月考一答案
1-12．BADBC AACCB AD
13．2720 14. 15 2x－y－1＝0 16 -24
18.解 (1)∵S2·S3＝36，a1＝1，
∴(2a1＋d)·(3a1＋3d)＝36， 即d2＋3d－10＝0，
∴d＝2或d＝－5. ∵d＞0，∴d＝2， -------------------------- 4分
∴an为1为首项，2为公差的等差数列，
∴Sn＝n＋×2＝n2. -------------------------- 6分
(2)∵am＋am＋1＋…＋am＋k＝65，
∴Sm＋k－Sm－1＝65. 由(1)得(m＋k)2－(m－1)2＝65，-------------------------- 8分
即2mk＋k2＋2m－1＝65， 2m(k＋1)＋k2－1＝65，
即(k＋1)(2m＋k－1)＝65＝5×13，
∵k、m∈N＋，∴2m＋k－1＞k＋1，
∴解之得m＝5，k＝4. -------------------------- 11分
∴当m＝5，k＝4时，am＋am＋1＋…＋am＋k＝65. -------------------------- 12分
19【解析】 (1)证明 直线l的方程是k(x＋2)＋(1－y)＝0，
令解得
∴无论k取何值，直线总经过定点(－2，1)．-------------------------- 4分
(2)由l的方程，得A，B(0，1＋2k)．
依题意得解得k＞0.
∵S＝·|OA|·|OB|＝··|1＋2k|
＝·＝≥×(2×2＋4)＝4，
“＝”成立的条件是k＞0且4k＝，即k＝，
∴Smin＝4，此时直线l的方程为x－2y＋4＝0. -------------------------- 12分
20【解答】解：（1）∵，-------- 2分
，
∵，
∴，
所以y对x的回归直线方程为：．-------------------------- 7分
（2）获得的利润z=（x﹣14）y=﹣4x2+188x﹣1848，
∵二次函数z=﹣4x2+188x﹣1848的开口朝下，∴当时，z取最大值，
∴当单价应定为23.5元时，可获得最大利润．-------------------------12分
21证明：(1)在△PAC中，D，E分别为PC，AC的中点，则PA∥DE，PA⊄平面DEF，DE⊂平面DEF，
因此PA∥平面DEF. --------------------------6分
(2)在△DEF中，DE＝PA＝3， EF＝BC＝4，DF＝5，
所以DF2＝DE2＋EF2，所以DE⊥EF，
又PA⊥AC，所以DE⊥AC.因为EF∩AC＝E，
所以DE⊥平面ABC，DE⊂平面BDE，所以平面BDE⊥平面ABC. --------------------- 12分
22. (1)由题意C(0，－2)，A(－4，0)，
所以线段AC的垂直平分线方程为y＝2x＋3.
设M(a，2a＋3)(a＞0)，则圆M的方程为(x－a)2＋(y－2a－3)2＝r2.
圆心M到y轴的距离d＝a，由r2＝d2＋，得a＝.
所以圆M的方程为＋(y－r－3)2＝r2. -------------------------6分
(2)假设存在定直线l与动圆M均相切．当定直线的斜率不存在时，不合题意．
设直线l：y＝kx＋b，则＝r对任意r＞0恒成立．
由，得r2＋(k－2)(b－3)r＋(b－3)2＝(1＋k2)r2.
所以解得或
所以存在两条直线y＝3和4x＋3y－9＝0与动圆M均相切-------------------------- 12分