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- 2021-04-14 发布
昌平区2018－2019学年第一学期高三年级期末质量抽测
数学试卷（文科） 2019.1
本试卷共6页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将答题卡收回。
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项)
（1）若集合，，则
A． B． C． D．
（2）已知数列,,,则的值为
A． B． C． D．
（3）若满足 则的最小值为
是
否
结束
开始
，
输出
A． B． C． D．
（4）右图是一个算法流程图，则输出的的值为
A.
B.
C.
D.
（5）已知,则“”是“”的
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
（6）已知向量满足 ，那么与的夹角为
A． B． C． D．
（7）《九章算术》是我国古代数学著作，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问：积及米几何？”其意思为：在屋内墙角处堆放米（米堆所形成的几何体的三视图如图所示），米堆底部的弧长为尺，米堆的高为尺，问米堆的体积及堆放的米各为多少？
已知一斛米的体积约为立方尺，由此估算出堆放的米约有
A．斛
B．斛
C．斛
D．斛
（8）现有，，…，这5个球队进行单循环比赛（全部比赛过程中任何一队都要分别与其他各队比赛一场且只比赛一场）．当比赛进行到一定阶段时，统计，，，这4个球队已经赛过的场数分别为：队4场，队3场, 队2场，队1场，则队比赛过的场数为
A． B． C． D．
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）
（9）已知复数满足（是虚数单位），则复数的共轭复数 _____.
（10）已知抛物线上一点到其焦点的距离为，则点到轴的距离为_______．
（11）为调查某校学生每天用于课外阅读的时间，现从该校名学生中随机抽取名学生进行问卷调查，所得数据均在区间上，其频率分布直方图如图所示，则估计该校学生中每天用于阅读的时间在(单位：分钟)内的学生人数为 ．
（12） 在锐角△ABC中，，．若△ABC的面积为，则______；
_______.
（13）能说明“若点与点在直线的同侧，则”是假命题的一个点的坐标为_____________.
（14）已知函数其中且
（i）当时，若，则实数的取值范围是___________；
(ii) 若存在实数使得方程有两个实根，则实数的取值范围是_______.
三、解答题(本大题共5小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
（15）（本小题满分13分）
设是各项均为正数的等比数列，且
（Ⅰ）求的通项公式；
（Ⅱ）求.
（16）（本小题满分13分）
已知函数.
（Ⅰ）求的单调递增区间；
（Ⅱ）若在区间上的最小值为，求的最大值.
（17）（本小题满分13分）
某汽车品牌为了了解客户对于其旗下的五种型号汽车的满意情况，随机抽取了一些客户进行回访，调查结果如下表：
汽车型号
I
II
III
IV
V
回访客户（人数）
250
100
200
700
350
满意率
0.5
0.3
0.6
0.3
0.2
满意率是指：某种型号汽车的回访客户中，满意人数与总人数的比值.
(Ⅰ) 从III型号汽车的回访客户中随机选取1人，则这个客户不满意的概率为________；
（将结果直接填写在答题卡的相应位置上）
(Ⅱ) 从所有的客户中随机选取1个人，估计这个客户满意的概率；
(Ⅲ) 汽车公司拟改变投资策略，这将导致不同型号汽车的满意率发生变化.假设表格中只有两种型号汽车的满意率数据发生变化，那么哪种型号汽车的满意率增加0.1，哪种型号汽车的满意率减少0.1，使得获得满意的客户人数与样本中的客户总人数的比值达到最大？（只需写出结论）
（18）（本小题满分14分）
如图，在五面体中，四边形是边长为的正方形，平面⊥平面， .
(Ⅰ) 求证：；
(Ⅱ) 求证：平面⊥平面；
(Ⅲ) 在线段上是否存在点，使得⊥平面？ 说明理由.
（19）（本小题满分13分）
已知函数．
(Ⅰ)若，求曲线在点处的切线方程；
(Ⅱ)若，判断函数的零点个数，并说明理由.
(20) （本小题满分14分）
已知椭圆过点 ，且离心率为.设为椭圆的左、右顶点，为椭圆上异于的一点，直线分别与直线相交于两点，且直线与椭圆交于另一点.
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）求证：直线与的斜率之积为定值；
（Ⅲ）判断三点是否共线，并证明你的结论.
昌平区2018－2019学年第一学期高三年级期末质量抽测
数学试卷参考答案及评分标准（文科） 2019.1
一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．)
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
D
A
C
B
B
C
A
B
二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）
9. 10. 11.
12. 13. （答案不唯一）
14. ；
三、解答题(本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)
（15）（本小题满分13分）
解：(Ⅰ)设等比数列的公比为，
因为，所以，
又，所以.
即或（舍）.
所以. …… 5分
(Ⅱ)由（I）知，，
因为，
所以是以0为首项，公差为的等差数列.
所以.
所以. ……13分
（16）（本小题满分13分）
解：（Ⅰ）
.
由，
得.
所以的单调递增区间是 ……7分
（Ⅱ）因为，所以.
要使得在上的最小值为，
即在上的最小值为.
所以，即.
所以的最大值为. …………13分
（17）（本小题满分13分）
解：（Ⅰ）. ……3分
（Ⅱ）由题意知，样本中的回访客户的总数是,
样本中满意的客户人数是,
所以样本中客户的满意率为.
所以从所有的客户中随机选取1个人，估计这个客户满意的概率为. ……11分
（Ⅲ）增加IV型号汽车的满意率, 减少II型号汽车的满意率. …………13分
（18）（本小题满分14分）
证明：(Ⅰ) 在五面体中，因为四边形是正方形，
所以.
因为平面,平面，
所以平面. ……4分
(Ⅱ) 因为,，
所以，所以，即.
因为四边形是正方形，所以.
因为平面⊥平面，平面平面，
所以⊥平面.
因为,所以 ⊥.
因为 所以⊥平面
因为， 所以平面⊥平面. ……9分
(Ⅲ)在线段上存在点，使得⊥平面.
证明如下：
取的中点，连接.
由（Ⅰ）知, ,
,
所以.
因为
所以.
所以四边形是平行四边形.
所以.
由(Ⅱ)知，⊥平面，
所以. ………………………14分
（19）（本小题满分13分）
解：函数的定义域为.
.
（I）若，，且,
所以曲线在点处的切线方程为，即.……5分
（Ⅱ）令，得，（舍）.
变化情况如下表：
↘
极小值
↗
.
①当，即时，无零点.
②当，即时，只有一个零点.
③当，即时，
因为，,且在上单调递减，
所以在上存在唯一零点；
在上，，.
因为，所以，即.
又，且在上单调递增，
所以在上存在唯一零点；
所以当时，有两个零点.
综上：时，无零点；
时，只有一个零点；
时，有两个零点. ……13分
（20）（本小题满分14分）
解：（Ⅰ）根据题意可知解得
所以椭圆的方程. ……4分
（Ⅱ）根据题意，直线的斜率都存在且不为零.
设，则.
则.
因为，所以.
所以.
所以直线与的斜率之积为定值. ……8分
(III) 三点共线.证明如下：
设直线的方程为，则直线的方程为.
所以，,.
设直线，
联立方程组消去整理得，.
设，则所以, .
所以.
因为，,
,.
所以，所以三点共线. ……14分