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- 2021-04-14 发布
2017届高三上学期第二次联考
数学试卷（文科）
（长治二中 晋城一中 康杰中学 临汾一中 忻州一中）
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的.
1.若集合，，则等于（ ）
A． B．
C． D．
2.设复数满足，则复数在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3.，，三个学生参加了一次考试，，的得分均为分，的得分为分．已知命题：若及格分低于分，则，，都没有及格．在下列四个命题中，为的逆否命题的是（ ）
A．若及格分不低于分，则，，都及格
B．若，，都及格，则及格分不低于分
C．若，，至少有人及格，则及格分高于分
D．若，，至少有人及格，则及格分不低于分
4.设向量，且，，若函数为偶函数，则的解析式可以为（ ）
A． B． C． D．
5.在中，，，的对边分别是，，，若，，则的周长为（ ）
A． B． C． D．
6.设，满足约束条件则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
7.直线与双曲线（，）的左支、右支分别交于、两点，为坐标原点，且为等腰直角三角形，则该双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
8.执行如图所示的程序框图，若输入的，，则输出的等于（ ）
A． B． C． D．
9.在中，，，，边上的高线为，点位于线段上，若，则向量在向量上的投影为（ ）
A． B． C．或 D．或
10.已知函数（其中，为正实数）的图象关于直线对称，且，，，恒成立，则下列结论正确的是（ ）
A．，
B．函数在区间上单调递增
C．函数的图象的一个对称中心为
D．不等式取到等号时的最小值为
11.已知函数与的图象如下图所示，则函数的递减区间为（ ）
A． B．
C． D．
12.已知函数，，给出下列个命题：
：若，则的最大值为．
：不等式的解集为集合的真子集．
：当时，若，，恒成立，则．
那么，这个命题中所有的真命题是（ ）
A． B．、 C．、 D．、、
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.某高校调查了名大学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是，样本数据分组为，，
，，．根据此直方图，这名大学生中每周的自习时间不少于小时的人数是_________．
14.设函数，则_________．
15.在等比数列中，公比，且，则与的等差中项为_________．
16.若函数有个零点，则实数的取值范围是_________．
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.（本小题满分12分）
已知，向量，向量，集合．
（1）判断“”是“”的什么条件；
（2）设命题：若，则．命题：若集合的子集个数为，则．判断，，的真假，并说明理由．
18.（本小题满分12分）
已知函数，．
（1）若，，求的值；
（2）求的递减区间；
（3）求曲线在坐标原点处的切线方程．
19.（本小题满分12分）
如图所示，在中，点为边上一点，且，为的中点，，，．
（1）求的长；
（2）求的面积．
20.（本小题满分12分）
在四棱锥中，底面为矩形，平面平面，，，为线段上一点，且，点、分别为线段、的中点．
（1）求证：平面；
（2）若平面将四棱锥分成左右两部分，求这两部分的体积之比．
21.（本小题满分12分）
记表示，中的最大值，如，已知函数，．
（1）求函数在上的值域；
（2）试探讨是否存在实数，使得对恒成立？若存在，求
的取值范围；若不存在，说明理由．
请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
如图，过点分别作的切线与割线，为切点，与交于、两点，圆心在的内部，，与交于点．
（1）在线段上是否存在一点，使、、、四点共圆？若存在，请确定点的位置；若不存在，请说明理由；
（2）若，证明：．
23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
已知倾斜角为的直线的参数方程为（为参数）．在直角坐标系中，，以为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．直线与曲线交于，两点．
（1）求的值及曲线的直角坐标方程；
（2）求的值．
24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知，为不等式的解集．
（1）求；
（2）求证：当，时，．
2016～2017第二次五校联考
数学试卷参考答案（文科）
