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- 2021-04-14 发布
数学思想领航二轮复习
方法一 公式、定理分类整合法
方法二 位置关系的分类整合法
方法三 含参问题的分类整合法
三、分类与整合思想
分类与整合思想是将一个较复杂的数学问题分解
(
或分割
)
成若干个基础性问题，通过对基础性问题的解答来实现解决原问题的思想策略
.
对问题实行分类与整合，分类标准等于增加一个已知条件，实现了有效增设，将大问题
(
或综合性问题
)
分解为小问题
(
或基础性问题
)
，优化解题思路，降低问题难度；分类研究后还要对讨论结果进行整合
.
方法一
公式、定理分类整合法
模型
解法
公式、定理分类整合法即利用数学中的基本公式、定理对研究对象进行分类，然后分别对每类问题进行解决的方法
.
此方法多适用于公式、定理自身需要分类讨论的情况
.
破解此类题的关键点：
①
分类转化，结合已知所涉及的知识点，找到合理的分类标准
.
②
依次求解，对每个分类所对应的问题，逐次求解
.
③
汇总结论，汇总分类结果，得结论
.
由
①
得－
1<
q
<1
，由
②
得
q
>1.
故
q
的取值范围是
(
－
1,0)
∪
(0
，＋
∞
).
典例
1
设等比数列
{
a
n
}
的公比为
q
，前
n
项和
S
n
>0 (
n
＝
1,2,3
，
…
)
，则
q
的取值范围是
___________________.
答案
解析
思维升华
解析
由
{
a
n
}
是等比数列，
S
n
>0
，
可得
a
1
＝
S
1
>0
，
q
≠
0
，当
q
＝
1
时，
S
n
＝
na
1
>0.
(
－
1,0)
∪
(0
，＋
∞
)
思维升华
公式、定理的分类整合法的分类一般比较固定，由定理、公式的限制引起的分类整合法往往是因为有的数学定理、公式是分类给出的，在不同的条件下结论不一致，如等比数列的前
n
项和公式、函数的单调性等
.
跟踪演练
1
S
n
是等比数列
{
a
n
}
的前
n
项和，若
S
4
，
S
3
，
S
5
成等差数列，则
{
a
n
}
的公比为
答案
解析
√
解析
设
{
a
n
}
的公比为
q
(
q
≠
0)
，
由等比数列
{
a
n
}
的前
n
项和为
S
n
，且
S
4
，
S
3
，
S
5
成等差数列，得
2
S
3
＝
S
4
＋
S
5
.
当
q
＝
1
时，
S
4
＝
4
a
1
，
S
3
＝
3
a
1
，
S
5
＝
5
a
1
，
此时
2
S
3
≠
S
4
＋
S
5
，不满足题意；
即
q
2
＋
q
－
2
＝
0
，
解得
q
＝－
2
或
q
＝
1(
舍去
).
方法
二
位置关系的分类整合法
模型解法
对于几何中位置关系的分类讨论问题常采用分类整合法，这种方法适用于解析几何中直线与圆锥曲线的位置关系，以及几何图形中点、线、面的位置关系的研究
.
破解此类题的关键点：
①
确定特征，一般在确立初步特征时将能确定的所有位置先确定
.
②
分类，根据初步特征对可能出现的位置关系进行分类
.
③
得出结论，将
“
所有关系
”
下的目标问题进行汇总处理
.
典例
2
在
约束条件
下
，当
3
≤
s
≤
5
时，
z
＝
3
x
＋
2
y
的最大值
的
变化范围
是
A.[6,15]
B
.[7,15]
C.[6,8]
D
.[7,8]
答案
解析
√
思维升华
由图，可得
A
(2,0)
，
B
(4
－
s
，2
s
－
4)
，
C
(0
，
s
)
，
C
′
(0,4).
①
当
3
≤
s
<4
时，不等式组所表示的可行域是四边形
OABC
及其内部，
此时，
z
＝
3
x
＋
2
y
在点
B
处取得最大值，且
z
max
＝
3(4
－
s
)
＋
2(2
s
－
4)
＝
s
＋
4
，
由
3
≤
s
<4
，得
7
≤
z
max
<8.
②
当
4
≤
s
≤
5
时，不等式组所表示的可行域是
△
OAC
′
及其内部
，
此时
z
＝
3
x
＋
2
y
在点
C
′
处取得最大值，且
z
max
＝
8.
综上可知，
z
＝
3
x
＋
2
y
的最大值的变化范围是
[7,8]
，故选
D.
思维升华
(1)
在解析几何位置关系的研究中，不能仅仅关注直线与圆锥曲线的位置关系中的相交、相离和相切三种情况，还要注意焦点在不同位置时的关系的探究
.
(2)
在几何图形的相关问题中，要充分发挥空间想象能力，将所有可能出现的关系
“
一网打尽
”.
如本题随着
s
取值的变化，目标函数值是会随着变化的，如果考虑不全，就会得出错误结论
.
