湖南省浏阳一中株洲二中等湘东七校2020届高三12月联考数学（理）试题 13页

湖南省湘东七校2019年下期高三联考 理科数学 总分：150分 时量：120分钟 考试时间‎2019年12月8日 由株洲二中·浏阳一中·攸县一中·株洲八中·株洲四中·九方中学·醴陵一中联合命题 ‎ 姓名_______ 考号___________ ‎ 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一．选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ 1． 已知复数．则z的共轭复数在复平面内对应的点位于（ ）‎ A.第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎2．已知，则（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎3．已知,,则的大小关系为（ ） ‎ A. B. C. D.‎ ‎4．已知数列为等比数列，首项为，数列满足，且，则为（ ）‎ A．9 B．‎27 C．81 D．243‎ ‎5．函数的图象大致是（ ）‎ ‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎6．《九章算术》卷七﹣﹣盈不足中有如下问题：“今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三．问人数、羊价各几何？”．翻译为：”现有几个人一起买羊，若每人出五钱，还差四十五钱，若每人岀七钱，还差三钱，问人数、羊价分别是多少”．为了研究该问题，设置了如图所示的程序框图，若要输出人数和羊价，则判断框中应该填（ ）‎ A．k＞20 B．k＞‎21 ‎C．k＞22 D．k＞23‎ ‎7. 已知平面向量满足，且，则向量与夹角的余弦值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎8．已知平面区域D1=，D2=，在区域D1内随机选取一点M，则点M恰好在区域D2内的概率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎9．已知函数（，），满足，将函数的图象向右平移个单位得到函数的图象，若的图象关于直线对称，则的取值可以为（ ）‎ A．1 B．‎2 ‎C．3 D．4‎ ‎10．已知抛物线C：的焦点F到其准线的距离为4，圆M:，过F的直线l与抛物线C和圆M从上到下依次交于A,P,Q,B四点，则|AP|+4|BQ|的最小值为（ ）‎ A．9 B．‎11 ‎C．13 D．15‎ ‎11．已知函数，若方程有两个不同实根，则实数的取值范围为（ ）‎ A．（，） B．（，﹣1]‎ C．（，1）∪（1，） D．（，1）∪（1，﹣1]‎ ‎12．已知四棱锥P-ABCD的底面为矩形，平面PBC⊥平面ABCD, 于E，EC=1，，BC=3， PE=2，则四棱锥P-ABCD外接球的表面积为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二．填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13．函数在处的切线方程是__________．‎ ‎14．已知二项式 展开式中各项系数和为243，则 的展开式中含项的系数为_______．‎ ‎15. 数列通项公式为，若为数列的前项和，则______．‎ ‎16．已知双曲线C:右焦点为F,直线与双曲线C交于A,B两点，AF、BF的中点依次为M，N,若以线段MN为直径的圆经过原点，则双曲线的离心率为_________．‎ ‎ ‎ 三.解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）‎ ‎17.（12分） 如图，△ABC是等边三角形，D是BC边上的动点（含端点），记∠BAD＝，∠ADC＝．‎ ‎（1）求的最大值；‎ ‎（2）若BD＝1，cos＝，求△ABD的面积．‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎18．（12分）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，，，平面⊥平面，点为棱的中点．‎ ‎（1）在棱上是否存在一点，使得平面，并说明理由；‎ ‎（2）当二面角的余弦值为时，求直线与平面所成的角．‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎19.（12分）有两种理财产品和，投资这两种理财产品一年后盈亏的情况如下（每种理财产品的不同投资结果之间相互独立）：‎ 产品：‎ 投资结果 获利 不赔不赚 亏损 概率 产品：‎ 投资结果 获利 不赔不赚 亏损 概率 注：‎ ‎（1）若甲、乙两人分别选择了产品投资，一年后他们中至少有一人获利的概率大于，求实数的取值范围；‎ ‎（2）若丙要将20万元人民币投资其中一种产品，以一年后的投资收益的期望值为决策依据，则丙选择哪种产品投资较为理想.‎ ‎ ‎ ‎20. （12分）已知椭圆：的左右焦点分别为，点是椭圆的左右顶点，点是椭圆上一动点，的周长为6，且直线的斜率之积为．‎ ‎（1）求椭圆C的方程；‎ ‎（2）若、为椭圆上位于轴同侧的两点，且，求四边形面积的取值范围．‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎21.（12分）已知函数（是自然对数的底数），是函数的一个极值点．（1）求函数的单调递增区间；‎ ‎（2）设，若，不等式恒成立，求的最大值．‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.‎ ‎22.【选修4—4：坐标系与参数方程】（本小题满分10分）‎ 已知在平面直角坐标系中，圆的参数方程为（为参数）．以原点为极点，轴的非负半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系．‎ ‎（1）求圆的普通方程及其极坐标方程；‎ ‎（2）设直线的极坐标方程为，射线与圆的交点为 ‎（异于极点），与直线的交点为，求线段的长．‎ ‎ ‎ ‎23.【选修4—5：不等式选讲】（本小题满分10分）已知函数 ‎（1）解不等式；‎ ‎（2）若函数最小值为，且，求的最小值.‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 湖南省湘东七校2019年下期高三联考 理科数学参考答案及解析 总分：150 时量：120 考试时间‎2019年12月8日 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 选项 B A B C A A C B B C D A ‎9.解：∵f（0）＝，∴sinφ＝，∴φ＝，即f（x）＝2sin（ωx+），‎ ‎∴g（x）＝2sin[ω（x﹣）+]，‎ ‎∵g（x）的图象关于直线x＝对称，∴ω（﹣）+＝+kπ，k∈z，‎ 则ω×＝+kπ，k∈z，令k＝1，得ω＝2．故选：B．‎ ‎11解：方程f（x）﹣kx＝1有两个不同实根可化为 函数f（x）与函数y＝kx+1有两个不同的交点，‎ 当x＞1时，f（x）＝f（x﹣1），周期性变化；‎ 函数y＝kx+1的图象恒过点（0，1）；‎ 作函数f（x）与函数y＝kx+1的图象如下，‎ C（0，1），B（2，e），A（1，e）；‎ 故kAC＝e﹣1，kBC＝；‎ 在点C处的切线的斜率k＝e0＝1；结合图象可得，实数k的取值范围为 ‎（，1）∪（1，e﹣1]；故选：D．‎ ‎12.以为底面补成直三棱柱，由正弦定理可求得外接圆直径径为，外接球半径 从而可求得外接球表面积为 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13. 14. 30 15. 16.. ‎ ‎15.[解]数列且，‎ 当为奇数时，；当为偶数时，，‎ 所以，‎ ‎．故答案为．‎ 16. ‎[解] 因为以线段MN为直径的圆经过原点，所以,∴‎ 设左焦点为,连接，则，因为,所以，由双曲线定义得 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.)‎ ‎17.（1）由△ABC是等边三角形，得β＝α+，‎ ‎0≤α≤，故2cos α﹣cos β＝2cos α﹣cos（α+）‎ ‎=，‎ 故当α＝，即D为BC中点时，原式取最大值．（6分）‎ ‎（2）由cos β＝，得sin β＝，‎ 故sin α＝sin（β﹣）＝sin βcos ﹣cos βsin ＝，（8分）‎ 由正弦定理＝，‎ 故AB＝BD＝，（10分）‎ 故S△ABD＝AB•BD•sin B＝××1×＝．（12分）‎ ‎18.解：（Ⅰ）在棱AB上存在点E，使得AF∥平面PCE，点E为棱AB的中点．‎ 理由如下：取PC的中点Q，连结EQ、FQ，‎ 由题意，FQ∥DC且FQ＝CD， 所以AE∥CD且AE＝CD，‎ 故AE∥FQ且AE＝FQ． 