（长治二中 晋城一中 康杰中学 临汾一中 忻州一中）
一、选择题
1. ，．
2. ，故复数所对应的点为在第四象限．
3. 低于的否定是不低于，都没有及格的否定是至少有人及格，故选．
4. ，，结合选项，易知当时，函数为偶函数．
5. 由正弦定理可得，
即，，，故的周长为．
6. 作出不等式组表示的可行域，可知点为直线与的交点，则的最大值为．
7. 由为等腰直角三角形得，，．联立与得，点的坐标为，则，．
8. 第一次运算：，，；
第二次运算：，，；
第三次运算：，，；
第四次运算：，，，输出．
9. 由等面积法求得，设，则，，．
，或，
故向量在向量上的投影为或．
10. （其中），，的最大值为，①
由于图象的对称轴为直线，，
②，由①②解得，．，故错误．
在区间单调递增，在区间上单调递减，故错误．易知错误．当取到等号时，能取到两个最大值，最小间隔为一个周期，故选．
11. 由图可知，先减后增的那条曲线为的图象，先增再减最后增的曲线为的图象，
当时，．
令，得，则．
故的减区间为，．
12. ，
的最大值为．故为真命题
作出与的图象，注意到，且
，由图可知，不等式的解集为（）．故为真命题．
当时，在区间上，的最小值总小于的最大值；当时，在区间上，的最小值不小于的最大值．故为真命题．
二、填空题
13. 这名大学生中每周的自习时间不少于小时的人数是．
14. ，．
15. ，，，，，．
16. 令，则（），设（），．
由，得或，函数递增；由，得或，函数递减，故函数的极小值为，极大值为，由数形结合可得．
三、解答题
17.解：（1）若，则，（舍去），…………………………………2分
此时，，．………………………………………………………………………………3分
若，则．故“”是“”的充分不必要条件．…………………………5分
（2）若，则，（舍去），为真命题．………………7分
由得，或，若集合的子集个数为，则集合中只有个元素，则，或，故为假命题．…………………………………………………………9分
为真命题，为假命题，为真命题．……………………………………………………12分
18.解：（1），．…………………………………………………1分
，．……………………………………………………………………………2分
．……………………………………………………………………………4分
（2）由得，
的递减区间为（）．……………………………………………………8分
19.解：（1）在中，，，
，…………………………………………………………1分
．…………………………………4分
由正弦定理知，．………………………………6分
（2）由（1）知，依题意得，在中由余弦定理得
，
即，
，解得（负值舍去）．……………………………………………10分
，
从而
．……………………………………………………………………12分
20.（1）证明：在等腰中，，
则由余弦定理可得，．…………………………2分
，．……………………………………………………………3分
平面平面，平面平面，
平面．…………………………………………………………………………………4分
（2）解：设平面与棱交于点，连接，因为，所以平面，
从而可得．……………………………………………………………………………………6分
延长至点，使，连接，，则为直三棱柱．……………7分
到的距离为，，
，
，，
．
又，
．………………………………………………………12分
21.解：（1）设，，………………………1分
令，得，递增；令，得，递减．………………2分
，，…………………………………………………………………3分
即，．……………………………………………………………………4分
故函数在上的值域为．……………………………………………………………5分
（2）（ⅰ）当时，
，，，．
…………………………………………………………………………………………6分
若对恒成立，则对恒成立．
设，则，
令，得，递增；令，得，递减．
，，，，．…9分
（ⅱ）当时，由（ⅰ）知对恒成立，
若对恒成立，则对恒成立，
即对恒成立，这显然不可能，
即当时，不满足对恒成立．………………………………………11分
故存在实数，使得对恒成立，且的取值范围为．…12分
22.（1）解：当点为中点时，、、、四点，证明如下：
为的中点，故，即，
又，，
与互补，、、、四点共圆．…………………………………………5分
（2）证明：，，
连接，为切线，，
，，，
又，，．………………………………………10分
23.解：（1）消去参数得，．……………………2分
化为直角坐标方程为．……………………………………………5分
（2）将代入整理得，………………………………8分
由的几何意义得．………………………………………………………………10分
24.（1）解：
当时，由得，，舍去；
当，由得，，即；
当时，由得，，即，
综上，．……………………………………………………………………………………6分
（2）证明：，，，，
．
……………10分