- 1.72 MB
- 2021-04-14 发布
绝密★启用前
黑龙江省龙东南七校2018-2019学年高二上学期期末联考数学（文)试题
评卷人
得分
一、单选题
1．下列说法中正确的个数是（ ）
(1)若为假命题，则均为假命题;
(2)命题“若，则”的逆否命题是假命题；
(3)命题若“，则”的否命题是“若，则”.
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据且命题的真假判断，逆否命题的真假判断及否命题的定义可一一判断对错.
【详解】
对于（1），由且命题“一假则假”可知，中至少有一个为假命题，不能得到均为假命题，（1）不对；
对于（2），由互为逆否命题同真同假可知，命题“若，则”为真，所以其逆否命题也为真，（2）不正确；
对于（3）命题“若，则”的否命题是“若，则”，（3）不对.
故选A.
【点睛】
本题主要考查了互为逆否关系的命题真假的判断及否命题的书写，且命题的真假判断，属于基础题.
2．某校为了解学生学习的情况，采用分层抽样的方法从高一240人、高二 200人、高三160人中，抽取60人进行问卷调查，则高一年级被抽取的人数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
据分层抽样的定义建立比例关系即可得到结论．
【详解】
高一抽取的人数分别，
故选：B．
【点睛】
本题主要考查分层抽样的应用，根据条件建立比例关系是解决本题的关键．比较基础．
3．抛物线的焦点坐标是（ ）
A．（0,1） B．（，0） C．（1,0） D．（0，）
【答案】D
【解析】
【分析】
由抛物线焦点的定义直接求解即可.
【详解】
抛物线开口向上，焦点为（0，），
故选D.
【点睛】
本题主要考查了抛物线焦点坐标的求解，解题的关键是将抛物线的方程写出标准方程，注意开口，属于基础题.
4．从装有个红球和个黒球的口袋内任取个球，则互为对立事件是（ ）
A．至少有一个黒球与都是黒球 B．至少有一个黒球与都是红球
C．至少有一个黒球与至少有个红球 D．恰有个黒球与恰有个黒球
【答案】B
【解析】
【分析】
列举每个事件所包含的基本事件，结合互斥事件和对立事件的定义，依次验证即可.
【详解】
对于A:事件：“至少有一个黑球”与事件：“都是黑球”可以同时发生，如：一个红球一个黑球，∴A不正确；
对于B:事件：“至少有一个黑球”与事件：“都是红球”，这两个事件是对立事件，∴B
正确
对于C:事件：“至少有一个黑球”与事件：“至少有1个红球”可以同时发生，如：一个红球一个黑球，∴C不正确
对于D:事件：“恰有一个黑球”与“恰有2个黑球”不能同时发生，∴这两个事件是互斥事件，
又由从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，得到所有事件为“恰有1个黑球”与“恰有2个黑球”以及“恰有2个红球”三种情况，故这两个事件是不是对立事件，∴D不正确
故选D.
【点睛】
本题主要考查了互斥时间和对立事件的判断，属于基础题.
5．已知椭圆的长轴长是短轴长的倍，则该椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
由题意，，再用平方关系算得，最后利用椭圆离心率公式可求出椭圆的离心率．
【详解】
∵椭圆的长轴长是短轴长的倍，
∴，得，
又∵a2＝b2+c2，
∴2b2＝b2+c2，可得，
因此椭圆的离心率为e．
故选：C．
【点睛】
本题给出椭圆长轴与短轴的倍数关系，求椭圆的离心率，考查了椭圆的基本概念和简单性质的知识，属于基础题．
6．从分别写有1,2,3,4的4张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
先求出基本事件总数n＝4×4＝16，再用列举法求出抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数包含的基本事件个数，由此能求出抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率．
【详解】
从分别写有1，2，3，4的4张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，
基本事件总数n＝4×4＝16，
抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数包含的基本事件有：
（2，1），（3，1），（3，2），（4，1），（4，2），（4，3）
共有m＝6个基本事件，
∴抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率p．
故选：D．
【点睛】
本题考查古典概型的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用．
7．曲线在点处的切线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
先求出曲线在处的导数值，即为切线斜率，进而由点斜式即可得解.