跟踪演练
2
抛物线
y
2
＝
4
px
(
p
>0)
的焦点为
F
，
P
为其上的一点，
O
为坐标原点，若
△
OPF
为等腰三角形，则这样的点
P
的个数为
________.
答案
解析
4
解析
当
|
PO
|
＝
|
PF
|
时，点
P
在线段
OF
的中垂线上，此时，点
P
的位置有两个；
当
|
OP
|
＝
|
OF
|
时，点
P
的位置也有两个；
对
|
FO
|
＝
|
FP
|
的情形，点
P
不存在
.
又
∵
y
2
＝
4
px
，
∴
x
2
＋
2
px
＝
0
，解得
x
＝
0
或
x
＝－
2
p
，
当
x
＝
0
时，不构成三角形
.
当
x
＝－
2
p
(
p
>0)
时，与点
P
在抛物线上矛盾
.
∴
符合要求的点
P
有
4
个
.
方法三
含参问题的分类整合法
模型解法
含参问题的分类整合法是分类讨论问题中最重要、最常见也是最复杂的一种方法，在解决问题中一般根据参数的取值范围进行分类
.
此模型适用于某些含有参数的问题，如含参的方程、不等式等，由于参数的取值不同会导致所得的结果不同，或对于不同的参数值要运用不同的方法进行求解或证明，因此要分类讨论
.
破解此类题的关键点：
①
确定范围，确定需要分类问题中参数的取值范围
.
②
确定分类标准，这些分类标准都是在解题过程中根据解决问题的需要确定的，注意有些参数可能出现多级分类，要做到不重不漏
.
③
分类解决问题，对分类出来的各相应问题分别进行求解
.
④
得出结论，将所得到的结论进行汇总，得出正确结论
.
解析
思维升华
典例
3
函数
f
(
x
)
＝
ax
2
＋
4
x
－
3
在
[0,2]
上有最大值
f
(2)
，则实数
a
的取值范围为
A.(
－
∞
，－
1]
B
.[
－
1
，＋
∞
)
C.(
－
∞
，
0)
D
.(0
，＋
∞
)
答案
√
解析
方法一
当
a
＝
0
时，
f
(
x
)
＝
4
x
－
3
在
[0,2]
上为单调递增函数，最大值为
f
(2)
，满足题意
.
当
a
>0
时，
f
(
x
)
＝
ax
2
＋
4
x
－
3
在
[0,2]
上为单调递增函数，最大值为
f
(2)
，满足题意
.
综上，当
a
≥
－
1
时，函数
f
(
x
)
＝
ax
2
＋
4
x
－
3
在
[0,2]
上有最大值
f
(2).
故选
B.
方法二
由
f
(
x
)
＝
ax
2
＋
4
x
－
3
，得
f
′
(
x
)
＝
2
ax
＋
4
，
要使函数
f
(
x
)
＝
ax
2
＋
4
x
－
3
在
[0,2]
上有最大值
f
(2)
，
需使
f
(
x
)
＝
ax
2
＋
4
x
－
3
在
[0,2]
上为单调递增函数，则
f
′
(
x
)
＝
2
ax
＋
4
≥
0
在
[0,2]
上恒成立，
综上，当
a
≥
－
1
时，函数
f
(
x
)
＝
ax
2
＋
4
x
－
3
在
[0,2]
上有最大值
f
(2).
故选
B.
思维升华
对于含参问题的分类讨论主要有以下三种类型：
(1)
概念型，即问题所涉及的数学概念是分类进行定义的，如
|
a
|
的定义分
a
>0
，
a
＝
0
，
a
<0
三种情况
.
(2)
性质型，即问题中涉及的数学定理、公式和运算性质、法则有范围或者条件限制、或者是分类给出的，如等比数列的前
n
项和公式，分
q
＝
1
和
q
≠
1
两种情况
.
(3)
含参型，求解含有参数的问题时，必须根据参数的不同取值范围进行讨论
.
另外，某些不确定的数量、不确定的图形的形状或位置、不确定的结论等，都需要通过分类讨论，保证其完整性，使之具有确定性
.
跟踪演练
3
已知椭圆
C
的两个焦点分别为
F
1
(
－
1,0)
，
F
2
(1,0)
，且
F
2
到直线
x
－
y
－
9
＝
0
的距离等于椭圆的短轴长
.
(1)
求椭圆
C
的方程；
所以
b
＝
2
，又
c
＝
1
，所以
a
2
＝
b
2
＋
c
2
＝
5
，
解答
解答
(2)
若圆
P
的圆心为
P
(0
，
t
)(
t
>0)
，且经过
F
1
，
F
2
两点，
Q
是椭圆
C
上的动点且在圆
P
外，过
Q
作圆
P
的切线，切点为
M
，当
|
QM
|
的最大值
为
时
，求
t
的值
.
圆
P
的方程为
x
2
＋
(
y
－
t
)
2
＝
t
2
＋
1
，
连接
PM
，因为
QM
为圆
P
的切线，
所以
PM
⊥
QM
，
当
y
＝－
2
时，
|
QM
|
取得最大值，
当
y
＝－
4
t
时，
|
QM
|
取得最大值，