所以，四边形AEQF为平行四边形. （3分）‎ 所以，AF∥EQ，又EQ⊂平面PEC，AF⊄平面PEC，‎ 所以，AF∥平面PEC. （5分）‎ ‎（2）由题意知△ABD为正三角形，所以ED⊥AB，亦即ED⊥CD，‎ 又∠ADP＝90°，所以PD⊥AD，且平面ADP⊥平面ABCD，‎ 平面ADP∩平面ABCD＝AD，‎ 所以PD⊥平面ABCD，故以D为坐标原点建立如图空间直角坐标系，（6分）‎ 设FD＝a，则由题意知D（0，0，0），F（0，0，a），C（0，2，0），B（，1，0），‎ ‎＝（0，2，﹣a），＝（），‎ 设平面FBC的法向量为 则由，令，‎ 所以取，平面DFC的法向量＝（1，0，0），（8分）‎ 因为二面角D﹣FC﹣B的余弦值为，‎ 所以由题意：，解得. （10分）‎ 由于PD⊥平面ABCD，所以PB在平面ABCD内的射影为BD，‎ 所以∠PBD为直线PB与平面ABCD所成的角，‎ 由题意知在Rt△PBD中，tan∠PBD＝，从而，‎ 所以直线PB与平面ABCD所成的角为. （12分）‎ ‎19.（1）记事件为“甲选择产品投资且获利”，记事件为“乙选择产品投资且获利”，记事件为“一年后甲、乙两人至少有一人投资获利”‎ 则，，，‎ ‎ ‎ 又，且， （5分）‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎（2）假设丙选择产品投资，且记为获利金额（单位：万元），则的分布列为：‎ 投资结果 概率 ‎（7分）‎ 假设丙选择产品投资，且记为获利金额（单位：万元），则的分布列为：‎ 投资结果 ‎-6‎ 概率 ‎（9分）‎ 当时，，丙可在产品和产品中任选一个投资；‎ 当时，，丙应选产品投资；‎ 当时，，丙应选产品投资. （12分）‎ ‎20.（1）∵△AF‎1F2的周长为6，∴‎2a+‎2c＝6，即a+c＝3，①‎ 直线的斜率之积为．可求得②‎ 联立①②及a2＝b2+c2，解得a＝2，b＝，c＝1．‎ ‎∴椭圆C的方程为；（4分）‎ ‎（2）∵∠AF‎1F2+∠BF‎2F1＝π，∴AF1∥BF2，‎ 延长AF1 交椭圆C于点A′，设A（x1，y1），A′（x2，y2），‎ 由（1）知F1（﹣1，0），F2（1，0），‎ 直线AA′的方程为x＝ty﹣1，联立，得（3t2+4）y2﹣6ty﹣9＝0．‎ ‎∴，．(6分)‎ 由对称性可知，,设AF1 与BF2 的距离为d，， ‎ 则四边形AF‎1F2B的面积 S＝＝．‎ ‎∴S＝‎ ‎＝＝＝．(9分)‎ 令m＝，m≥1．∴S＝．‎ ‎∵S（m）在[1，+∞）上单调递减，∴S∈（0，3]．‎ 故四边形AF‎1F2B面积的取值范围为（0，3]．(12分)‎ ‎21.（1）f'（x）＝（x+2）ex﹣x﹣a，‎ ‎∵是函数的一个极值点，∴，解得a＝2（2分）‎ 则f'（x）＝（x+2）（ex﹣1）．‎ 令f'（x）＞0，解得x＞0或x＜﹣2，‎ 故函数的单调递增区间为（﹣∞，﹣2）和（0，+∞）．（4分）‎ ‎（2）不等式f（x）≥g（x），可化为ex≥2mx﹣n，‎ 记h（x）＝ex﹣2mx+n，h'（x）＝ex﹣‎2m，‎ 当m≤0时，h'（x）＞0恒成立，则h（x）在R上递增，没有最小值，故不成立；（6分）‎ 当m＞0时，令h'（x）＝0，解得x＝ln‎2m，当x∈（﹣∞，ln‎2m）时，h'（x）＜0；当x∈（ln‎2m，+∞）时，h'（x）＞0，‎ 当x＝ln‎2m时，函数h（x）取得最小值h（ln‎2m）＝eln‎2m﹣2mln‎2m+n≥0，‎ 即‎2m﹣2mln‎2m≥﹣n，则（9分）‎ 令F（m）＝‎2m﹣mln‎2m（m＞0），F'（m）＝1﹣ln‎2m，令F'（m）＝0，‎ 则，当时，F（m）＞0；当时，F（m）＜0，‎ 故当时，F（m）取得最大值，‎ 所以，即的最大值为．（12分）‎ ‎22．（1）由 ‎ 平方相加，得：，所以圆的普通方程为： （2分）‎ 又 ‎ 化简得圆的极坐标方程为：．（5分）‎ ‎（2）把代入圆的极坐标方程可得：（7分）‎ 把代入直线的极坐标方程可得：（9分）‎ 所以线段的长（10分）（其他方法酌情记分）‎ ‎23.（1）当时，，无解 ‎ 当时，，得 ‎ 当时，，得 ‎ 所以不等式解集为 （.5分）‎ ‎（2）‎ ‎ 当且仅当时取等 ‎ 当且仅当时取等 所以当时，最小值为4， ， （7分）‎ 所以 ‎ 所以 ‎ ‎ 当且仅当且即时取“=” ‎ ‎ 所以最小值为 （.10分）‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