【详解】
对求导得：，时
在点处的切线斜率为3. 切线方程为，整理得：.
故选D.
【点睛】
本题主要考查了导数的几何意义，属于基础题.
8．在区间上随机选取一个实数，则满足的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
由题意，利用区间的长度比求概率即可．
【详解】
在区间[﹣3，4]上随机选取一个实数x，对应事件的为区间长度为：7，
而满足事件“x≤2”发生的事件的长度为：5，
由几何概型的公式得到所求概率为；
故选：C．
【点睛】
本题考查了几何概型的概率求法；明确事件的测度为区间的长度是关键．
9．若双曲线以为渐近线，且过，则双曲线的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据题意，设双曲线的方程为x2＝t，将点A的坐标代入双曲线的方程，解得t，将t的值代入双曲线的方程，可得答案．
【详解】
根据题意，双曲线以y＝±2x为渐近线，设双曲线的方程为x2＝t，
又由双曲线经过点A（2，2），
则有4＝t，解可得t＝1，
则双曲线的方程为；
故选：A．
【点睛】
本题考查双曲线的几何性质，关键是利用双曲线的渐近线方程设出双曲线的方程．
10．已知为函数的极小值点，则=（ ）
A．-2 B． C．2 D．-
【答案】B
【解析】
【分析】
求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，求出函数的极值点即可．
【详解】
f′（x）＝3x2﹣6，
令f′（x）＞0，解得：x＞或x＜﹣，
令f′（x）＜0，解得：﹣＜x＜，
故f（x）在（﹣∞，﹣）递增，在（﹣，）递减，在（，+∞）递增，
故是极小值点，
故a＝，
故选：B．
【点睛】
本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用，是一道基础题．
11．已知抛物线的焦点和，点为抛物线上的动点，则取到最小值时点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
利用抛物线的定义，将点P到其焦点的距离转化为它到其准线的距离即可．
【详解】
根据题意，作图．
设点P在其准线x＝﹣1上的射影为M，有抛物线的定义得：|PF|＝|PM|
∴欲使|PA|+|PF|取得最小值，就是使|PA|+|PM|最小，
∵|PA|+|PM|≥|AM|（当且仅当M，P，A三点共线时取“＝”），
∴|PA|+|PF|取得最小值时（M，P，A三点共线时），
点P的纵坐标y0＝1，设其横坐标为x0，
∵P（x0，1）为抛物线y2＝4x上的点，
∴x0，
则有当P为（，1）时，|PA|+|PF|取得最小值为3．
故选：A．
【点睛】
本题考查抛物线的定义和简单性质，将点P到其焦点的距离转化为它到其准线的距离是关键，考查转化思想的灵活应用，属于中档题．
12．定义在上的可导函数满足，且，则的解集为( )
A．(3，＋∞) B．(0,3)∪(3，＋∞) C．(0,3) D．
【答案】C
【解析】
【分析】
令g（x），可得，因此g（x）在（0，+∞）上单调递减，再利用g（2）＝f（2）＝0，即可得出．
【详解】
令g（x），∵，∴＜0．
∴，
∴g（x）在（0，+∞）上单调递减，
∵f（3）＝0，即g（3）＝0．
∴g（x）0的解是0＜x＜3．
故选：C．
【点睛】
本题考查了通过构造函数利用导数研究其单调性解不等式，属于中档题．
第II卷（非选择题)
请点击修改第II卷的文字说明
评卷人
得分
二、填空题
13．命题的否定是__________。
【答案】
【解析】
【分析】
根据全程命题的否定为特称名题可直接得解.
【详解】
由全程命题的否定为特称命题，
所以命题的否定是.
故答案为：.
【点睛】
本题主要考查了含有量词的命题的否定，除了否结论外，还需要将量词进行否定，属于基础题.
