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- 2021-04-14 发布
山大附中2019～2020学年第一学期期中考试
高二年级数学试题（文）
考试时间：90分钟 满分：100分
一．选择题：(本题有12个小题，每小题3分，共36分)
1．直线的倾斜角大小是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，平行四边形是水平放置的一个平面图形的直观图，其中,
，,则下列叙述正确的是( )
A．原图形是正方形 B．原图形是非正方形的菱形
C．原图形的面积是 D．原图形的面积是
3.已知，，则直线不通过（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
4．设为直线，是两个不同的平面，下列命题中正确的是( )
A．若，，则 B．若，，则
C．若，，则 D．若，，则
5．点，，直线与线段相交，则实数的取值范围是( )
A．或 B．
C． D．或
6．如图，在四面体中，点分别是棱的中点，
截面是正方形，则下列结论错误的为( )
A. B. 截面
C. D.异面直线与所成的角为45°
7．已知点，，若直线过原点，且、两点
到直线的距离相等， 则直线的方程为( )
A． 或 B．或
C．或 D． 或
8．在直三棱柱中，，，则点到平面 的距离为( )
A． B． C． D．
9．用一块圆心角为、半径为的扇形铁皮制成一个无底面的圆锥容器（接缝忽略不计），则该容器的体积为（ ）
A． B． C． D．
10．当点到直线的距离最大时，的值为（ ）
A.3 B.0 C. D.1
11．正方体中，分别是棱和上的点，
，那么正方体中过的截面图形是（ ）
A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形
12．如图，在棱长为的正方体中,为的中点,为
上任意一点,为上任意两点,且的长为定值,则下面四个值
中不为定值的是（ ）
A．点到平面的距离
B．直线与平面所成的角
C．三棱锥的体积
D．二面角的大小
二．填空题：(本题有5个小题，每小题4分，共20分)
13．圆台的两个底面面积之比为，母线与底面的夹角是，轴截面的面积为，则圆台的侧面积为 .
14. 正三棱柱的底面边长为2，高为2，则它的外接球表面积为 ．
15．空间中点关于轴的对称点，点，则连线的长度为 .
16．若点为直线上的动点，则的最小值为________．
17．如图所示，在正方体中，分别是棱的中点，
的顶点在棱与棱上运动，有以下四个命题：
①平面；
②平面；
③在底面上的射影图形的面积为定值；
④在侧面上的射影图形是三角形．
其中正确的命题序号是___________.
三．解答题：（本题有4个小题，共44分，请将推理、计算过程写在答题卡上。）
18．（本小题满分10分）己知直线与直线交于点．
（1）求过点且平行于直线的直线的方程；
（2）求过点并且在两坐标轴上截距相等的直线方程.
（注:结果都写成直线方程的一般式）
19. （本小题满分10分）如图，在中，，斜边．可以通过 以直线为轴旋转得到，且二面角是直二面角．
动点在斜边上．
（1）求证：平面平面；
（2）求与平面所成角的最大角的正切值．
20．（本小题满分12分）
在如图所示的空间几何体中，平面平面， 与是边长为的等边三角形，，和平面所成的角为，且点在平面上的射影落在的平分线上．
（1）求证：平面；
（2）求三棱锥体的体积．
21．（本小题满分12分）如图1，四棱锥中，底面，面
是直角梯形，为侧棱上一点．该四棱锥的俯视图和侧（左）视图如图2所示．
（1）证明：平面；
（2）线段上是否存在点，使与所成角的余弦值为？若存在，
找到所有符合要求的点，并求的长；若不存在，说明理由．
山大附中2019～2020学年第一学期期中考试
高二年级数学试题(文)评分细则
考试时间：90分钟 满分：100分
一、选择题（3×12=36分）
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
D
C
C
B
A
A
D
B
A
C
C
B
二、填空题（4×5=20分）
13. 14. 15. 16. 17. ②③
三.解答题（满分44分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤）
18. （本小题满分10分）己知直线与直线交于点．
（1）求过点且平行于直线的直线的方程；
（2）求过点并且在两坐标轴上截距相等的直线方程.
（注:结果都写成直线方程的一般式）
18.解：
联立，解得，得点． ……………1分
（1）设平行于直线的直线的方程为，
把代入可得：解得． ……………3分
∴过点且平行于直线的直线的方程为．
……………4分
（2）当直线经过原点时，可得方程为：． ……………6分
当直线不过原点时，可设方程为：把代入可得可得
……………8分
∴直线的方程为 ……………9分
综上可得：直线的方程为或 ……………10分
19．（本小题满分10分）
如图，在中，，斜边．可以通过 以直线为轴旋转得到，且二面角是直二面角．动点在斜边上．
（1）求证：平面平面；
（2）求与平面所成角的最大角的正切值．
19.解：（1）证明：由题意，
∴是二面角的平面角， ……………1分
又二面角是直二面角，
∴， ……………2分
又∵，
∴平面。 ……………4分
（2）解：由（1）知，平面，
∴是与平面所成的角， ……………5分
且， ……………6分
当最小时，最大， ……………7分
这时，，垂足为， ……………9分
∴与平面所成的角最时的正切值为. ……………10分
20. （本小题满分12分）
在如图所示的空间几何体中，平面平面，与是边长为的等边三角形，，和平面所成的角为，且点在平面上的射影落在的平分线上．
（1）求证：平面；
（2）求二面角的余弦值．
20．（本小题满分12分）
解：（1）由题意知，，都是边长为2的等边三角形，取中点，连接，则，， ……………………2分
又∵平面⊥平面，∴⊥平面，作⊥平面，
那么，根据题意，点落在上，
∴，易求得，…………4分
∴四边形是平行四边形，∴，∴平面 ………6分
（2）因为，平面平面，平面，
平面平面
所以平面,即平面, …………7分
由（1）知，
故. …………9分
又， …………10分
. …………11分
…………12分
21．（本小题满分12分）
如图1，四棱锥中，底面，面是直角梯形，为侧棱上一点．该四棱锥的俯视图和侧（左）视图如图2所示．
（1）证明：平面；
（2）线段上是否存在点，使与所成角的余弦值为？若存在，找到所有符合要求的点，并求的长；若不存在，说明理由．
21.解：（1）证明：由俯视图可得，，
所以． …………2分
又因为 平面，
所以 ， …………3分
所以 平面． …………4分
（2）解：线段上存在点，使与所成角的余弦值为．
证明如下：
因为 平面，，所以两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系．
…………5分
所以 ．
设 ，其中． …………6分
所以，． …………7分
要使与所成角的余弦值为，则有 ， …………9分
所以 ，解得 或， …………11分
均适合．
故点位于点处，此时；或中点处，此时，有与所成角的余弦值为． …………12分