2017-2018学年辽宁省庄河市高级中学高二上学期期中考试数学（理）试题 12页

‎2017-2018学年辽宁省庄河市高级中学高二上学期期中考试数学（理）试题 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1. 已有，则（ ）‎ A．1 B．2 C．4 D．3 ‎ ‎2.设是等比数列的前项和，，，则公比（ ）‎ A． B． C．1或 D．1或 ‎ ‎3.已知，则的值等于（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎4.已知向量，，则向量与的夹角为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎5.抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离为（ ）‎ A．2 B． C.1 D．‎ ‎6.将函数的图象向右平移（）个单位长度，所得函数图象关于轴对称，则的最小值为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎7.已知直线和直线，抛物线上一动点到直线和直线的距离之和的最小值是（ ）‎ A．2 B．3 C. D．‎ ‎8.设等差数列的前项和为，且满足，，则，，…，中最大的项为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎9.设满足约束条件，向量，，且，且的最小值为（ ）‎ A．-6 B．6 C. D．‎ ‎10.已知是内的一点，且，，则，，的面积分别为；则的最小值为（ ）‎ A．20 B．19 C.18 D．16‎ ‎11.给出下列命题：①已知，“且”是“”的充分条件；‎ ‎②已知平面向量，“且”是“”的必要不充分条件；‎ ‎③已知，“”是“”的充分不必要条件；‎ ‎④命题“，使且”的否定为“，都有且”.其中正确命题的个数是（ ）‎ A．0 B．1 C.2 D．3‎ ‎12.过抛物线（）的焦点的直线交抛物线于点，交其准线于点，若，且，则此抛物线的方程为（ ）‎ A． B． C. D．‎ 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13.设向量，，且，则 ．‎ ‎14.数列的前项和为，，，（），则 ．‎ ‎15.已知，命题对，不等式恒成立；命题，使得成立，当时，若假，为真，求的取值范围 ．‎ ‎16.过双曲线（）的左焦点作圆的切线，切点为，延长交双曲线右支于点，若为的中点，则双曲线的离心率为 ．‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17. 已知函数.‎ ‎（1）求函数的最小正周期；‎ ‎（2）求函数在区间上的取值范围.‎ ‎18. 在，角的对边分别为，满足.‎ ‎（1）求角的大小；‎ ‎（2）若，，求的面积.‎ ‎19. 数列的前项和记为，已知，（）.‎ ‎（1）证明：数列是等比数列；‎ ‎（2）求数列的前项和.‎ ‎20. 如图，已知椭圆（）的右顶点和上顶点分别为，，离心率为.‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）过点作斜率为（）的直线与椭圆交于另外一点，求面积的最大值，并求此时直线的方程.‎ ‎21. 如图，在四棱锥中，在底面中，，，是的中点，是棱的中点，，，，.‎ ‎（1）求证：平面 ‎（2）求证：平面底面；‎ ‎（3）试求三棱锥的体积.‎ ‎22.在平面直角坐标系中，过椭圆（）右焦点的直线交椭圆于两点，为的中点，且的斜率为.‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）设过点的直线（不与坐标轴垂直）与椭圆交于两点，问：在轴上是否存在定点，使得为定值？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由. ‎ ‎2017年庄河高中高二上学期期中考试 一、选择题（分）‎ ‎1---6 DCACDA 7---12B DACCB 二、填空题（分）‎ ‎13、 14、2600 15、（﹣∞，1）∪（1，2] 16、. ‎ 三、解答题 ‎17. 