14．如图所示，在一个边长为3的正方形中随机撒入200粒豆子，恰有150粒落在阴影区域内，则该阴影部分的面积约为________。
【答案】
【解析】
【分析】
先求出正方形的面积为22，设阴影部分的面积为x，由概率的几何概型知，由此能求出该阴影部分的面积．
【详解】
设阴影部分的面积为x，
则，
解得x．
故答案为：．
【点睛】
本题考查概率的性质和应用，每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概型． 解题时要认真审题，合理地运用几何概型解决实际问题．
15．若椭圆的一个焦点坐标为(0,2)，则实数=_____。
【答案】9
【解析】
【分析】
由题意可得椭圆焦点在y轴上，由题意可得1，解方程可得m．
【详解】
由题意可得m＞5，
椭圆1的a，b，
c，即有2，
解得m＝9．
故答案为：9．
【点睛】
本题考查椭圆的方程和性质，考查焦点坐标的运用，以及运算能力，属于基础题．
16．若函数在上是减函数，则实数的取值范围是______。
【答案】
【解析】
【分析】
由已知得的解集是R，由此能求出实数a的取值范围．
【详解】
∵函数，
∴，
∵函数在实数R上是减函数，
∴的解集是R，
∴△＝16+12a≤0，
解得a，
∴实数a的取值范围是（﹣∞，]．
故答案为：（﹣∞，]．
【点睛】
本题考查导数及其应用、不等式、函数等基础知识，考查考查推理论证能力、运算求解能力、抽象概括能力，考查化归与转化思想、分类与整合思想，是中档题．
评卷人
得分
三、解答题
17．某生产企业对其所生产的甲、乙两种产品进行质量检测，分别各抽查6件产品，检测其重量的误差，测得数据如下（单位：）：
甲：13 15 13 8 14 21
乙：15 13 9 8 16 23
（1）画出样本数据的茎叶图；
（2）分别计算甲、乙两组数据的方差并分析甲、乙两种产品的质量（精确到0.1）。
【答案】（1）见解析
（2），，甲产品质量好，较稳定。
【解析】
【分析】
（1）根据题目中的数据，画出茎叶图即可；
（2）利用公式计算甲乙的平均数与方差即可．
【详解】
（1）根据题目中的数据，画出茎叶图如图所示；
（2）根据茎叶图得出，甲的平均数是，
乙的平均数是；
甲的方差是[（﹣6）2+（﹣1）2+（﹣1）2+02+12+72]．
乙的方差是[（﹣6）2+（﹣5）2+（﹣1）2+12+22+92]24.7．
甲产品质量好，较稳定.
【点睛】
本题考查了画茎叶图与求平均数与方差的问题，是基础题目．
18．现有5道题，其中3道甲类题，2道乙类题。
（1）若从这5道题中任选2道，求这2道题至少有1道题是乙类题的概率；
（2）若从甲类题、乙类题中各选1道题，求这2道题包括但不包括的概率。
【答案】（1） （2）
【解析】
【分析】
（1）先求出基本事件总数，再用列举法求出至少有1道题是乙类题包含的基本事件，由此能求出抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率．
（2）先求出基本事件总数，再用列举法求出包括但不包括包含的基本事件，由此能求出抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率．
【详解】
（1）从这5道题中任选2道，基本事件有：，共10个.
至少有1道题是乙类题包含的基本事件有，，，，共7个，
所以这2道题至少有1道题是乙类题的概率为；
（2）从甲类题、乙类题中各选1道题，基本事件有：
，共6个.
包括但不包括包含的基本事件有：，共2个.
这2道题包括但不包括的概率为.