解：(1)由题意知，f(x)＝cos 4x－cos＝cos 4x＋sin 4x＝2sin，∴函数f(x)的最小正周期T＝＝ ‎(2)∵－≤x≤，∴－≤4x＋≤，‎ ‎∴－≤sin≤1，∴函数f(x)的取值范围为．‎ ‎18解：（I）由及正弦定理，得 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ (II)解：由（I）得，由余弦定理得 所以的面积为 ‎19（I）证明：因为,又 数列是等比数列,首项为，公比为的等比数列. ‎ ‎（Ⅱ）由（I）可知 Tn=2+2·22+3·23+…(n-1)·2n-1 +n·2n,‎ ‎2Tn=22+2·23+3·24+…+(n-1)2n+n·2n+1,‎ 所以Tn-2Tn=-Tn=2+22+23+24+…+2n-n·2n+1‎ ‎=(1-n)2n+1-2,‎ 所以Tn=(n-1)2n+1+2.‎ ‎(20) ‎ 解：（Ⅰ）由题意得 ‎ ‎ ‎（Ⅱ），‎ 设与平行的椭圆的切线方程为 ，‎ 联立方程组得，‎ 消去得， ①‎ 解得.‎ ‎. ‎ 代入到①中得，代入到得，‎ ‎ ‎ ‎，. ‎ 此时，直线的方程是. ‎ 其它方法酌情给分 ‎21.（1）证明：略（2），（3）参考下面做法每问4分 ‎22． 【解析】(Ι)设则，，两式相减 ‎，又， P为AB的中点，且OP的斜率为，所以，即，所以可以解得，即，即，又因为，所以，所以椭圆的方程为.‎ ‎（Ⅱ）设直线的方程为，代入椭圆的方程，得 ‎，‎ 设，，则，，根据题意，假设轴上存在定点，使得为定值，则有 ‎，‎ 要使上式为定值，即与无关，则应，即，故当点的坐标为时，为定值．‎ ‎2017年庄河高中高二上学期期中考试 一、选择题（分）‎ ‎1---6 DCACDA 7---12B DACCB 二、填空题（分）‎ ‎13、 14、2600 15、（﹣∞，1）∪（1，2] 16、. ‎ 三、解答题（共70分）‎ ‎17. （本小题满分10分）‎ 解：(1)由题意知，f(x)＝cos 4x－cos＝cos 4x＋sin 4x＝2sin，∴函数f(x)的最小正周期T＝＝………………………………………………..5分 ‎(2)∵－≤x≤，∴－≤4x＋≤，‎ ‎∴－≤sin≤1，∴函数f(x)的取值范围为．。。。。。。。。。。。。。。。。。。10分 ‎18（本小题满分12分）‎ 解：（I）由及正弦定理，得 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ …………………………………………6分 ‎ (II)解：由（I）得，由余弦定理得 所以的面积为………………………12分 ‎19（本小题满分12分）‎ ‎（I）证明：因为,又 数列是等比数列,首项为，公比为的等比数列. ……………6分 ‎（Ⅱ）由（I）可知 Tn=2+2·22+3·23+…(n-1)·2n-1 +n·2n,‎ ‎2Tn=22+2·23+3·24+…+(n-1)2n+n·2n+1,‎ 所以Tn-2Tn=-Tn=2+22+23+24+…+2n-n·2n+1‎ ‎=(1-n)2n+1-2,‎ 所以Tn=(n-1)2n+1+2. ……………12分 ‎(20)（本题满分12分）‎ 解：（Ⅰ）由题意得 ‎ ----------4分 ‎（Ⅱ），‎ 设与平行的椭圆的切线方程为 ，‎ 联立方程组得，‎ 消去得， ①‎ 解得.‎ ‎. ---------6分 代入到①中得，代入到得，‎ ‎ ---------8分 ‎，. ---------10分 此时，直线的方程是. ---------12分 其它方法酌情给分 ‎21.（1）证明：略。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。4分（2），（3）参考下面做法每问4分 ‎22．（本小题满分12分）‎ ‎【解析】(Ι)设则，，两式相减 ‎，又， P为AB的中点，且OP的斜率为，所以，即，所以可以解得，……………………3分即，即，又因为，所以，所以椭圆的方程为.……5分 ‎（Ⅱ）设直线的方程为，代入椭圆的方程，得 ‎，……6分设，，则，，根据题意，假设轴上存在定点，使得为定值，则有 ‎，……8分 要使上式为定值，即与无关，则应，即，故当点的坐标为时，为定值．………………12分 ‎ ‎