【点睛】
本题考查古典概型的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用．
19．从我校高二年级学生中抽取40名学生，将他们高中学业水平考试的数学成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：，，…，后得到如下图的频率分布直方图，观察图形的信息，回答下列问题：
（1）求第四小组的频率，并补全这个频率分布直方图；
（2）若我校高二年级有1080人，试估计高二年级这次学业水平考试的数学成绩不低于60分的人数；
（3）从频率分布直方图估计成绩的中位数和平均数。
【答案】（1）第四小组的频率为0.3，频率分布直方图见解析（2）810（3）中位数 ,平均数71
【解析】
【分析】
（1）由频率和为1可列式求解；
（2）计算数学成绩不低于60分的频率，进而可得解；
（3）中位数为，则，可得中位数，由平均数公式可求平均数.
【详解】
（1）由频率和为1可得，第四小组的频率为：.
（2）由频率分布直方图可知数学成绩不低于60分的频率为：，
据此可估计高二年级1080人中有人.
（3）设中位数为，则，解得.
平均数为：.
【点睛】
本题考查频率分布直方图等基础知识，考查数据处理能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想，是基础题．
20．已知椭圆：的左、右焦点分别为，椭圆上一点与两焦点构成的三角形的周长为6,离心率为。
（1）求椭圆的方程；
（2）若斜率为1的直线与椭圆相切，求直线的方程。
【答案】（1）（2）
【解析】
【分析】
（1）由条件可得2a+2c＝6和，结合a2＝b2+c2，可得椭圆方程；
（2）设斜率为1的直线：，与椭圆联立，利用可得直线方程.
【详解】
（1）设F1（﹣c，0）、F2（c，0），由已知可得2a+2c＝6①，
②又a2＝b2+c2③，
由①②③可求得a＝2，b，
所以椭圆C的方程为1.
（2）设斜率为1的直线：，
得：.
由直线与椭圆相切得，解得.
所以直线的方程为.
【点睛】
本题考查椭圆方程求法，注意运用椭圆的定义和离心率公式，考查直线与圆的位置关系，属于基础题.
21．某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：
单价（元）
4
6
7
8
10
销量（件）
60
50
45
30
20
(1) 请根据上表提供的数据画出散点图，并判断是正相关还是负相关；
(2) 求出关于的回归直线方程，若单价为9元时，预测其销量为多少？
（参考公式：回归直线方程中公式 ,）
【答案】（1）见解析;（2） ,若单价为9元时，预测其销量为27件.
【解析】
【分析】
(1)结合所给的数据绘制散点图，观察可得销量与单价成负相关；
(2)结合所给的数据计算可得线性回归方程为；结合回归方程，时，可得估计的值.
【详解】
（1）
由散点图可知销量与单价成负相关.
（2），
，，
，
因此回归直线方程为.
时，估计的值为.
单价为9元时，预测其销量为27件.
【点睛】
线性回归方程需要注意两点：一是回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法，只有在散点图大致呈线性时，求出的线性回归方程才有实际意义，否则，求出的线性回归方程毫无意义．二是根据回归方程进行预报，仅是一个预报值，而不是真实发生的值．
22．已知函数
（1）当时,求函数的单调区间；
（2）当时，若函数在上的最小值记为，请写出的函数表达式。
【答案】（1）单调增区间，单调减区间
（2）
【解析】
【分析】
（1）求出函数的导数，由，可得；由可得，从而得单调区间；
（2）求出函数的导数，通过讨论a的范围，确定函数的单调区间，从而求出区间上的最小值即可．
【详解】
（1）∵，
∴
当a＝1时，，
由，可得；由可得.
所以单调增区间，单调减区间.
（2），
∵a＞0，x＞0，由f′（x）＞0得x＞2a，由f′（x）＜0得0＜x＜2a，
∴f（x）在（0，2a]上为减函数，在（2a，+∞）上为增函数．
①当0＜2a≤1即0＜a时，f（x）在[1，2]上为增函数，
∴g（a）＝f（1）＝2a2+1．
②当1＜2a＜2即a时，f（x）在[1，2a]上为减函数，在（2a，2]上为增函数，
∴g（a）＝f（2a）＝﹣aln（2a）+3a
③当2a≥2即a时，f（x）在[1，2]上为减函数，
∴
综上所述，.
【点睛】
本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，是一道中档题．